Mines Maths 1 PSI 2002

J. 2069
A 2002 Math PSI 1 ,

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAHÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTOENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCATÏONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ( Filière TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT , 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 1-Filière PSI.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le

signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Étant donnée une fonction f réelle, définie sur le segment [O, 1], indéfiniment 
défivable, soit
(u,,)neN la suite réelle définie par les relations suivantes :

(U) ...) = 1 ;pour tout entiern strictement positif, un : üj(%) 
=j(--Î--)j(%)...f(%)

Soit R le rayon de convergence de la série entière de terme général un x", n = 
0 1 2 Soit F

7 7 ?

la somme de cette série entière ; son ensemble de définition est l'ensemble des 
points en lesquels la
série entière est convergente. Elle est définie par la relation suivante :

F(x) : É un x".
n=0

Première partie

I--1. Rayon de convergence :

a. Exemples : étant donnés un réel ou différent de 0 (a i 0) et un entier 
naturel p différent de 0
(p 2 l), déterminer les rayons de convergence et les sommes F1 , F 2 et F 3 des 
séries entières de
terme général u,, x", lorsque la fonction f est successivement définie par 
l'une des trois relations
suivantes :

fl(t) : aàf2Ü) = at;f3(t) =pt----l_

Préciser les ensembles de définition des trois fonctions F1 , F 2 et F 3 ; pour 
déterminer la

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Tournez la page S.V.P.

fonction F 3, exprimer le coefficient un pour n 5 p -- 1 au moyen du 
coefficient du binôme C;_1

égalà P'1
n

b. Déterminer, pour une fonction f réelle, définie sur le segment [O, 1 ], 
indéfiniment dérivable,
le rayon de convergence de la série entière de terme général un x".

Dans la suite du problème, les fonctions indéfiniment dérivables f considérées 
prennent des
valeurs différentes de 0 en tout point d'abscisse 1/n où n est un entier 
strictement positif (pour tout
entier n strictement positif f(1/n) = O).

I--2 Suite de terme général un :
a. Démontrer que, si la fonction f prend une valeur en 0 strictement positive 
(f(0) > 0), il
existe un rang N tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N, le réel un 
soit de signe constant.

b. Étudier la convergence de la suite (un)"eN dans les deux cas suivants :
i. le réel 1f(0)| appartient à l'intervalle semi-ouvert [0,1[ (0 5 1f(0)| < 1), ii. le réel 1f(0)| est strictement supérieur à 1 Qf(0)| > 1).

Dans toute la suite du problème, la fonction f prend la valeur 1 en 0 (f(0) = 
1) et des valeurs
strictement positives sur le segment [O, 1 ].

I--3. Série de terme général un :
Soit 5 la valeur prise par la fonction dérivée f ' en 0 :

B =f '(0)--
Soit (v,?)neN la suite définie par les relations suivantes :

un

vo = 1 ; pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : v,, = {3 .
n

Dans le cas particulier où ,5 est nul : vn = un.
Etudier la convergence de la série dont le terme général w... n = 1, 2, est 
défini par la

relation :

Vn

pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : wn = ln v 1 .
n--

En déduire l'existence d'une constante L, différente de O, telle que un soit 
équivalent à l'infini à
L n".

un ... Ln".

I--4. Fonction F :

a. Soit f une fonction réelle, définie sur le segment [O, 1], strictement 
positive, indéfiniment
dérivable, prenant la valeur 1 en 0 ; déterminer l'ensemble de définition D F 
de la fonction F,

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c'est-à--dire l'ensemble des réels pour lesquels la série de terme général un 
x" est convergente ; les
coefficients un sont définis par la relation (U) de la première page.

b. Exemple : étant donné un réel et différent d'un entier naturel, soit f la 
fonction définie sur
l'intervalle [O, 1] par la relation suivante :

f(t) = 1--at.

Soit F la fonction égale à la somme de la série entière de terme général u" x" 
; les coefficients
u,, sont définis par la relation (U). Ecrire l'expression de F (x) comme somme 
d'une série entière ;
préciser son rayon de convergence. Reconnaître la fonction F.

Deuxième partie

Soit a un réel strictement compris entre 0 et 1 (0 < a < 1) ; soit f la fonction définie sur le segment [O, 1 ] par la relation suivante : f(t) : 1-- 012 t2. C'est un exemple de fonction f dont la dérivée est nulle en 0 (f '(0) = 0). Soit g la fonction définie sur l'intervalle ouvert ]--1, 1 [ par les relations suivantes : = - ' ' : EQÊ.<ÆQ _ _1_. g(0) 0 , pour toutxvenfiant O< [x] < ], g(x) sin (xx) xx . II--l. Propriétés de la fonction g : a. Démontrer que la fonction g, définie par les relations ci-dessus, est continue sur l'intervalle ouvert ]---1 , 1 [. Calculer pour tout réel (1, appartenant à l'intervalle ouvert ]--1, 1 [, l'intégrale la définie par la relation ci--dessous : la = jag(t) dt. 0 b. Soit h la fonction complexe, périodique de période 27t, définie sur l'intervalle semi-ouvert [O, 27r[ par la relation suivante : pour tout réel [ vérifiant les inégalités 0 S t < 275, h(t) = e""" . Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction il ; préciser la convergence de la série obtenue. En déduire la relation : __1 00 2a 8<">*îZ;ïïÿ-
n=l

c. En déduire une expression de l'intégrale I... considérée à l'alinéa a, au 
moyen de la somme
d'une série.

Tournez la page S.VQP.
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Il--2. Convergence de la suite (u,,),,eN :
Démontrer que la suite (u,,)nGN définie à partir de la fonction f grâce aux 
relations (U) est
convergente et déterminer sa limite.

Troisième partie

Le but de cette partie est d'utiliser les résultats de la deuxième partie pour 
établir des
propriétés de la fonction G définie sur la demi-droite ouverte ]0, oe[ par la 
relation :

_ 00 --1 ---t __ --1 ---t
G(x)--IÛt"° e dt_J]o,oe[lx e dt.

Étant donné un entier n supérieur ou égal à 1 (n 2 1), soit ça,, la fonction 
définie sur le quart de
plan ]0, oo[ x ]0, oe[ par la relation suivante :

(pn(x, 1) =tx_l(l----;t,--)n, Si0 0), 
soit J,, (x) l'intégrale
définie par la relation suivante :

1
J,,(x) : _[0(1 -- t)" tx"1dt : j]o,1](1__t)n f'"1 dl.

Calculer cette intégrale.

b. En déduire, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 et tout réel x 
strictement positif, une
expression de G,, (x).

Ill--3. Relation des compléments :
Démontrer, pour tout réel x strictement compris entre 0 et 1 (0 < x < 1), la relation suivante : G(x) G(1 ----x) : ELX--(%;)-- FIN DU PROBLÈME -4/4-