Mines Maths 1 PSI 2001

A 2001 Math PSI 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÉRONAUÏ'IQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏTONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏÏONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D'ADMISSION 2001

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
. MATHEMATIQUES l-Filière PSI.

Cet énoncé comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Dans tout ce problème l'entier n est supérieur ou égal à 1 (n 2 1) ; E est un 
espace vectoriel
complexe de dimension n. Le but de ce problème est d'étudier les applications 
semi--linéaires de
l'espace vectoriel complexe E dans lui--même. Une application u de E dans 
lui--même est
semi-linéaire si elle possède la propriété suivante :

Pour tout scalaire a et tout couple de vecteurs x et y de l'espace vectoriel E 
la relation
ci-dessous est vérifiée :

u(ax+y) = â' u(x) + u(y).

Le nombre complexe 22 est le nombre complexe conjugué de a.

Un nombre complexe Il est une valeur co-propre de l'application semi--linéaire 
u s'il existe un
vecteur x différent de 0 tel que la relation ci--dessous soit vérifiée :

u(x) : px.

Le vecteur x est un vecteur co--propre associé àla valeur co--propre p.

Tournez la page S.V.P.
- 1/5 -

Première partie

Le but de cette partie est d'étudier, pour une application semi--linéaire u 
donnée, les valeurs et
vecteurs co-propres.

1--1. Premières propriétés.
Soit u une application semi--linéaire de l'espace vectoriel E.

a. Démontrer qu'étant donné un vecteur x, différent de O, appartenant à 
l'espace E, il existe au
plus un nombre complexe # tel que la relation u(x) : u x ait lieu.

b. Démontrer que, si le nombre complexe il est une valeur co--propre de 
l'application
semi--linéaire u, pour tout réel 9, le nombre complexe u e" " est encore valeur 
co--propre de
l'application semi-linéaire u. Exprimer un vecteur co--pr0pre associé à la 
valeur co-propre ,u ei " en
fonction d'un vecteur co-propre x associé àla valeur co-propre ,u et du réel 9.

c. Étant donnée une valeur co-propre ,u de l'application semi-linéaire u, soit 
E # l'ensemble des
vecteurs x de l'espace vectoriel E qui vérifient la relation u(x) : ,u x :

E}} = {x eE | u(x) : ux}.
Est--ce que l'ensemble E ,1 est un espace vectoriel complexe ? réel ?

d. Étant données deux applications semi--linéaires u et v, étudier la linéarité 
de l'application
composée u 0 v.

1--2. Matrice associée à une application semi-linéaire :

