Mines Maths 1 PSI 2014

A 2014 MATH I PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH.

SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP).
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2014

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-ENR

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page dela copie :

MATHÉMATIQUES I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initia-
tives qu'il est amené à prendre.

Somme de projecteurs orthogonaux

Notations

On note N l'ensemble des entiers naturels, R l'ensemble des réels, R + 
l'ensemble des
réels positifs ou nuls et .//Z,, l'ensemble des matrices n >< n à coefficients réels. Dans tout le problème, X est un espace vectoriel de dimension n 2 2 sur le corps des réels et T un endomorphisme de X . Si 9% est une base de X, on note TF9, la matrice représentant T dans cette base. On note N (T) le noyau de T et R (T) l'image de T, rgT le rang de T et 0 (T) le spectre de T. On appelle projecteur un endomorphisme P de X idempotent, c'est-à-dire tel que P2 =P. On note 1 l'endomorphisme identité de X, H,, la matrice identité de .//Z,, et O la matrice nulle. 1 Trace Si A EUR.//Z,,, on appelle trace de A le nombre réel suivant : Tl ÏÏA : Z aii. i=1 Question 1 Soient A et B EUR.//Z... montrer que tr AB = tr BA. Question 2 Soit T un endomorphisme de X, montrer que la trace de la matrice T9, asso- ciée à T est indépendante de la base 9%. On appelle trace de T, notée tr T, la valeur commune des traces des matrices repré- sentant T. On dit que la trace est un invariant de similitude. 2 Projecteurs Question 3 Soit P un projecteur de X, démontrer que X = N (P) 69 R (P). Question 4 En déduire que rg P= tr P. Question 5 Démontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces F et G de X est inférieure ou égale à la somme de leurs dimensions. Question 6 Soit S un endomorphisme de X. Montrer que si S est une somme finie de projecteurs Pi, i = 1, . . . , m, alors tr SE N et tr SZ rg S. 2 3 Décomposition en somme de projecteurs orthogonaux On considère maintenant le cas où X est un espace (pré)hilbertien. On dit que T est symétrique positif s'il est symétrique et si (Tx |x)ZOVx EX. Question 7 Montrer que T, supposé symétrique, est positif si et seulement si 0 (T) C R +. Question 8 Montrer qu'un projecteur P est un projecteur orthogonal si et seulement si il vérifie (x--Px |y) = O, Vx EX, Vy EURR(P). Question 9 Montrer qu'un projecteur est un projecteur orthogonal si et seulement si il est symétrique ,' montrer également qu'un projecteur orthogonal est positif. On suppose désormais que T est symétrique positif et vérifie tr TE N et tr TZ rg T. On note r le nombre de valeurs propres strictement positives de T, comptées avec leur multiplicité. On note e,-- les vecteurs d'une base propre 9% de T orthonormée, or- donnés de telle façon que les valeurs propres associées soient strictement positives si et seulement si i S r. On note Y l'espace engendré par les e,, i = 1, . .., r et Z celui engendré par les e,, i = r + 1, . . . , n. Question 10 Montrer que Y = R(T) , Z = N (T) , ainsi que rg T= r. Pour i = 1, . . . , n, on note Q,-- l'endomorphisme de X défini par Qi (ej) : 5ijei,j : 1, . . .,n Question 11 Montrer que Q,-- est un projecteur orthogonal de rang 1. Question 12 On se place dans le cas particulier où tr T> rg T. Montrer qu'on 
peut choisir
i tel que T--Q,-- soit symétrique positif et vérifie rg ( T -- Q,) = rg T. 
Quelle est la valeur de
tr ( T -- Qi) ?

Question 13 On se place maintenant dans le cas général où trTZ rgT. Déduire de 
la
question 12 qu'il existe S symétrique positif tel que Y soit stable par S, tr 
S= rg S= rgT et
que T--S soit la somme de k = tr T--r projecteurs orthogonaux de rang 1.

On note a,, i = 1, . . . , r les valeurs propres strictement positives de S.

Question 14 Montrer que S|Y est inversible.

On pose U=S|Y et pour x et y E Y, EUR(x,y) = (U_1x |y). On note s,, i = 1,...,r
une base de vecteurs propres de U associés aux valeurs propres ,u,--.

3

Question 15 Démontrer que EUR constitue un produit scalaire sur Y.

Question 16 Déterminerw E Y, tel que llw|l = 1 et EUR (W, W) = 1. On pourra, si 
nécessaire,
chercher w dans le sous-espace de dimension 2 engendré par deux vecteurs 
propres 8,-- et 8]--
bien choisis.

Question 17 Montrer que P est un projecteur orthogonal de rang 1 sur X si et 
seulement
si il existe un vecteur % unitaire dans X, tel que pour tout x E X, P (x) = (x 
lz)z.

On considère maintenant un w tel que défini à la question 16 et l'endomorphisme
PW défini sur X par la formule suivante :

PW (x) = (x |vv)w.

Question 18 Démontrer que S -- PW est symétrique et positif.
Question 19 Démontrer que N (S -- PW) = N (S) ®Vect(U_1w) , où Vect(U_1w) note 
l'en-
semble des vecteurs colinéaires à U_1w. En déduire que rg (S -- PW) = rg (S) -- 
1.

Question 20 Déduire des questions 17 18 et 19 que S est la somme d'un nombre 
fini de
projecteurs orthogonaux de rang 1.

Question 21 En déduire qu'un endomorphisme symétrique positif T est une somme 
finie
de projecteurs orthogonaux si et seulement si tr T E N et tr T 2 rg T.

Fin de l'épreuve