ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES
NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE
L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES
TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE
SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES
TÉLÉCOMMUNICATION S DE BRETAGNE. ECOLE
POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2005
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
Filière PSI
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, EN STIM, EN SAE (Statistique), INT, T PE--EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1 - Filière PSI.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Avertissement: dans ce problème, apparaissent de nombreuses
intégrales impropres. On prendra soin de justifier systématique--
ment l'intégrabilité des fonctions considérées même lorsque ce n'est
pas explicitement demandé.
I. Préliminaires
1) Montrer les inégalités suivantes:
ln(1 + t) 5 t, pour tout t E ] --- l, + oo[, (l)
1
tln(t) _>_ --E, pour tout t e ]0, + oo[. (2)
2) Soit w une bijection de l'intervalle ouvert I sur l'intervalle ouvert J. Si
'çÙ est de classe C'1 sur I , donner une condition nécessaire et suffisante
pour que @ soit un C 1--difféomorphisme de I sur J. Dans ce cas, rappeler
l'expression de la dérivée de "tb--1--
II. Construction d'une application particulière
On note H l'ensemble des fonctions f strictement pOsitives, continues
sur IR, pour lesquelles il existe p > 0 (dépendant de f) tel que, pour tout
réel x:
1 1
0 < f(æ) s ; exp (<--2- -- p)x2) . (A) On note Ho, le sous-ensemble de H des fonctions f telles que: +00 2 +00 2 f(u)e"" /2 du=/ e""' /2 du =V27T. ...oe --oe Dans tout le reste de l'énoncé, f est un élément de Ho. 3) Soit Ff définie par Ff(OE) : [8 f(u)e""2/2 dU- En particulier F1(OE) =/ e--"2/2 du. --00 Montrer que F f est un C1-difl'éomorphisme de IR sur ]0,\/ 27r [. 4) Montrer qu'il existe une unique fonction )) -- %w(OE)2,
et
ln((oe"')'(x)) --1n h(u) f (u) 6 soit intégrable sur IR.
Montrer l'identité suivante:
8) Montrer qu'il existe un réel A > 0 tel que pour tout réel 3: Z A, on ait :
"... 2 --u2/2 2 -(æ+1)2/2
/ cp (u)e du _>_ 0 tel que pour tout réel M 2 B, on ait :
l'/4.
10) « Déterminer une primitive de la fonction
u +--+ (ucp(u) -- u2 -- (f) %/_ lu--so---1--1n))e--UZ/2du. (3)
--00
15) Quelle est la relation d'ordre entre ( f ) et E ( f ) ?
16) Déterminer les fonctions telles que E ( f ) : ( f )
FIN DU PROBLÈME
Le problème de transport de Monge consiste à optimiser le coût global du
transport d'une répartition de masse vers une autre. Dans le cas uni--di--
mensionnel que nous venons de traiter, on se donne un tas de sable infi--
niment fin dont le poids entre les abscisses u ---- du et u + du est donnée par
2exp(--u2/2)du. On veut le déplacer vers un tas de sable de densité linéique
f (u) exp(--u2 / 2). Cela est représenté par une application s de IR dans IR qui
pour tout réel u donne l'abscisse, s(u), du grain situé en u après le transport.
On montre que l'application cp déterminée en question 4 minimise le coût du
transport défini par fÎÛÎ lu ---- s(u)l2e"u2/2 du, parmi toutes les fonctions 5
possibles. L'objectif de ce problème est de majorer ce coût minimal par une
quantité qui ne dépend que de f et qui ne nécessite pas le calcul de cp. Le
nombre E ( f) est appelée l'entropie de Boltzmann.
