Mines Maths 1 PSI 2003

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUS SÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÉRONAUÏÏQÜE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIÔNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICAIIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2003

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière PSI
_ (Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis àla disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 1-Filière PSI.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Soit 1 le segment d'extrémités 0 et 1 : I = [O, 1] ; dans tout ce problème h et 
f sont des
fonctions réelles données définies et continues sur la droite réelle IR. Soit 
(E) l'équation
différentielle suivante :

(E) --Y"(x) + h(JC) 3706) = f(X),
où la fonction y est une fonction inconnue définie sur la droite réelle R.
Le but de ce problème est d'étudier les solutions de cette équation 
différentielle (E) qui

vérifient les conditions "aux limites" suivantes : la solution y recherchée est 
nulle en chacune des
extrémités 0 et 1 de l'intervalle I.

Les fonctions h et f étant des fonctions réelles continues sur R, soit (S) le 
système constitué de
l'équation différentielle (E) et des équations exprimant la nullité de la 
solution y aux extrémités 0
et 1 de l'intervalle] : '

(S) --y"(x) +hy(x> =f = o, y... = 0.

Une fonction y, définie sur R, deux fois confinûment dérivable sur R, vérifiant 
les équations du
système (8) est dite solution du système (S).

Première partie

La fonction h est égale à une constante et la fonction f est nulle :
1. Démontrer que, lorsque la fonction h, définie sur R, est égale à une 
constante réelle a

(h(x) = a e R et la fonction f est nulle (f(x) = 0), la seule solution y du 
système (S) est la
fonction nulle y(x) = 0 pour tout x) , sauf pour certaines valeurs du réel a 
qui seront précisées ;

_ poser et = (02 ou a = --oe2 (m > 0), suivant que le réel a est strictement 
positif ou strictement
négatif.

Une expression de la solution du système (S) :
Un résultat préliminaire : soit (p une fonction réelle définie et continue sur 
la droite réelle IR ;

soit (1) la fonction définie par la relation suivante :
x 1
pour tout réel x, 1(0) = o, q>1(1) = o,

les fonctions (D et (131 sont égales ((D1 : CD).

4. En déduire, lorsque la fonction h est nulle, l'existence et l'unicité d'une 
solution y du
système (So) suivant :

(So) ---y"(x) =f(x),
y(0) = 0, y(1) = 0--

Une condition sur la fonction h lorsque la fonction f est nulle :
La fonction f est supposée nulle ({ = O) ; le système (S) s'écrit,

{ ---y"(x) +h = 0, ya) = o.

5. Démontrer que, pour qu'une fonction y, définie et continue sur la droite 
réelle R, vérifie le
système (81 ), il faut et il suffit que la fonction y vérifie, pour tout réel 
x, la relation (R) suivante :

(R) pour tout réel x, y(x) = (x--1)Iïth(t)y(t) dt+x [ 1(t=1 )h(t) y(t) dt.

6. Démontrer l'existence de deux réels H et Y respectivement maximums des 
valeurs absolues
des fonctions h et y sur le segment I = [0,1].

7. Soit y une solution du système (81 ) ; démontrer, pour tout réel x 
appartenant au segment I
(O 5 x 5 l), l'inégalité suivante :

b'(x)| S _8--'

8. En déduire une condition nécessaire sur la fonction h, pour qu'il existe des 
solutions y,
autres que la fonction nulle, du système (81 ). Vérifier que, lorsque la 
fonction h est constante, cette
condition est remplie lorsqu'il y a des solutions différentes de O.

Seconde partie

Rappel : une fonction f, réelle, définie sur la droite réelle IR, est dite 
2-péfiodique si et
' seulement si : pour tout réel x, f(x + 2) = f(x). Les coefficients de Fourier 
a,,(f), b,,(f), n _>_ 1,
sont définis par les relations suivantes :

z 2
pour tout n supérieur ou égal à l, a,,(f) = Jof(t) cos (n n t) dt, b,,(f) = 
Jof(t) sin(n ?! t) dt.

