Mines Maths 1 PSI 2004

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNIÇATIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis àla disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES l--Filière PSI.

Cet énoncé comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Ce problème met en évidence par une méthode originale une propriété et une 
méthode de
calcul de la moyenne et de la variance bien connues en Probabilités.

Soit S l'ensemble des suites réelles U = (un)"eN dont tous les tenues u,, sont 
positifs ou nuls et
la somme égale à 1 :

S={U|U=(un)oeN, Vn,u,,20, Zun=l}.
n=0

Soit F l'ensemble des fonctions réelles f qui sont des sommes de série entière 
de rayon de
convergence R supérieur ou égal à l ; ces séries entières sont convergentes 
lorsque le 1e'el x est égal

à l et leur somme vaut 1 en ce point ; toutes les dérivées des fonctions f en 0 
sont positives ou
nulles :

F= {] } f(x) = Eaux", Za,, =], R _>_ 1, Vn,fl'°(0) _>_ O}.
n==0 n=0

À une suite U = (u,, ),,GN, appartenant à S, est associée la fonction f définie 
par la relation
suivante :

f(x) = Êu,, x".
n--=O

Soit j l'application ainsi définie : U r---+ f = j(U) ; la fonction j(U) est 
notée Ü.

Propriétés des fonctions de F et des suites de S :

l. Démontrer que toute fonction _fl qui appartient à l'ensemble F, est, sur 
l'intervalle ouvert
1 = ]-----1 , l [, une fonction indéfiniment dérivable, croissante sur le 
segment [0,1] et convexe sur
l'intervalle semi--ouvert [O, 1 [.

2. Démontrer que toute fonction fi qui appartient à l'ensemble F, est continue 
à gauche en 1.

Exemples : soient G, E' et Vles trois suites définies par les relations 
suivantes :
. G est la suite géométrique de terme général g,, = 1/2"+ ' :

G = (%)....

- Étant donné un entier naturel q, E'" est la suite dont tous les tenues sont 
nuls sauf le terme de
rang q égal à 1 :

54 == (0,...,0,1,0,-----).

- V = (v,, ),",N est la suite de réels définie par les relations suivantes :

«, --1
vo =1/2;pourn31, v,, = ---Ë--aveca= (2ë-ä;) .

3. Montrer que les suites G, Eq et Vsont dans S. Déterminer les images @ =j(G), 
ËÏ == j(E'1 )
des suites G et E' ; calculer la dérivée V' de la fonction V = j(V) image de la 
suite V; puis donner
l'expression de V(x) à l'aide d'une intégrale.

4. Soit f une fonction appartenant à l'ensemble F.

Démontrer que, si la fonction f est nulle en 0 ()'(0) = 0), la fonction f est, 
soit égale à x sur le
segment [O, 1], soit strictement majorée par x sur l'intervalle ouvert ]0, ][
(Of(x)  O), 
l'équation
fût) = x

a, dans l'intervalle ouvert ]0, l [, au plus une solution.

5. Démontrer que, pour toute suite U appartenant à l'ensemble S, la fonction 
j(U) appartient à
l'ensemble F. Démontrer que l'application j est une application bijective de 
l'ensemble S sur
l'ensemble F.

Une loi de com position dans l'ensemble S :
Etant données deux suites U : (u,,)m_ZN et V = (vu)",EN appartenant à 
l'ensemble S, soit U * V
la suite, dont les termes w,,, 11 6 N, sont défmis par la relation suivante :

n
pat)

6. Démontrer que la suite U * V a (w,,),,eN ainsi définie appartient à 
l'ensemble S.

7. Démontrer qu'étant données deux suites U et Vde S, àla composée U * Vde ces 
suites
correspond par l'application j le produit des fonctions j(U) et j( V) :

A
.

