e3a Maths B PSI 2007

YM28

CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PSI

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre.

L'usage de la calcUlatrice est interdit

Exercice 1

C est l'ensemble des nombres complexes, R celui des nombres réels et n est un 
entier naturel,
n 2 2. Soient a1,a2,....,a ,, des éléments de C non tous nuls et P le polynôme 
de C[X]

défini par: P=X" +a1X"'l + +an_1X+an.

Dans tout cet exercice z désigne une racine dans C de P.

Le but de l'exercice est d'établir par deux méthodes différentes une majoration 
de |z| en

fonction des coefficients de P. Les deux parties qui suivent sont indépendantes.

Partie A Utilisation de méthodes algébriques.

On note E le C--espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients 
dans C. I,, est la
matrice identité de E.

On note F le C--espace vectoriel des matrices à n lignes et une colonne et à 
coefficients dans
C. PourX élément de F, on note xi l'élément de la i-ème ligne de X . '

Pour M élément de E, mÿ-- est le coefficient de M situé dans la i-ème ligne et 
la j--ème colonne
de M.

1° Soit M une matrice de E. On suppose que M n'est pas inversible.

a) Montrer qu'il existe X élément de F tel que : M X = O et max |xk | = ].
15k$n

&

ISan
j$i

b) En déduire qu'il existe i élément de {1,2,...,n} tel que lmii m --

l] .

1sij=i--l

2° Soit N la matrice de E définie par : nÿ-- : -- an+1_i sij : n.
0 sinon
0 0 0 _ 614
1 O 0 _ 613
Par exemple pour n = 4 , N =
O 1 () "'" 612
O O 1 _ al

Démontrer que, si  est un élément quelconque de C, det(N -- ÂI,,) = (--1)"P(À) 
.

3° Déduire des 2 questions précédentes que |z| S 1 + max lak | .

lSkSn
Partie B Utilisation de méthodes analytiques.
Soit Q le polynôme de R[X] défini par :Q = X" -- la1|X"--l -- -- { a,,_1 |X -- 
la,, |.
1° Soitg l'application de ]O,+oc[ vers R telle que: g(t) : -- l_'_î1_| --....-- 
lag:11 ! -- la": | .
t t

a) Montrer que g est strictement croissante sur ]O,+ oo [.

b) Prouver que Q admet une seule racine dans ]0, + oo[ ; cette racine sera 
notée to .
2° Soit a élément de ]O,+ oo[ tel que Q(a) Z O. Etudier le signe de Q(| z | ).
En déduire que |z | 5 to 5 a .

3° En appliquant le résultat de la question précédente pour une valeur de a 
judicieusement
choisie , retrouver l'inégalité établie à la question 3° Partie A et prouver 
qu'elle est stricte.

Exercice 2

R est l'ensemble des nombres réels, Z est l'ensemble des entiers relatifs et n 
un entier naturel.
Soit f une application continue de R vers R. On note (Ef) l'équation 
différentielle suivante :

y"(X) --- 2y'(x) + 2y(X) = f (X) .
Dans cet exercice on appelle solution de (Ef) toute application de R vers R de 
classe C2

vérifiant (Ef) sur R.

Le but de l'exercice est de déterminer le nombre de solutions périodiques de 
(Ef).

On rappelle qu'une application ça de R vers R est périodique si et seulement 
s'il existe T

élément de R* tel que : V x e R , ça(x + T) : ça(x) . On dit alors que ça est T 
-périodique ou
que T est une période de ça.

Partie A Dans cette partie on établit quelques propriétés des applications 
périodiques.
Soit ça une application T -périodique de R vers R.

1° Montrer que si ça est continue sur R alors ça est bomée sur R.
2° Montrer que si ça est dérivable sur R alors ça' est T -périodique.

3° On considère l'ensemble Pw suivant :P(p = {t E R, V x E R, ça(x + t) = ça(x) 
}.

Montrer que P? est un sous groupe de (R,+).

Partie B Etude des sous-groupes de (R,+).

Soit G un sous groupe de (R,+) non réduit à {O }.
1° Montrer que G (\ ]O,+ ce [n'est pas vide.

2° On pose a = inf(G (\ ]O,+ oo [).

a) On considère le cas où a > 0.
i) Montrer qu'alors a appartient à G ( on pourra faire un raisonnement par 
l'absurde, en

montrant que si que a n'appartient pas à G il existe des éléments tl et t2 de G 
tels que

a < t2 < tl < 2a et en déduire une contradiction) . ii) Etablir l'égalité G = a Z. b) On considère le cas où a = O. Prouver que G est dense dans R. Partie C Etude du nombre de solutions périodiques de (Ef) dans trois cas simples. 1° Montrer que si (Ef) admet une solution T -périodique alors f est T- périodique. Que peut-on conclure dans le cas où f n'est pas périodique ? 2° Résoudre l'équation différentielle (E 0 ) suivante : y"(x) -- 2 y'(x) + 2 y(x) = O. Prouver que la fonction nulle est la seule solution périodique de (E 0 ). 3° Résoudre l'équation différentielle (EC ) suivante : y"(x) -- 2 y '(x) + 2 y(x) : cosx . Prouver que (EC ) admet une seule solution périodique que l'on déterminera. Partie D Dans cette partie on suppose que f est continue et de plus périodique. On veut établir qu'alors (Ef) admet une seule solution périodique. 1° Dans cette question on prouve que (Ef) admet au moins une solution périodique. a) Soit T une période de f et y une solution de (Ef). On considère l'application z de R vers R définie par : z(x) = y(x + T ) . i) Prouver que 2 est solution de (Ef). ii) Montrer que y est T -périodique si et seulement si y(O) = y(T ) et y'(O) : y'(T ). b) Démontrer que (Ef) admet une solution périodique. 2° Dans cette question on prouve que (Ef) admet une seule solution périodique. a) Cas où Pf est dense dans R. i) Montrer que f est constante (on pourra établir que : V x E R , f(x) = f (0) ) . ii) Conclure. b) Cas où Pf : aZ avec a appartenant à Rî . Soient y] et y2 des solutions périodiques de (EA, Tl une période de y] , T2 une période dC y2 . i) Prouver que T1 et T 2 sont des éléments de Pf . ii) Montrer que y1 et y2 possèdent une période commune. iii) En déduire que y] : yz (on utilisera la question 2° de la Partie C ). Partie E Détermination de la solution périodique de (Ef) dans un cas particulier. Les questions 1° et 2° qui suivent sont indépendantes du reste de l'exercice. Dans cette partie f est l'application de R vers R, 272' - périodique, telle que : V xe[--7z,7z], f(x)=x2. 1° Calculer les coefficients de Fourier réels def. Etudier la convergence de la série de Fourier de f (préciser le mode de convergence de cette série et sa somme). 2° Pour n 2 1 , on considère l'application u,, de R vers R définie par : 4(-1)" ... ((2 -- n2 ) cos(nx) -- 2n sin(nx)). n n un (X) = Montrer que la série de fonctions Zun converge simplement sur R. Soit S l'application de R 72_2 +oo vers R définie par : S (x) = --6-- + Zu,, (x) . Montrer que S est de classe C2 sur R. n=l 3° Prouver que S est l'unique solution périodique de (Ef). +oo 4° Pourx & [--7r,7r] calculer S(x) . Vérifier que : z n=l 4(--1)"(2--n2)_ %" 1 "2 n2(n4+4) 8h75 2 6 '