Le but de cette seconde partie est de résoudre l'équation différentielle 
suivante

(F) --J'"(x) + 1100 N') = f(x),

où h et f sont des fonctions définies sur la droite réelle, continues, 
impaires, 2-péfiodiques. La
fonction inconnue y est supposée impaire, elle aussi 2-péfiodique, mais en plus 
deux fois
confinûment dérivable et vérifiant les conditions aux limites suivantes sur le 
segment [ : elle est
nulle en 0 et en 1.

Lorsque la fonction y, impaire 2-péfiodique, deux fois confinûment dérivable, 
vérifie l'équation
difi'érenfielle (F) et les conditions aux limites définies ci--dessus, elle est 
dite solution du système
(T) suivant:

(T) --y' '(x) + 110!) WC) = f(x),
Y(0) = 0, J'... = 0-

Soit G la fonction définie dans le carré I >< I par la relation suivante : (x,t) H G(x, t){ t(] --x), si0$t5x, x(l--t), sixSt51. Étant donné un réel x fixé du segment 1, soit &, la fonction impaire, 2-péfiodique, égale à G(x, t) pour tout réel t appartenant au segment I : v: e 1, ä,(t) = G(x, t). Développement en série de Fourier de la fonction &, : 9. Tracer le graphe de la restriction de la fonction Gx au segment [--1, 1 ] Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction a,. 10. Y a--t--il égalité, pour tout réel t, entre &, (t) et la somme de la série de Fourier obtenue ? Préciser et vérifier la nature de la convergence. 11. En déduire que la fonction G : (x, t) r--> G(x, t) est, dans le carré] x I, 
la somme d'une
série de fonctions uniformément convergente. '

Solution du système (T) lorsque la fonction h est nulle :
12. Démontrer, lorsque la fonction h est nulle, qu'il existe une seule solution 
possible 2 au

système (T). Préciser son expression à l'aide de la fonction G.

13. Déterminer, lorsque la fonction h est nulle, le développement en série de 
Fourier de la
fonction z ,exprimer les coefficients de Fourier de la fonction 2 à l'aide de 
ceux def En déduire

_ l'existence d'1me solution au système (T ).

14. Exemple : la fonction h est nulle, fest la fonction impaire, 2-péfiodique, 
définie sur le
segment I par la relation suivante
1', si0 5 t5 1/2,

l--t, srl/25151.

Déterminer le développement en série de Fourier de la solution f puis celui de 
la fonction u
solution du système (T ). Est--ce que le développement en série de Fourier de 
la fonction u obtenu

est celui d'une fonction deux fois confinûment dérivable ?

La fonction h est une constante :

La fonction h est supposée dans la suite égale à une constante a différente de 
0 (a #= 0). La
fonction f est toujours une fonction impaire, 2--péfiodique. Le but de cette 
question est de
rechercher une solution du système

---y"(x> +ay =f(x>,
(T') { y(O)=o, y=O

La méthode proposée consiste à écrire ce système sous la forme suivante :

(... --y" =f(x) --ay,
y f(x) 4-- a y(x) joue le même rôle que 
celui joué par la fonction f
aux questions 12 et 13.

15. En supposant qu'il existe une solution 2 au système (Ta ), déterminer les 
relations que
doivent vérifier les coefficients de Fourier de la fonction z.

16. Discuter suivant les valeurs du réel a l'existence de solutions des 
équations vérifiées par les
coefficients de Fourier de la fonction 2.

17. Démontrer, lorsque les équations donnant les coefficients de Fourier de la 
fonction 2
admettent des solutions et que la fonction f est de classe C1 par morceaux sur 
R, l'existence d'une
fonction 2 solution du système (Ta ).

18. Exemple : Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction 2 
lorsque la
fonction f est la fonction définie àla question 14.

FIN DU PROBLÈME