e3a Maths 1 PSI 2020

SESSION 2020 \( D PSISM

NS
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai :14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

1/4
Exercice li.

Pour tout entier naturel n, on définit sur l'intervalle J = [ 1, +cof la 
fonction j, par :

(--1)"
l+nx

fn(X) --

1. Démontrer que la série de fonctions > fn converge simplement sur J.
n>0

On note alors pour tout x de J, &(x) sa somme.
2. Montrer que cette série de fonctions ne converge pas normalement sur J.

3. Etudier alors sa convergence uniforme sur J.
+00
4, Déterminer £ = lim > fn(X).
X-- +00 0
n=

C1)
Tr

5.1. Justifier la convergence de la série de terme général ,. On note a = > U, 
Sa Somme.

n=]

5. Pour n EUR N°, on pose u, =

Ï
5.2. Montrer que l'on a au voisinage de l'infini : @(x) = EUR + + O x)
X

Vx x3/2

Exercice 2.

Soient n EUR Net À = (a;j) EUR .#A(R). On dit que la matrice À est à diagonale 
propre lorsque son

n
polynôme caractéristique est Y4 = EC: -- dj).
i=1
1. Donner deux exemples de matrices à diagonale propre qui ne sont pas 
diagonales.
0 O0 «
2. Soient « et B deux réels et M =|0 0 Ble.zZ(R).
a GB OÙ
Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels & et 6 
pour que M soit
une matrice à diagonale propre.

3. Soient X,, X: et X; des variables aléatoires mutuellement indépendantes 
définies sur un espace

probabilisé (Q, «7, P) et qui suivent toutes les trois la loi géométrique de 
paramètre 3

3.1. Préciser X,(Q). Donner la loi de la variable aléatoire X, et donner sans 
démonstration les
valeurs de son espérance et de sa variance.

3.2. Exprimer l'évènement [X, = X,] sous forme d'une réunion dénombrable 
d'évènements
incompatibles.

2/4
0 0 X1(w) -- X:(w)

3.3. Pour tout w EUR Q, on pose : B(w) = 0 0 X:(&) -- X:(w) |.
X1(w) -- X(w) X2(w) -- X3(w) 0
0 0 X, - X
On notera ainsi B = Û Û X3 -- X; | la fonction qui, à tout w de O, associe

X,--X2 X5 -- X; 0
B()).
Déterminer la probabilité pour que B soit une matrice à diagonale propre.
4, Soit À = (a;;) EUR .#A(R). On rappelle que A7 désigne la matrice transposée 
de la matrice A.

4.1. Calculer tr(A' A) en fonction des coefficients de la matrice À où tr(M) 
désigne la trace de
la matrice M.

4.2. On suppose dans cette question que À est une matrice symétrique réelle.

n

Démontrer que tr(A' A) = > Àf où les A; sont les n valeurs propres distinctes 
ou non de
i=1

la matrice À.

4,3. Déterminer les matrices symétriques réelles à diagonale propre.

Exercice 3.

Soient a un réel strictement positif et f une fonction continue sur KR.

a FO

df, lorsque cela existe.

Pour tout 1 réel, on pose 7(1) = [

a

[
1. | Dans cette question, et uniquement dans cette question, f est la fonction 
f + cos (- T7 |

1.1. En utilisant un développement asymptotique de f au voisinage de +, donner 
un équi-
valent de À -- f(f) lorsque f tend vers l'infin1.

1.2. En déduire l'ensemble des valeurs du réel À pour lesquelles (1) existe.

" fO

1.3. Donner alors un équivalent de Pa df lorsque x tend vers l'infini.

a

2. On suppose qu'il existe 1 et u deux réels pour lesquels Z(2) et Z(u) 
existent. Prouver que l'on
a: lÂ=u.

3. Pour tout x réel, on pose HA(x) = [ (A -- f(r)) dt.

3.1. Justifier que H, est de classe C' sur R et préciser H/(x).

* Hit
3.2. Démontrer que si H, est bornée sur KR, alors 7(1) existe et que Z(A) = e ) 
df.

a

4, Désormais on suppose que f est continue sur R et T ---périodique (T > 0).

Xx+T
4.1. Démontrer que la fonction 4 qui à tout x réel associe w(x) = [ f(®) df est 
constante.
X

T
Montrer alors que l'on a, pour tout réel x : HA1(x + T) -- H}(x) = ÀT - [ f(®) 
df.
0

3/4
4.2. Montrer qu'il existe une unique valeur À, du réel 1 pour laquelle la suite 
(HA(a + nT))yex
est bornée.

4.3. Prouver que, dans ce cas, la fonction H, est périodique et bornée dans KR.

4.4. Déterminer alors toutes les valeurs du réel 1 pour lesquelles 7(4) 
converge.

" fO

4.5. Dans le cas où À # 0, déterminer un équivalent de ---- df lorsque x tend 
vers l'infini.

a

7/2 : 7/2 :
sin(nt Sin(nf
5. Pour tout entier naturel n non nul, on pose À, = [ Co) dr et B, = [ sm] dr.
0 Sin(f) 0 i

5.1. Prouver que À, existe. On admettra qu'il en est de même pour B,.

.. I
5.2. Déterminer un équivalent au voisinage de 0 de la fonction f ne D
sin

5.3. Démontrer que la suite (A, -- B,),aw: est bornée.

5.4. On effectue dans B, le changement de variable u = nt.

5.4.1. Donner un équivalent de B, lorsque n tend vers l'infin1. On pourra 
utiliser les résultats
établis à la question 4.

5.4.2. En déduire un équivalent de À, lorsque n tend vers l'infini.

Exercice 4.

Soient E un plan vectoriel, B = (£, D une base de £ et0 EUR ]0, xl fixé.

On considère l'endomorphisme f de E représenté par sa matrice C dans la base $ 
: C = f ) a ( )

On définit alors sur E une forme bilinéaire symétrique ® par les relations :

D(E, j) = D(J, à) = cos(0) et D(£, à) = D(J, j) = 1.

On rappelle qu'une forme bilinéaire sur E est une application de E° dans R, 
linéaire par rapport à
chacune de ses variables.

1. Soient X = xii + %j et Y = vi + ÿ>j deux vecteurs de Æ. Exprimer ®(X, }) en 
fonction des
réels X1, X2, V1, Y2 et 6.

Montrer que ® est un produit scalaire sur E.
Prouver que f est une isométrie pour le produit scalaire ®.
Déterminer un vecteur k EUR E tel que (£, k) soit une base orthonormée pour ® 
et que dj. k) > (.

Expliciter la matrice de f dans la base (, k. Préciser la nature de f.

SES R

Soit m EUR N°. Pour quelles valeurs de 0 EUR ]0, x a-t-on f" = idg ?

+ © 2% © *% %

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 201168 - D'après documents fournis