e3a Maths 1 PSI 2016

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Épreuve de Mathématiques 1 PSI
Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne 
seront pas pris
en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe 
quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Tournez la page S.V.P.

Exercice 1.
Soit (an )nN une suite de réels.
Pour tout n  N , on pose :
bn = n(an - an+1 ), An =

n

ak et Bn =

k=1

1

1. On prend dans cette question, pour tout n  1, an =
1.1 Vérifier que la série

2n-1

n

bk

k=1

.

an converge et calculer sa somme.

n1

1.2 Déterminer le rayon de convergence de la série entière

n xn-1

n1

1.3 Montrer que la série

bn converge et calculer sa somme.

n1

2. On prend dans cette question, an =

1
, n  2 et a1 = 0.
n ln(n)

2.1 Etudier la monotonie et la convergence de la suite (an )n2 .

2.2 Quelle est la nature de la série
an ?
n1

2.3 Calculer lim n an .
n+

2.4 Quelle est la nature de la série

bn ?

n1

3. On suppose dans cette question que la série

an converge et que la suite (an )nN est une suite décroissante

n1

de réels positifs.
3.1 Pour tout entier naturel n non nul, on note un =

2n

ap . Montrer que :  n  N , n a2n  un .

p=n+1

3.2 En déduire lim n a2n .
n+

3.3 Démontrer alors que lim n an = 0.
n+

3.4 Montrer que la série

bn converge.

n1

3.5 A-t-on

+

n=1

an =

+

bn ?

n=1

4. On suppose dans cette question que la série

bn converge et que la suite (an )nN est positive, décroissante

n1

et de limite nulle.
4.1 Vérifier que :  m  N , m  n, Bn  Am - m an+1 .

4.2 En déduire que la série
an converge.
n1

2

4.3 Peut-on en déduire que

+

an =

n=1

+

bn ?

n=1

Exercice 2.

Pour tout entier naturel n, on note en : x  R+ - xn e-x .
Soient N  N et E le sous-espace vectoriel de C 1 (R+ , R) défini par : E = 
Vect(e0 , e1 , ..., eN ).
1. Montrer que B = (e0 , e1 , ..., eN ) est une base de E. En déduire la 
dimension de E.
2. Pour tout élément g de E, on note (g) = g  .
2.1 Démontrer que   L (E)
2.2 Ecrire la matrice A de  dans la base B.  est-il un automorphisme de E ?
2.3 Déterminer les éléments propres de . L'endomorphisme  est-il diagonalisable 
?
3. Soient k  0, N  et x  0.
Montrer que la série de terme général wn = ek (x + n) est convergente.
4.
4.1 Pour tout entier naturel k, on considère une suite (un,k )nN telle que la 
série

un,k converge .

n0

Citer le théorème du cours qui justifie que l'on a pour tout N  N :

N
+ 

n=0

k=0

un,k

=

 +
N

k=0

un,k .

n=0

4.2 Soit f  E.
Démontrer que la série de terme général un = f (n + x) est convergente pour 
tout x  0.
On note alors F (x) =

+

f (n + x).

n=0

4.3 Justifier que la série de terme général nj e-n pour tout j fixé de N est 
convergente.
On note alors Aj =

+

nj e-n .

n=0

4.4 Exprimer F (x) en fonction des Aj pour tout x  0.
4.5 En déduire que F  E et que l'application  : f - F ainsi définie est un 
endomorphisme de E.
5. Ecrire la matrice de  dans la base B en fonction des Aj .
L'endomorphisme  est-il diagonalisable ?

3

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Exercice 3.

