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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Epreuve de Mathématiques A PSI
Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
094
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne
seront pas pris
en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Tournez la page S.V.P.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe
quelconque pouvant indiquer sa provenance.
Problème
Etant donné un entier naturel n on note R,, ]X ] le R-espace vectoriel des
polynômes a coefficients réels et dont le degré est
inférieur ou égal a n.
'ÏL
Si P : Zazka E R,, ]X ], on dit que P est de degré n lorsque le coefficient an
est non nul; ce coefficient est alors appelé
k=0
n
<< coefiîcz'ent dominant de P >>. Dans tout le problème on identifie le
polynôme P : î: czka et sa fonction polynomiale associée.
k=0
Pour tout entier naturel n, on appelle en la fonction définie pour 95 EUR ]--1,
1] par : c,,(oe) : cos(n arccos(oe))
PARTIE 1.
1. Vérifier que pour tout entier naturel n, la fonction en est continue sur
[--1,1].
2. Pour 95 EUR ]--1, 1], donner une expression polynomiale de cO(oe), cl(oe),
02(oe) et 03(oe).
3. Représenter graphiquement dans un même repère orthonormal les fonctions Co,
cl, 02 et Cg.
4. Montrer que : Vn EUR N*,Voe EUR ]--1, 1], cn+1(oe) + cn_1(oe) : 2oecn(oe).
5. Soit la suite de polynômes (Tn)neN définie par :
T0 : 1,T1 : X, et VTL EUR N,Tn+2 : 2XTn+1 -- Tn
Montrer que pour tout entier naturel n, T,, est un polynôme de degré n de
coefficient dominant que l'on explicitera.
6. Prouver que, pour tout entier naturel n, la famille (TO,T1, ..., Tn) est une
base de R,, ]X ]
7. Montrer que pour 95 EUR ]--1, 1] et n E N, on a T,,(oe) : c,,(oe).
PARTIE 2.
1. Pour tout couple (P, Q) d'éléments de R]X] on pose (P]Q) : /1 Mdt.
_1 \/ 1 -- 152
1.1 Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire sur R]X ] On note ]].]]
la norme associée.
Dans toute la suite du problème R]X ] est muni de ce produit scalaire.
1.2 Soient p et q dans N, on pose Ip,q : / cos(p 9) cos(q 9) dB.
0
Démontrer que, si l'on a p # q alors Ip,q : 0.
Calculer I...,.
1.3 Montrer que, pour tout entier naturel n, la famille (TO,T1, ...,Tn) définie
dans la partie 1 est une base orthogonale
de R..., ]X ]
Cette base est-elle orthonormale ?
1.4 Prouver que pour tout entier naturel n non nul, T... est orthogonal a Rn_1
]X ]
T.,, 2
1.5 Montrer que : Vn E N*, (X"]Tn) : ]] ]]
2n--1'
n--1
2. Soient n E N*, a0,a1, . . . ,an_1 des réels et P le polynôme de Rn[Xl défini
par : P = X" + Z ak Xk
k=0
'n
2.1 Justifier l'existence d'une unique famille de réels (bk)ogk R définie par = et
ük($k) = 1
Vérifier que, pour tout 95 réel7 on a : wk(oe) : Lk(oe).
2.4c Soit j E N.
Calculer lim COS(J EUR) _ COS(J 91EUR) .
9-->9k cos(9) -- cos(9k)
d9 existe.
En déduire que l'intégrale uj :
/7T cos(j @) -- cos(j 91EUR)
0 cos(9) -- cos(9k)
(_1 k+1
Montrer que l'on a Àk : un sin(9k).
2.4d Vérifier que :
Vj E N, uj+2 -- 2uj+1 cos(9k) + uj : 0
2.4e En déduire que Àk : Î.
n
3. Démontrer que, pour tout polynôme R E R2n_1[X], on a la relation :
/--11 Ëdt =% i R(c08(w))
IN CHOIS Y -- 141094 -- D'après documents fournis
