File d'attente M/Gl/1
COMP
Epreuve 0 de probabilités
On considère la file d'attente à une caisse de supermarché. Il y a un serveur
et un nombre de places infini. Les clients sont servis selon la discipline << premier arrivé, premier servi >>. On appelle << système >>, l'ensemble des clients en
attente
et du client en service. On considère (A... n 2 1) la suite de variables
aléatoires à
valeurs dans N où An représente le nombre de clients arrivés pendant le service
du client n.
On définit la suite (X... n 2 1) comme suit
An ' Xn : 07
XO : 0 et Xn+1 : { +1 81 (1)
Xn--1+An+l san>0.
On suppose que les variables aléatoires (A... n 2 1) sont indépendantes et de
même loi, de loi commune celle d'une variable aléatoire A.
Hypothèse : On suppose que
-- A est à valeurs entières,
-- P(A 2 n) > 0 pour tout entier n,
-- A a une espérance finie, on note p = E [A].
1 Fonction caractéristique
Dans cette section X représente une variable aléatoire quelconque à valeurs
dans N. On définit sa fonction caractéristique çbX par
ÇbxîR-->C
tl--> E le"X] .
10.
. Montrer que çbX est continue sur R et périodique.
. Soit X et Y deux variables aléatoires a valeurs dans N telles que çbX : çby.
Montrer que X et Y ont même loi.
Indication : on pourra considérer les intégrales
1 '" _@
Ik : % _7T Ç/Ôx(t)EUR kt dt.
pour tout entier k.
. Si E [X] < +oo, montrer que çbX est dérivable sur R et calculer çb'X(0). . Calculer la fonction caractéristique d'une variable aléatoire Z : Y + 1 où Y est de loi géométrique de paramètre p. Remarques préliminaires . Etablir que Xn représente le nombre de clients dans le système au moment du départ du client n. . Existe--il M > 0 tel que P(Xn S M) = 1 pour tout n 2 O?
. Montrer que pour tout n 2 17 Xn+1 -- Xn Z --1.
. Pour tout n 2 O, montrer que les variables aléatoires Xn et An+1 sont
indépendantes.
Convergence
. Etablir l'identité suivant pour X une variable aléatoire a valeurs entières :
E lEURüX1{x>0}l = $X(t) -- P(X = 0)
Pour tout entier n, établir la relation suivante :
cbxn+1(t) = @A(t) lEUR_itcbxn(t) + (1 -- EUR_ü)P(Xn = 0)l -
On suppose dorénavant que 0 < p < 1. On admet qu'alors la suite (P(Xn : O), n 2 1) converge vers une limite, notée oz. On suppose que A n'est pas arithmétique, c'est--à--dire que lç/5A(t)l < 1 pour 15EUR {2k7r, le E Z}. On pose 9 : [--7T, 7T] _) C 0 l--> 1
$AÜÙÜ=--6_ü)
1 --qôA(t)e--it
11. Etablir le développement limité a l'ordre 1, de çbA au voisinage de O.
Él-->Oz
pour t # O.
12. Que doit valoir oz pour que 9 soit continue en 0 ?
13. On fixe 6 > 0. Pour tout t E [--7T, 7T]\{0}, identifier & EUR]0, 1[ tel que
pour
tout entier n suffisamment grand, on ait l'identité suivante :
lq'Xn+1(t) _ 9(t)l É 5t lÔXn(t) -- 9(t)l + EUR.
14. Montrer que la suite de fonctions ($X... n 2 1) converge simplement vers 9_
4 Application
On suppose que
1
t=----------+.
@@) 1+p--pW
15. Identifier la loi de A.
16. Montrer que q5A satisfait les hypothèses requises.
17. Calculer 9 et identifier la loi de Y.