1. Programmes mystères
1.1 On donne les programmes python P0 et P1 suivants. Que renvoient les appels 
P0(5) , P1(5) et P0(9) , P1(9) ?
Dire en une phrase ce que fait chacun des programmes P0 et P1 ?
P1

P0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

def P0 ( N ) : # N entier naturel
if N == 1 :
return False
if N == 2 :
return True
for d in range (2 , N ) :
if N % d == 0 :
return False
return True

1
2
3
4
5
6
7
8
9

def P1 ( N ) : # N entier naturel
if N == 1 :
return False
if N == 2 :
return True
for d in range (2 , N ) :
if N % d == 0 :
return False
return True

1.2 En une phrase dire ce que fait le programme python, P2, qui utilise le 
programme P1 précédent :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

def P2 ( N ) : # N entier naturel
L = []
k = 0
n = k * k + 1
while n <= N : if P1 ( n ) : L . append ( n ) k = k + 1 n = k * k + 1 return L Que renvoie l'appel P2(127) ? 1.3 Écrire une fonction nextPrime en langage python qui prend un argument entier N et qui retourne comme valeur le premier nombre premier qui est strictement supérieur à N. 1.4 Nombres jumeaux On appelle couple de nombre premiers jumeaux toute liste [p,q] telle que p,q sont deux nombres premiers vérifiant p < q et q = p + 2. Par exemple [3,5], ou[11,13] sont des couples de nombres premiers jumeaux alors que [2,3] ne l'est pas. 1.4a Écrire à l'aide de la fonction nextPrime précédente, une fonction python nommée jumeau, prenant comme argument un entier N et renvoyant le couple [p,q] de nombres premiers jumeaux tel que p strictement supérieur à N et le plus petit possible. Par exemple, >>> jumeau(5), renvoie comme valeur : [11, 13]

4

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***

Dans tout l'exercice :
· on identifie le vecteur V de Rn et la matrice colonne de ses composantes dans 
la base canonique de Rn .

x1
 
· on munit l'espace Rn du produit scalaire usuel : (X|Y ) = t X Y où t X 
désigne la transposée de la matrice X =  ... .

xn

· M est une matrice de Mn (R) possédant n valeurs propres réelles distinctes, 1 
, ..., n .
Pour tout k  1, n, on choisit un vecteur Vk non nul de Ek = Ker(M - k In )
1. Montrer que la matrice t M , transposée de M , est diagonalisable dans Mn 
(R) et admet les mêmes valeurs propres que M .
On choisit alors, pour tout k  1, n, un vecteur Wk non nul de Ker(t M - k In ).
2. Prouver que :  (i, j)  1, n2 , i = j = t Vi Wj = 0.
3. Démontrer que :  i  1, n, t Vi Wi = 0.
Pour tout k  1, n, on note Bk =
4. Exemple : Soit A =

1
0

tV

1
(Vk t Wk ).
k Wk

1
.
2

Vérifier que A posssède deux valeurs propres 1 et 2 , distinctes et telles que 
1 < 2 . Déterminer les matrices B1 + B2 et 1 B1 + 2 B2 . 5. On revient au cas général. Soit k  1, n. Déterminer le rang de Bk . Calculer Bk2 . La matrice Bk est-elle diagonalisable dans Mn (R) ? 6. Déterminer P = n Bk et Q = k=1 n k B k . k=1 7. Soit r  N. Déterminer Gr = n (k )r Bk . k=1 Exercice 5 1. Soient x  R et x la fonction qui à tout réel t associe x (t) = max(x, t). 1.1 Donner une représentation graphique de x . 1 x (t) dt. 1.2 Calculer (x) = 0 1.3 Donner une représentation graphique de . Dans toute la suite de l'exercice, on considère une variable aléatoire X, définie sur un espace probabilisé (, A , P) et on admet que l'on définit une variable aléatoire Y , définie sur le même espace probabilisé par : 1 , Y () = max(X(), t) dt 0 6 M. Um:oe 038 9538? un msg 55 ...o... moeoËwîfi5oe. UmæoewBÈo--. ...ÀË woS 85 8 m D. a. U...Ëm 83m 95355... N 93 55 ...o... UËoE...Ëm %wî, 3 o@ = m 2* 3 N... flo. 2. w.H ÜoE...OE VÂDY ÎÛn H et o....-- & m NAD? ......oe%®Ëbom $ ?