J'(U*V)=J'(U)j(V) ou ÜW=Ü.V

8. Démontrer que la loi de composition * définie ci--dessus est associative, a 
un élément neutre
et est commutafive.

Étant donnés un réel p, strictement compris entre 0 et 1 (0 < p < 1 ) et un réel À strictement positif, soient BP , I'? et FF1 les suites définies de la manière suivante : . BP est la suite dont tous les tenues 135, n e N, sont nuls sauf les deux premiers : fif,' = l --- p afii=p= Æ=Ûengam...) - I'" est la suite de terme général 75 = (l --- p) p", n e N : PP-= ((1--p)p"),æN. - H est la suite de terme général rtf; = %-- e"'*, n e N : H"= -------Ân e") . "! neN Produit de composition * de chacune de ces suites q fois avec elle--même : 9. Démontrer que les trois suites BP , PP et II' appartiennent à l'ensemble S. Déterminer leurs images @, Î"Ï et II'1 par l'application j. 10. Étant donné un entier naturel q strictement positif, déterminer les suites BP*q, PP"? et II"" obtenues respectivement à partir des suites B", F" et Il par composition q fois avec elle--même. Préciser les tenues de ces suites notés respectivement fi£*" , $*" et 7rä*", n e N. Pour un réel À donné, limite de la suite B'Ë'*q lorsque l'entier q croît vers l'infini. 11. Le réel strictement positif A est donné ; lorsque l'entier q est suffisamment grand, le rapport Àlq est un réel strictement compris entre 0 et 1. Déterminer, pour tout entier n fixé, la limite du tenue _1. . B,? "' de rang n de la suite B'Ê'*'1 , lorsque l'entier q croît vers l'infini. Exprimer cette limite à l'aide du terme it,/} de rang n de la suite Il". Suite d'éléments de S : 12. Soit une suite (U'1 ) qu d'éléments de l'ensemble S. Soit u?, le terme de rang n de la suite U" : U'1 : (u'i',)fiGN . Cette suite d'éléments de S est supposée telle que chacune des suites des termes de rang n (u3 ) M est, lorsque l'entier q croît vers l'infmi, une suite convergente de limite v,,. Démontrer que la série de terme général v... n G N , est une série de terme général positif ou nul, convergente, de somme inférieure ou égale à l : oe Zv,, S 1. n=0 Donner un exemple de suite (U" ) @ d'éléments de l'ensemble S telle que chacune des suites (uZ ) @ définie par les termes de rang n soit convergente et de limite v,1 nulle. Étant donné un réel r strictement positif (r > 0), soit S, le sous--ensemble 
des éléments
U = (un)"ëN de l'ensemble S tels que la série de terme général u,, n'", n e N, 
soit convergente.

Sr: {Ul UGS, U=(un)nEN--, zunnr 0, s > O) , 
démontrer que, si les

réels r et s sont distincts l'un de l'autre (r := s), l'un des deux 
sous--ensembles Sr et Ss est contenu
dans l'autre.

À une suite U = (un)"eN appartenant à l'ensemble S ] , est associé le réel 
M(U), appelé
moyenne de U, défini par la relation suivante :

M(U) == fin un.
n=l

À une suite U = (un)"ëN appartenant à l'ensemble SZ, est associé le réel V(U), 
appelé
variance de U, défini par la relation suivante :

V(U) == Ên2 un --M(U)2.
n=l

Dans toute la suite du problème l'élément U de S appartient au sous-ensemble Sg.

Posifivité de la variance :
14. Un résultat préliminaire : soient N un entier strictement positif et A = 
(a,- ) ISiSN une suite de

N réels strictement positifs (1 5 i S N, a,-- > O) . Démontrer que 
l'application q) qui, à deux
vecteurs de R" , X = (xi)1ggv et Y = (Vi)1sisN associe le réel

N
(0(X»Y) = Zai xiYi,
i=l

est un produit scalaire dans R" .

15. Pour tout élément U de SZ, démontrer l'existence des deux grandeurs M(U) et 
V(U).
Démontrer que la variance V(U) est positive ou nulle :

«mae

Indication : comparer, pour tout entier N, les deux expressions suivantes :

(Ënun)z et (È...)(âfi u,).

Une expression approchée de la fonction Üà l'aide de la moyenne et de la 
variance :

. ' A I A ' ' A ' '
16. Démontrer que les dérivées premiere U et seconde U de U admettent une lnmte 
lorsque

le réel x tend vers 1 par valeurs inférieures. Déterminer ces deux limites, 
notées Ü'( 1 ) et Ü"(l ),
en fonction de M(U) et V(U).

17. Soit x +----> e(x) la fonction définie sur l'intervalle ouvert ]---1 , 1 [ 
par la relation suivante :
e(x) == 'Ù"(1) - 'Ü"(x).

Démontrer, pour tout réel x compris strictement entre 0 et l, l'inégalité 
suivante :

Ü(x)---1--M(U)(x--l>--â--(V(U)+M