e3a Maths B PSI 2006

F55T

& 3 &:
CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B PSI

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale 
sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il 
est
amené à prendre.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Exercice 1

On note C l'ensemble des nombres complexes, R l'ensemble des nombres réels et n 
un entier
naturel, 72 Z 2 .

1° Soient al ,a2 , ...... ,a,, des nombres complexes.
On note V(al ,a2 , ...... ,a,, ) le déterminant de la matrice carrée d'ordre n 
telle que, pour ( i, ])

élémlent de {l, 2, ..... ,n,}2 le coefficient situé dans la i-ème ligne et la 
j--ème colonne vaut

1(on rappelle que aj0 =1).

Pour n 23, montrer que: V(al,a2 , ...... ,a") == V(al,a2 , ...... ,an_1) H(a" 
----a,--).

ISiSn--l

Etablir l'égalité : V(a1,a2 , ...... ,a, ) : H(a . - a,) .
Les questions 2° et 3° qui suivent sont indépendantes l'une de l'autre.

2° On désigne par E l'espace vectoriel des polynômes en X , à coefficients 
complexes et de
degré inférieur ou égal à n. Soient 20 ,21 , ...... ,À,, des nombres complexes 
2 à 2 distincts .

Démontrer que ((X + 20)" ,(X + t,)" , ..... ,(X + it,, )" ) est une base de E.

3° Soient x1,x2,î....,xn des nombres réels non nuls, 2 à 2 distincts et c1,c2 , 
...... ,c,, des
nombres complexes.

ixkt

_ On considère l'application g de R vers C telle que: g(t)== Zak @

a) Montrer qu 'il existe un réel a strictement positif tel que les n nombres 
complexes

e'ax1 , e'"x2 , ...... , e'ax_" soient 2 à 2 distincts.

1 Tournez la page S.V.P

ix1t

g(t) Cle ix .
g(t + a) 629 2
g(t + 2a) C3eix3 t
b) Pour [ réel, on pose : Y (t) = - et X (t) =
t + n --- 1 a .
g( ( ) ) Chez xn t

i) Déterminer une matrice carrée A d'ordre n à coefficients complexes telle
que :Y(t) : AX(t).
ii) Montrer que la matrice A est inversible.

0) On suppose que g admet une limite L dans C quand t tend vers + oo .
i) Démontrer que X (t) admet une limite quand t tend vers + oo .

ii) En déduire que pour k élément de { 1,2, ..... , n }, Ck : O .

Exercice 2

R est le corps des nombres réels, et n est un entier naturel supérieur ou égal 
à 2. On note E le
R--espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans R, O,, 
(R) l'ensemble

des matrices orthogonales de E et I,, la matrice unité de E. Pour M élément de 
E, 'M et
tr(M ) désignent respectivement la matrice transposée de M et la trace de M.

Pour (i, j ) élément de { 1,2, ..... ,n }2 , on note E jj la matrice de E dont 
tous les coefficients

sont nuls sauf celui situé dans la i-ème ligne et la j--ème colonne qui vaut 1.

Soient A et B deux éléments fixés de E et f l'endomorphisme de E défini par :
VMeE , f(M)=AMB.

1° Soit C un élément de E. Calculer C E ,-j et E ,-j C .

On suppose que pour tout M élément de E , CM : MC . Prouver qu'il existe a dans 
R tel
que : C : al,, .

2° Pour M et N appartenant à B, on pose : (M |N > : tr (ÎM N ) Montrer que l'on 
définit ainsi
un produit scalaire sur E.

Dans la suite de l'exercice, E est muni de ce produit scalaire.
3° On note f * l'endomorphisme adjoint def. Montrer que :

VMeE , f*(M)= "AM tB.

4° Dans cette question on veut déterminer une condition nécessaire et 
suffisante sur A et B
pour que f soit un endomorphisme orthogonal de E.

IN

a) On suppose que f est un endomorphisme orthogonal de E.
i) Prouver que les matrices 'AA et B 'B sont inversibles et que l'une est 
l'inverse
_ « de l'autre.
ii) Démontrer qu'il existe un réel a strictement positif tel que 'AA : al,. .

b) Démontrer que f est un endomorphisme orthogonal de E si et seulement s'il 
existe
un réel  strictement positif et deux matrices QI et (22 appartenant à On (R)

vérifiant: A=ith et B=--ä-- Q2.

Exercice 3

Dans cet exercice, R est l'ensemble des nombres réels et n est un entier 
naturel.

+oo

1° Soit I' la fonction numérique de la variable réelle suivante :x ---> I' (x) 
= I e"' t '" dt .

0
a) Montrer que l'ensemble de définition de I' est ]O,+ oo [.

On rappelle que : Jb e"2 dt = --'--/-2----7;--. En déduire :I'G--J : JE .

Dans la suite de la question 1°, x désigne un réel strictement positif.
b) Pour n _>_ 1 , on considère l'application fn de ]O,+ oo[ vers R définie par :

+00

11
f"(t)=(l--%) tx"1 si On.

i) Etablir, pour tout réel u, l'inégalité : l+ u .<. e" . ii) Montrer que : lim ... f,, (r) dt : F (x) . n--->+oe 0

1 n x--l
c) Onposezl,,(x)=JÛ(l--t) [ dt.

+oo
Prouver que pour n.>.l,onaz 0 f,.(t)dt=nxln(x) et ln(x)=î n_1(x+l) .
x

l
d) En déduire : F(x) : lim n " -----------------Ï--ï-------------- .
n--->+oe x(x + l)(x + 2)...(x + n)

1
2° Soit p un entier naturel non nul et an : Jo (1 --- t p )" dt .

a) Prouver que pour n _>_ 1 , on a :an : np(an_1 ----an) .
b) En déduire une expression de an en fonction de n et dep ne comportant pas de

)
(/p
y .

pn'

c) Etablir l'équivalence: an ...
n--->+oe

'3-- Tournez la page S.V.P

(1) Soit c un élément de]0,l[ .On pose: an (0) = [:(1 --- t p)" dt .

Prouver que : an -- an (0) S (l --- cp )" . En déduire l'équivalence : an (c) 
... an .
n---->+oe

3° Soit g une application de [0,1] vers [0,1] continue, décroissante telle que :
g(t) =1--- MP + t%(t)

où p est un entier naturel non nul, it un élément de ]0, + oo[ et où 
lin(1)5(t)= 0
t--->

1
On pose :un : f0(g(t))n dt

a) Soit /11 , Àz deux réels tels que :O < Â1 < il < [t2 . i) Justifier l'existence d'un réel c élément de]0,l[ vérifiant : w & [O,c], 0 _<_1--,12cP s1--a2rP _<_ g(t)51--,1er ii)Endéduireque: J(Ï(l--À2tp)"dtSu <(g(c)) +JO (1 Â1tp)" dt iii) Prouver que : 11 a,, (cÀ2%)S un S (g(c))"+ anl(cit %)). ,l2 p all/pan b) Cette question est plus technique et pourra être admise afin d'aborder directement 1 ) (/p Etablir l'équivalence : un «« % n----->+oe p(Ïl/1) P

. 1 t "
4° Pour 71 .>. 1 , on cons1dère :vn = J ---- dt .
, 0 shi

a) Justifier l'existence de vn.
b) Déterminer un équivalent de V,, lorsque n tend vers + oo .