Soit u une application semi-linéaire de l'espace vectoriel E ; soit (e,--) 
l_<_iSn une base de l'espace vectoriel E. À un vecteur x, de coordonnées xl , x2, ..., x... est associée une matrice-colonne X, d'éléments xl, x2, ..., x... appelée (abusivement) vecteur. a. Démontrer qu'à l'application semi--linéaire u est associée dans la base (e,--)ISËn de E une matrice A, carrée complexe d'ordre n, telle que la relation y = u(x) s'écrive : Y : AÎ(. La matrice colonne X' est la matrice complexe conjuguée de la matrice--colonne X. b. SoientA et B les matrices associées à une même application semi-linéaire u dans les bases (e ,-) 155" et (f,--)ISËn respectivement. Soit S la matrice de passage de la base (e ,--) 151511 à la base (fi)15fsn- Exprimer la matrice B en fonction des matrices A et S. Étant donnée une matrice carrée A, complexe, d'ordre n, le vecteurX , différent de 0, (X #= O) est un vecteur co--propre de la matrice A, associé à la valeur co-propre ,a, si le vecteur X et le nombre complexe # vérifient la relation matricielle ci-dessous : AÏ=,uX. Dans la suite toutes les matrices considérées sont des matrices carrées complexes. --2/5-- 1--3. Exemples : . . . . 0 --1 a. SoitA la matnce d'ordre 2 défime par la relaüon su1vante : A = 1 0 . Rechercher a _ , les valeurs co--propres ,u et les vecteurs co--propres X = b assoc1es. b. Démontrer que, si une matrice A est réelle et admet une valeur propre réelle À, cette matrice a au moins une valeur co-propre. 1--4. Correspondance entre les valeurs co--propres de la matrice A et les valeurs propres de la matrice AÂ : SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n. a. Démontrer que, si le scalaire # est une valeur co--propre de la matrice A, le nombre réel | pl2 est une valeur propre de la matrice AA. b. Soit ). une valeur propre positive ou nulle (Â Z O) de la matrice AÂ et X un vecteur propre associé : AÂX= ÀX. Démontrer que le réel JÎ est une valeur co--propre de la matrice A en envisageant les deux cas suivants : i. les vecteurs AX etX sont liés ; ii. les vecteurs AX etX sont indépendants ; c. En déduire que, pour que le réel positif ou nul ,u soit __valeur co--propre de la matrice A, il faut et il suffit que le réel #2 soit valeur propre de la matrice AA. (1. Étant donné un réel m, soitA... la matrice définie par la relation suivante : m--1 10 A...: Déterminer les valeurs co--propres réelles positives ; discuter suivant les valeurs du réel m. 1--5. Cas d'une matrice triangulaire supérieure : Dans cette question la matrice A est une matrice triangulaire supérieure (les éléments situés en--dessous de la diagonale principale sont nuls). a. Démontrer que, si À est une valeur propre de la matrice A, pour tout réel 9, le nombre complexe À ei " est une valeur co-propre de la matrice A. b. Démontrer que, si y est une valeur co--propre de la matrice A, il existe un réel 9 tel que le nombre complexe # ei " soit valeur propre de la matrice A. Tournez la page S.V.P. - 3/5 - c. SoitA la matrice définie par la relation ci-dessous : A= Oi Démontrer que le réel 1 est valeur co--propre de cette matrice et déterminer un vecteur X . , a + il) co-propre associe. Poser :X = _ c + Id 1--6. Une caractérisation des valeurs co-propres : SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n ; soient B et C les matrices réelles définies par la relation suivante : A = B + i C. Démontrer que le nombre complexe il est valeur co--propre de la matrice A si et seulement si le nombre réel lu| est une valeur propre de la matrice D, carrée réelle d'ordre 2n, définie par blocs par la relation suivante : B C D = C ----B Seconde partie Étant données deux matrices carrées complexes A et B d'ordre n, s'il existe une matrice carrée complexe S d'ordre n inversible (S EUR GL,,(C)) telle que la relation -----1 B = SA.S soit vérifiée, les deux matrices A et B sont dites co--semblables. Si une matrice A est co--semblable à une matn'ce diagonale, la matrice A est dite co--OEagonalisable Le but de cette partie est de rechercher à quelles conditions une matrice est co--diagonalisable II--l. Une relation d'équivalence : Etant données deux matrices carrées complexes A et B d'ordre n, ces matrices sont dites satisfaire la relation a: si et seulement si ces deux matrices sont co-semblables : ---1 AÆBOEHSEGLn(C)ZB=SA.S . Démontrer que la relation % est une relation d'équivalence dans l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre n. II--2. Indépendance des vecteurs co--propres : SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n, soient X 1, X 2, ..., X k, k vecteurs co--propres de la matriceA associés à des valeurs co--propres ... , p2, pk ; l'entier k est inférieur ou égal à l'entier 11 (k 5 n). Démontrer que, si les valeurs co--propres ,u,,, p = l, 2, ...,k ont des modules -4/5 - différents les uns des autres (p #= q => |pp| #: H...), la famille (X1, X2,..., 
Xk) est libre.

- En déduire que, si la matrice AZ a n valeurs propres À, p = 1, 2, ..., n , 
positives ou nulles,
(AP 2 O), distinctes les unes des autres (p #= q :> A.}, =}: lq), la matriceA 
est co--diagonalisable.

11--3. Quelques propriétés :
a. Soit S une matrice carrée complexe d'ordre n inversible (S G GL,,(C )) ; 
soit A la matrice
définie par la relation

A=S.S .

Calculer la matrice produit AÂ .

b. SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n telle que
AZ : I...

démontrer qu'il existe au moins un réel 9 tel que la matrice S (9) définie par 
la relation
ci-dessous

S(9) : e"'A +e'"' [,,,

soit inversible. Calculer, en donnant au réel 9 cette valeur, la matrice A.S(6) 
; en déduire la

-------1

matrice S(9).S(8) .

II-4. Une condition nécessaire :

Soit A une matrice d'ordre n co--diagonalisable Il existe par suite une matrice 
S inversible telle
que la matrice S"1A.Ë soit diagonale. Démontrer que la matrice AÂ est 
diagonalisable, que ses
valeurs propres sont positives ou nulles et que le rang de la matrice A est 
égal au rang de la matrice

AÂ .
II-S. Exemples :
a. SoitA une matrice symétrique réelle d'ordre n ; est--elle co--diagonalisable 
?

b. SoientA, B, C etD les matrices d'ordre 2 suivantes :

il 1-1
A: ,B_-_- ,
(or) (11)
01 1'
,D= '.
(00) (il)

Est-ce que ces matrices sont diagonalisahles ? co--diagonalisables ?

FIN DU PROBLÈME

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