Mines Maths 1 PSI 2008

A 2008 MATH. I PSI
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2008
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Translations dans des espaces de fonctions

La partie III est indépendante des deux premières.
I

Préliminaires

Pour n  N, {a0 , a1 , · · · , an } un ensemble de n + 1 complexes distincts et 
pour i
entier compris entre 0 et n, on définit le polynôme Li par :
Li (X) =

Y

X - aj
.
06j6n,j6=i ai - aj

1. Montrer que les polynômes Li forment une base de Cn [X].
2. Écrire la matrice M du système {1, X, X 2 , · · · , X n } dans la base {L0 , 
L1 , · · · , Ln }.

II

Fonctions polynomiales

Dans cette partie, on note k un entier naturel fixé et E l'espace vectoriel des
polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à k. Pour a  C , 
on
définit
ta : E - E
P -
7  (X 7 P (X + a)).
Pour P  E, on note d(P ) le polynôme dérivé :
d : E - E
P -
7  P .
Pour k > 2, on pose dk = dk-1  d = d  dk-1 . On tiendra pour acquis que ta et d 
sont
des endomorphismes de E. On désignera par B = {e0 , e1 , · · · , ek } la base 
de E définie
par {1, X, X 2 , · · · , X k }.
3. Écrire les matrices, notées respectivement Ta et D, des endomorphismes ta et 
d
dans la base B.
4. En déduire les éléments propres de ces endomorphismes. On donnera les valeurs
propres, les espaces propres correspondants ainsi que leurs dimensions.
2

5. Quels sont les sous-espaces vectoriels de E stables par d ? Donner leur 
nombre.
Indication : on pourra considérer un polynôme de degré maximal dans F , 
sousespace stable.
6. Soit P (X) =
système

Pk

i=0

pi X i un polynôme fixé de degré k (pk 6= 0). Montrer que le
d k (P )
d(P ) d2 (P )
,
,··· ,
P,
1!
2!
k!

(

)

constitue une base B1 de E. Donner la matrice de passage R de B vers B1 .
7. Pour a  C , exprimer les coordonnées du système
S = {P (X), P (X + a), P (X + 2a), · · · , P (X + ka)}
dans la base B1 . On note U la matrice ainsi obtenue. En déduire que S constitue
une base de E qu'on notera B2 .
8. On note Q la matrice de passage de B vers B2 . Exprimer Q en fonction de R et
U.
9. Pour a fixé dans C , caractériser les sous-espaces vectoriels de E stables 
par ta .

III

Fonctions continues, 2-périodiques

Dans cette partie, E désigne l'espace vectoriel des fonctions complexes 
continues
sur R et 2-périodiques. Pour f  E, on désignera par cn (f ) la suite (indexée 
sur Z)
des coefficients de Fourier de f : pour tout entier relatif n,
1 Z 2
f (x)e-inx dx.
cn (f ) =
2 0
Pour tout entier relatif k, on notera ek la fonction
7  exp(ikx).
ek : x -
Pour a  R et f  E, on note ta (f ) la fonctions à valeurs dans C définie
ta (f ) : x -
7  f (x + a).
Cela nous permet de définir l'endomorphisme ta de E :
ta : E - E
f-
7  ta (f ).
3

Pour tout réel a, on définit la fonction a par
a : Z - C
n-
7  exp(ina).

10. Préciser les réels a pour lesquels la fonction a est injective. Dans le cas 
contraire,
montrer que a est périodique.
11. Pour f  E, donner les valeurs de la suite cn (ta (f )) en fonction des 
valeurs prises
par la suite cn (f ).
12. Donner les valeurs propres de ta . Caractériser les valeurs de a pour 
lesquelles les
espaces propres de ta sont tous de dimension 1.
13. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie p > 1 et stable par 
ta .
Soit f  F , f non nul, montrer qu'il existe p + 1 scalaires j non tous nuls tels
que pour tout entier relatif n,

p
X

j=0

j exp(inaj) cn (f ) = 0.

14. Soit a réel fixé tel que a/ soit irrationnel. Soit f appartenant à F , 
montrer qu'il
existe un entier Nf tel que cn (f ) = 0 pour |n| > Nf .
15. Montrer qu'il existe un entier N tel que pour tout g appartenant à F , cn 
(g) = 0
pour |n| > N .
16. Soit G le sous-espace vectoriel de E engendré par (ek , k = -N, · · · , N 
). Vérifier
que F  G et G stable par ta .
17. L'endomorphisme ta restreint à G est-il diagonalisable ?
18. Montrer qu'on peut trouver un ensemble fini S d'entiers relatifs tel que F 
soit le
sous-espace vectoriel engendré par les ek pour k décrivant S.

Fin du problème

4