Mines Maths 1 PSI 2015

A 2015 MATH. I PSI
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
CONCOURS D'ADMISSION 2015
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PSI.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Méthode de Stein

-- On note F l'ensemble des fonctions bornées de N dans R.
-- On note P l'ensemble des suites de nombres réels positifs de somme égale
à1:
!

P = P = (pn , n  0) tel que n  0, pn  0 et

"

#

pn = 1 .

n=0

-- Pour P et Q deux éléments de P, on définit
dist(P, Q) =

$
$"
sup $$
pn
AN $
nA

-

"

nA

$
$
qn $$
$

=

$
$"
1A (n)pn
sup $$
AN $

-

n=0

"

n=0

$
$
1A (n)qn $$ ,
$

où 1A (n) = 1 si n  A et 1A (n) = 0 sinon. On pourra écrire P (A) pour
%
nA pn .
-- Dans tout ce qui suit,  est un réel strictement positif fixé et h est un 
élément
de F, c'est-à-dire une fonction bornée de N dans R.

I

Préliminaires
1. Trouver le réel c tel que la suite
c

n
, n  0,
n!

appartienne à P.
2. Soit p et q deux réels de [0, 1]. Calculer
&

'

dist (1 - p, p, 0, · · · ), (1 - q, q, 0, · · · ) .
3. Soit f  F et P  P, montrer que la série de terme général (f (n) pn , n  0)
est convergente.
2

II

Caractérisation
Soit P = (p()
n , n  N)  P défini par
-
p()
n = e

n
pour tout n  N.
n!

4. Soit f  F, montrer que la série de terme général (nf (n) p()
n , n  0) est
convergente.
5. Pour tout f  F, établir l'identité suivante :

!

f (n + 1) p()
n =

n=0

!

nf (n) p()
n .

(1)

n=0

Soit Q = (qn , n  0) un élément de P tel que pour tout f  F, l'identité suivante
soit satisfaite :

!

f (n + 1) qn =

n=0

!

nf (n) qn .

n=0

6. En choisissant convenablement des éléments de F, montrer que Q = P .

III

Résolution de l'équation de Stein

On note Sh , l'ensemble des fonctions f de N dans R, telles que, pour tout
entier n  0, l'identité suivante soit satisfaite :
f (n + 1) - nf (n) = h(n) -

!

()

(2)

h(k) pk .

k=0

Pour simplifier les notations, on note h la fonction définie pour tout n  0 par
h(n) = h(n) -

!

()

h(k) pk .

k=0

7. Montrer que Sh possède une infinité d'éléments et que pour tout f  Sh ,
pour tout entier n  1,
f (n) =

!
k
(n - 1)! n-1
h(k)
·
n
k!
k=0

3

(3)

TSVP

8. Pour f  Sh , pour tout entier n  1, établir l'identité suivante :
f (n) = -

k
(n - 1)! !
h(k)
·
n
k!
k=n

(4)

9. En déduire que toute fonction f  Sh est bornée.

IV

Propriété de Lipschitz

Pour une fonction f de N dans R, on considère la fonction f définie par
f : N - R
n %- f (n + 1) - f (n).
On veut montrer que pour f  Sh ,
1 - e-
sup |f (n)| 

n1

"

#

sup h(k) - inf h(k) .
kN

kN

(5)

Pour un entier m  0, on considère d'abord le cas particulier où h = 1{m} :
h(m) = 1 et h(n) = 0 si n '= m.
On note fm l'un des éléments de S1{m} .
10. Établir pour 1  n  m, l'identité suivante :
fm (n) = -

! k
(n - 1)! () n-1
p
·
m
n
k=0 k!

11. Établir une identité analogue pour n > m  0 et en déduire le signe de fm (n)
pour tout n  1.
12. Montrer que la fonction fm est négative sur N\{0, m}.

Indication : on distinguera les cas 1  n < m et n > m  0.
13. Établir les identités suivantes :
f0 (0) =

1-e

-

, fm (m) =

-

!

k

m
!

k

e 

k 
+
pour m > 0.

k=m+1 k!
k=1 m k!
4

14. En déduire que
1 - e-
·

sup fm (n) 
n1

On étudie maintenant le cas général. On définit la fonction h+ par
h+ (n) = h(n) - inf h(k).
kN

15. Montrer que Sh = Sh+ .
16. Montrer que la série

!

h+ (m)fm (n)

m=0

est convergente pour tout entier n  1.
17. Montrer que la fonction f définie, pour tout n  1, par
f (n) =

!

h+ (m)fm (n),

m=0

appartient à Sh .
18. En déduire que pour tout entier n  1,
1 - e-
f (n + 1) - f (n) 

"

#

sup h(k) - inf h(k) .

kN

kN

En utilisant -f et h- = supkN h(k) - h, on prouverait de façon analogue que
pour tout entier n  1,
1 - e-
-(f (n + 1) - f (n)) 

"

#

sup h(k) - inf h(k) ,

kN

kN

et qu'ainsi l'inégalité (5) est vraie dans le cas général.
5

TSVP

V

Application probabiliste

On considère (Xk , k = 1, · · · , n) une suite de variables aléatoires discrètes
indépendantes. On suppose que pour tout entier k  {1, · · · , n}, Xk suit une 
loi
de Bernoulli de paramètre rk  ]0, 1] :
P(Xk = 1) = rk = 1 - P(Xk = 0).
On pose  =

!n

k=1 rk

S=

n
"

ainsi que
Xk et pour tout k  {1, · · · , n}, Wk = S - Xk .

k=1

On identifie la loi de la variable aléatoire S et l'élément (P(S = k), k  N) de 
P,
l'ensemble défini au début de ce texte.

19. Pour tout k  {1, · · · , n}, pour tout f  F, montrer que
Xk f (S) = Xk f (Wk + 1) et que E(f (Wk )Xk ) = rk E(f (Wk )).
20. Soit h  F et f  Sh , établir l'identité suivante.
E (f (S + 1) - Sf (S)) =

n
"

#

$

rk E Xk (f (Wk + 2) - f (Wk + 1)) .

k=1

21. Établir que
%
%

%
%

dist(loi(S), P ) = sup %%E (fA (S + 1) - SfA (S))%%,
AN

où fA est un élément de S1A .
22. En déduire que

dist(loi(S), P ) 

n
1 - e- "
rk2 .

k=1

Fin du problème

6