e3a Mathématiques PSI 2024

SESSION 2024 (D PSI8M

NE
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

.< Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. . Ne pas utiliser de correcteur. « Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. 1/6 Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. 1/5 EXERCICE 1 Soit 7 un entier naturel non nul. Soient } et Z deux variables aléatoires indépendantes définies sur le Il même espace probabilisé (Q, 7, P) et suivant la même loi binomiale Z Ê :) Y(&w) 0 | On pose, pour tout w EUR Q : A(w) = 2  Z(w) 1. Calcul d'une somme 1.1. Déterminer le coefficient de X" dans le polynôme (1 + X)°". 1.2. En remarquant que (1 + X)" = (1 + X}"(1 + X)"' exprimer le coefficient précédent d'une autre manière. n 2 1.3. En déduire une expression simplifiée de D h k=0 | .... ; ; . fa 2. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur les réels a et c la matrice Ë ; est-elle diagonalisable ? 3. Calculer la probabilité de l'événement {w EUR Q, A(w) est diagonalisable)}. On utilisera la question 1.3 pour simplifier le résultat. 4, Calculer la probabilité de l'événement {w EUR Q, A(w) est inversible}. EXERCICE 2 X SIiX<[ On note E = C°([0, 1], R). On rappelle que pour tout (x, f) EUR [0, 11°, on note min(x, f) = ! | sinon Questions préliminaires 1. Soit a EUR KR. Résoudre dans KR, suivant les valeurs de &, l'équation différentielle y" + ay = 0. 2. Soithe E et a EUR [0,1]. Justifier que la fonction H : x + [ h(r) dt est de classe C! sur [0, 1] et déterminer sa dérivée. RARE 3. Cas particuliers Il 3.1. Tracer la courbe représentative de la fonction f - min È À sur l'intervalle [O, 1]. l il 3.2. Calculer [ min (4 d£. 0 1 3.3. Soit x un réel de [0, 1], exprimer [ min(x, f) df en fonction de x. 0 4. SoitfeE. il 4.1. Justifier queF:xr [ min(x, f) f(t) dt définit une fonction de classe C! sur [0, 1] et 0 pour tout x EUR [0,1], calculer F"'(x). 2/5 4,2. Calculer F(0) et F"(1). 4.3. Démontrer alors que F est de classe C° sur [0, 1] et montrer que F" = -f. À toute fonction f de E, on associe T(f) définie par : 1 VxefO,ll], TG = | min(x, f) f (rt) df 0 5. Montrer que T est un endomorphisme de E. 6. L'application T est-elle injective ? 7. On pose À = {G e C([0,1J,R). G(0) = G(1) = 0}. 7.1. Montrer que Im(T) EUR A. 7.2. Soit G EUR À. Calculer T(G"). 7.3. Déterminer Im(T). 8. Recherche des éléments propres de T 8.1. Démontrer par l'absurde que, si À est une valeur propre de T, alors À est strictement positive. On pourra utiliser la question 4. 8.2. Déterminer les valeurs propres de T. On pourra utiliser la question 4. 8.3. Pour chaque valeur propre de T, déterminer la dimension et une base du sous-espace propre associé. EXERCICE 3 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On identifie dans tout l'exercice .#, 1(R) et R". Pour p et q deux entiers naturels non nuls et pour toute matrice À de .#,,(R), on note A' la matrice de .#y.»(R), transposée de la matrice A. On rappelle que le produit scalaire canonique de deux vecteurs X; et X;, de R" est : (X,|X2) = X, X) et que |IX,|7 = X, X1. (Xi) (y1) Soient X = | : let Y = | : | deux vecteurs linéairement indépendants de KR". \Xn/ \Yn/ On définit la matrice M -- (m, j) Del Lun de MAR) Par : V (z, J) EUR [1,2]. Mi; -- O;; +aX;X; +Byiy;, Î Si J=1 O0 sinon Enfin, on note f l'endomorphisme de R" dont la matrice dans la base canonique de R" est M. où «& et B sont deux réels et 6;; désigne le symbole de Kronecker : 6;; -- 1. Justifier que la matrice M est diagonalisable dans .#,(R). 2. On note Uy = XX'. 2.1. Justifier que Ux EUR .Æ(R) et écrire son terme général. Cette matrice est-elle diagonali- sable ? 2.2. Déterminer le rang de U, puis une base de son image. 2.3. Prouver que Ker (U%) et Im (U%) sont deux sous-espaces vectoriels orthogonaux. 2.4. Prouver que Ker (U%) et Im (U,%) sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires. 3/5 2.5. Déterminer un polynôme annulateur de degré 2 de la matrice Ux. 2.6. On note ux l'endomorphisme de R" canoniquement associé à la matrice Uzx. Déterminer la matrice de ux dans une base adaptée à la décomposition de la question 2.4. 3. Dans le cas particulier où & + 0 et 5 = 0, déterminer les valeurs propres de la matrice M. En déduire une matrice diagonale semblable à la matrice M. 4, On revient au cas général et on se propose de déterminer les valeurs propres de la matrice M = 1, + aUx + BU; quelles que soient les valeurs de & et de £. 4.1. On note F = Vect(X, }) et f l'endomorphisme de R" canoniquement associé à la ma- trice M. 4.1.1. Déterminer MX. 4.1.2. En déduire que F est stable par f. 4.2. Justifier que F-- est aussi stable par f et déterminer l'endomorphisme induit par f sur F-. 1+alXF  a(XIY) 4.3. On note G = - |: BG)  I+BIYI 4.3.1. Justifier que G est la matrice de l'endomorphisme induit sur F par f dans la base (X, Y). 4.3.2. Écrire la matrice de f dans une base adaptée à la décomposition E = F @ Ft. 4.3.3. Justifier, sans calculer ses valeurs propres, que G est diagonalisable dans .#2(R) et que ses valeurs propres sont réelles. 4.3.4. Déterminer les valeurs propres de G. 4.4. Déterminer les valeurs propres de la matrice M. EXERCICE 4 1. Soit n un entier naturel, n > 2.
l/n
-- Î

