e3a Maths 2 PSI 2017

162

(EUR)
E' 3 a
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP -- POLYTECH

Epreuve de Mathématiques 2 PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne 
seront pas pris
en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Tournez la page S.V.P.

Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe 
quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Dans tout le problème: on note EUR : .///n(R), On désigne la matrice nulle de 
6" et In la matrice unité de EUR .
Pour toute matrice A de EUR, on note 1"A la matrice transposée de A.

Pour tout couple (i, j ) EUR [[1, MP. EjÏj désigne la matrice de 6" dont tous 
les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne i et de la
colonne j qui vaut 1.

On note 5"n(lR) l'ensemble des matrices symétriques de EUR .

On dit qu'une matrice A de 6" est nilpotente lorsqu'il existe un entier naturel 
p tel que AP : On. En particulier, la matrice
nulle On est nilpotente.

On note ./V l'ensemble des matrices de 6" qui sont nilpotentes .

QUESTIONS DE COURS

1. Quelle est la dimension de EUR ? En donner sans justification une base.

2. Soient (i, j, k,É) EUR [[1, n]]4. Calculer le produit des deux matrices 
E...-- et E.... (On montrera en particulier que ce produit
est nul lorsque j # k)

3. Enoncer le Théorème de Cay1ey Hamilton.

4. K : R ou (C. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une 
matrice M de //ln(K) soit trigonalisable dans

//ln(K).

PARTIE 1 : PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES

Soit A une matrice de ./V

1. La matrice A peut-elle être inversible ? Justifier votre réponse.

2. On note Sp(A) le spectre de A, c'est-à--dire l'ensemble des valeurs propres 
complexes de la matrice A.

Déterminer Sp(A) et donner le polynôme caractéristique de la matrice A.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit diagonalisable.
4. Montrer que le sous-espace vectoriel de 6" engendré par A, noté Vect(A) est 
inclus dans ./V .
5. Vérifier que 'A EUR ./V.
Montrer que si M est semblable a A, alors JW EUR ./V .

. Montrer que A" = On.

oe--1_c>

. En déduire qu'une condition nécessaire et sufiisante pour qu'une matrice M de 
6" soit nilpotente est que : M " = On.

On pourra admettre ce résultat et l'utiliser dans la suite du problème.

9. Montrer que A est trigonalisable dans //{n(R).

Quel est le rang maximal de la matrice A?
10. Soient B et C dans (EUR.
10.1 On suppose que BC EUR ./V. Prouver qu'alors CB EUR ./V.

10.2 Ici, on suppose de plus que l'on a : B EUR ./V et AB : BA.
Montrer que AB EUR ./V et que A+B EUR ./V.

11. Déterminer l'ensemble de toutes les matrices symétriques réelles 
appartenant à ./V .
12. Dans cette question on suppose que la matrice nilpotente A est 
antisymétrique.
12.1 Prouver que A2 = 0...

12.2 En déduire l'ensemble de toutes les matrices antisymétriques appartenant à 
./V . (On pourra utiliser la trace)

PARTIE 2 : EXEMPLES

Dans cette partie M est une matrice de 6".

0 s1 22]
1. Dans cette question, on prend M : (m.-j) EUR (? définie par : V(i,j) EUR 
[[1,n]]2, mij : { , c'est-à--dire :

1 sinon
0 1 1 1
0 0 1 1
M: : : '. :
0 0 0 1
0 0 0 0

1.1 Déterminer les éléments propres (valeurs propres et sous--espaces propres) 
de la matrice M.

1.2 On poseS=M+ tM. A-t-onSEUR./V?

Montrer que S2 6 Vect(l... S). Déterminer alors les éléments propres de la 
matrice S.

1.3 ./V est--il un sous--espace vectoriel de câ' ?

2. Dans cette question on prend 11 : 2.

2.1 On suppose que M est de rang 1.
Montrer que M 2 : tr(llÏ ) M . En déduire que N] est diagonalisabIe ou 
nilpotente.

2.2 Déterminer une matrice nilpotente de J//2(R) dont la diagonale n'est pas 
identiquement nulle.

2.3 En déduire l'ensemble de toutes les matrices nilpotentes de ///2(R).

PARTIE 3 : SOUS-ESPACE ENGENDRÉ PAR ./V

Soient :
. TO le sous-espace vectoriel de 6" constitué des matrices de trace nulle

0 V le sous--espace de (? engendré par ./V : V : Vect(./V ), c'est--à--dire 
l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires (finies)
d'éléments de ./V .

1. Déterminer la dimension de T0.
2. Prouver que ./V et V sont inclus dans TO.

3. Pour tout j EUR [[2,n]], on note :
. Fj : E111 + E1_Ïj '-- j,1 * Ejj
. Gj : Fj -- E1'j +Ej71

3.1 Calculer FÎ.

3.2 Montrer que Gj E V.

Tournez la page S.V.P.

3.3 Soit 9 la famille de matrices de EUR constituée de toutes les matrices 
E..., (i,j) EUR [[1,n]]2 où i # j et de toutes les
matrices Gk pour [EUR EUR [I2,nfl.

Montrer que la famille 3" est libre dans V.

3.4 En déduire que V : TO.

PARTIE 4 : SOUS-ESPACES DE DIMENSION MAXIMALE CONTENUS DANS c/V

Soient 71 le sous-espace vectoriel de £' constitué des matrices triangulaires 
supérieures dont la diagonale est composée uniquement

de O.
1.

2.

Déterminer la dimension de 71.

Montrer que toute matrice nilpotente est semblable a une matrice de 71.

On pourra utiliser des résultats de la partie 1.

. Démontrer que 6" : Yn(lR) @ 7î.

. Soit F un sous-espace vectoriel de 6" contenu dans JV dont la dimension est 
notée d.

n(n -- l)
2 .
Démontrer que l'on a : dim(Yn(R) 0 F) > O. Conclure.

4.1 On suppose que d >

4.2 Quelle est la dimension maximale d'un sous espace de 6" contenu dans ./V ?

Donner un exemple d'un tel sous espace.

PARTIE 5 : UN PEU DE TOPOLOGIE

6" est muni de sa structure d'espace vectoriel normé de dimension finie.

1.

2.

Montrer que ./V est une partie fermée de 6" .
Soient A EUR ./V, a un réel non nul et M : In + aA.
Montrer que det(M ) : 1.

En déduire que toute boule ouverte de centre A contient au moins une matrice de 
rang n puis que l'intérieur de ./V est
vide.

. Soit F un sous--espace de EUR . Montrer que si l'intérieur de F est non vide, 
alors F : EUR.

Retrouver alors le résultat de la question précédente.

PARTIE 6 : DEUX AUTRES RÉSULTATS

Soient A E ./V, 04 un réel non nul et M : In + aA.

1.

On sait que M est inversible. Calculer son inverse a l'aide des puissances de 
la matrice A. On pourra utiliser une suite
géométrique.

. Donner sans démonstration le développement en série entière de la fonction a: 
»--> (1 + :::)1/2.

. Montrer qu'il existe une matrice B de EUR telle que B2 = M.

On exprimera la matrice B comme un polynôme de la matrice A.

-- 171162 -- D apres documents fournis

ÏI\' CFIOÏSY