A 2007 MATH. I PSI
ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2007
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page
de la
copie :
MATHÉMATIQ UES I _ PSI.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives
qu'il est amené à prendre.
Pseudo--inverse et matrice stochastique
Pour K = R ou C, on note Mn...(K) l'ensemble des matrices a n lignes et m
colonnes à coefficients dans K. Pour toute matrice M EUR Mn,n(llä), on appelle
endomorphisme canoniquement associé à M , l'endomorphisme de R", noté
m, dont M est la matrice dans la base canonique de R".
Si M EUR M......(K), M (i, j) représente le coefficient en ligne i et colonne
j de la matrice M. On note In la matrice identité de Mnn(R). La matrice
(colonne) de M...fllR) dont tous les coefficients valent 1 est notée Jn. Pour
M EUR M...AK), on considère la norme
HMH = max ZW(?£J)l-
j=1
1SiSn
Définition 1 On dit qu'une matrice M EUR M......(R) est positive (respective--
ment strictement positive), lorsque tous ses coefilcients sont positifs
(respec--
tivement strictement positifs)
Une matrice positive M EUR M......(R) est dite stochastique lorsque M J... =
J...
On désigne par 76,1 C M1,n(lR) l'ensemble des matrices lignes stochas--
tiques.
On admet le théorème suivant :
Théorème 1 (COMP 2006, filière MP) SoitlD une matrice stochastique
strictement positive de Mnn(lR). Le réel 1 est valeur propre simple de P et
il eæiste un unique élément de IC... noté XO... tel que
XOO : XOOP.
De plus, quel que soit X EUR IC...
1 k--1 _
Xoe = ;.ËIËOOZ EXP".
j=0
L'objectif de ce problème est de trouver une méthode de calcul de X00 en
utilisant la notion de pseudo--inverse.
Définition 2 Soit A E Mn,n(lR), une matrice A' E Mnn(R) est un pseudo--
inverse de A lorsque les trois propriétés suivantes sont satisfaites :
AA' = A'A (1)
A = AA'A (2)
A' = A'AA'. (3)
Dorénavant, P est une matrice stochastique, strictement positive, de
M,,,,(R).
I Préliminaires
D 1 -- Montrer que HMNH 5 MM... HNH pour toutes les matricesM EUR M,,,(K)
et N E M,,,,,(K).
Cl 2 -- Montrer que HPH : 1.
D 3 -- Montrer que pour tout k 2 l, Pk est une matrice stochastique.
II Pseudo-inverse
Soit A une matrice de M,,,,(R) et & l'endomorphisme de R" canonique--
ment associé.
D 4 -- Montrer que l'existence d'un pseudo--inverse implique que
rang(a) : rang(a2).
Inversement, on suppose maintenant que rang(a) : rang(a2). On note 7° cet
entier.
D 5 -- Montrer que le noyau et l'image de a sont en somme directe:
R" : lm(a) @ Ker(a).
D 6 -- Montrer qu'il existe B E M,),(R), B inversible et W EUR M...,(R), W
inversible, telles que
_ B 0 _,
AW+oo [EUR _
J=Ü
existe et donner sa valeur.
D 17 -- Montrer que (In --AA') est stochastique et que (In --AA')A : O.
D 18 -- Montrer que In --AA' : JnXOO.
FIN DU PROBLÈME