1
Le Il
On pose, lorsque cette intégrale existe, y, = Î Op df.

1.1. Soit & un réel strictement positif.
1.1.1. Rappeler un développement limité à l'ordre 2en0dehr (1+h)".
1.1.2. En déduire un équivalent, au voisinage de 1, def 1 --f".

1.2. Soit B un réel.

1
Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour que Î ï L DE df converge.
1.3. Justifier l'existence de y, pour tout n > 2.
2. Démonstration d'un encadrement
2.1. Démontrer que l'on a :
- pour tout réelr:1+1
k=0

Soit p un entier naturel non nul.
On suppose que : Vu < 0, U,_1 < EUR" < Un. 2.2.1. Démontrer qu'on a alors : Vu < 0, U,,1 < e". 2.2.2. Démontrer que l'on a également : Vu < 0, e" < Up+2. 2.3. En déduire, pour tout p EUR N°, un encadrement de e" lorsque u est un réel négatif ou nul. Démontrer que l'on a, pour tout f EUR]0, If, pour tout n > 2 et tout p > Î :
2p

1 [1 ' 1 1 [1 '
1 - DE into) < L-exp( int) < DE nt) Prouver que, pour tout entier naturel p non nul et tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, Î In' (f l'intégrale Î ï in mn df existe. On rappelle que In(f) est équivalent à t -- 1 au voisinage de I. . Démontrer que l'on a pour tout n > 2:

1 f'  ---In( 1 ln' _1 D _In(r)

un (1 -- pin _ D n2 o Anim SYhS (1 -- pin

| ) | | In" (®)
. Soit p un entier naturel non nul. Déterminer lim Nr

1 -- PTE SIT D
Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et on s'assurera que leurs 
hypothèses sont
bien vérifiées.

n--+00

l-£

n-- +00

1
-- In(s
. Prouver alors que lim ny, = [ nt) d
0

1
Prouver que, pour tout entier naturel p, l'intégrale [ -- In(r) t" df existe.
0

1
Il
Démontrer que l'on a pour tout entier naturel p : [ -- In(r) 1° dt = TESTS
0 P

l +00
-- In(t Il
Démontrer que l'on a : [ nu) df = D ;
o l---f D=0 (1 + p)
, T° Il
Prouver enfin que l'ona:y, = -- +ol-|.
n--+ 67 n
Ti x
On admettra le résultat : D PS

p=1

FIN

5/5