Mines Maths 1 PSI 2019

A2019 --- MATH I PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2019
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Comportement asymptotique de sommes de séries entières

Soit p un entier naturel non nul et r un nombre réel strictement positif. On 
considère la

fonction k
@,e)
(pn)"
Srp:2EeC+H 27.
. 2 (pn)!
L'objectif du problème est d'établir la validité de l'énoncé suivant :
Srp(t) © Lorer (H,,)
PT oo p TP

Cet objectif sera atteint dans la partie IT pour le cas particulier p = 1, et 
dans la partie III
pour le cas p > 2. Dans la partie IV, on étudie une application de ce résultat 
au comportement
asymptotique d'une solution particulière d'une certaine équation différentielle 
d'ordre 2.

Dans tout le sujet, on note |x| la partie entière du nombre réel x, 
c'est-à-dire l'unique entier
k tel que & < x < k +1. On rappelle que par convention 0° = 1, tandis que 0" = 0 pour tout réel r > 0.

I Généralités, cas particuliers

z" a pour rayon de conver-

n
1. Soit r EUR R? et p EUR N°. Justifier que la série entière > / :
pn)!

n>1

n T
gence +00, et faire de même pour la série entière > Fe :
pn)!

n>1

ITS

zP.

2. Pour x réel, expliciter S51(x) et So2(x), et en déduire la validité des 
énoncés Ho 1 et Ho.

II Une démonstration probabiliste de À,

On admet dans cette partie qu'il existe, sur un certain espace probabilisé 
(Q,.4,P), une
famille (Xx)2cR: de variables aléatoires à valeurs dans N telle que X, suive la 
loi de Poisson
de paramètre x pour tout réel x > 0. On fixe de telles données dans 
l'intégralité de cette partie,
et l'on fixe un réel r > 0. On pose

X%
Dy = --
T
Pour N EUR N°, on pose
N--1
Van = J[(Xx --k) = X3(X3 -- 1). (X3 -- N +1).
k=0

3. Soit x EUR R*. Montrer que (Z;)" admet une espérance, et exprimer E((Z;)") à 
l'aide de
Sr1(t).

4. Pour x > 0, rappeler l'espérance et la variance de X,. Déduire alors de 
l'inégalité de

Bienaymé-Tchebychev que
P(IZ: --11>x 3) = 0.

T--+oo
5. Montrer que pour tout réel x > 1,
x PS) P(Z, >1-x 3)  1-7 8) > 1.

T-- +00

6. Soit N E N° et x EUR R7. Montrer que Y, n admet une espérance et que

E(Y,n) =".

1

7. Soit N EUR N°. Montrer qu'il existe des réels a1,...,an tels que
N
an = 1 et Vx > Û, (X»)" -- > ke Ya.
k=1

On pourra introduire la famille (H;);en de polynômes à coefficients réels 
définie par

j--1
Hyo=1 et VjeN*, H;-- I[(T-0.
i=0

où l'indéterminée est notée T..

En déduire que
E((Z:)") -- 1.

T-- +00
8. On pose N := [r| et s:= 7 -- N. Montrer l'inégalité
VMER,, t  0, (Z;) <(1--Ss) CZ)" + Ss CARE 9. En combinant les résultats précédents, établir la convergence E((Z:)) -- 1 T-- +00 et conclure à la validité de l'énoncé H,.1. III Démonstration de À,, pour p > 2

On fixe dans cette partie un entier naturel p > 2 et un réel r > 0, et l'on se 
propose de
déduire la validité de A,, de celle de F1.
PouneNetzxeR, on pose
10.

11.

12.

153.

14.

15.

On fixe un réel x > 0. Étudier le signe de la fonction
Px:tell,+ooe #4 "(t-- 1) -- x.

On montrera en particulier que w4 s'annule en un unique élément de |1, +] que 
l'on notera

tx. En déduire que la suite finie (u,(x)) est croissante et que la suite (u,(x))

est décroissante.

L'ensemble {u,(x) | n EUR N} admet donc un maximum valant u},,,(æ). Dans la 
suite de
cette partie, ce maximum sera noté M,.

Soit à EUR R. Déterminer la limite de w,(x + a) quand x tend vers +. En déduire 
que

tx --t---r --> (0.
LT -- +00

Pour établir ce dernier résultat, on pourra revenir à la définition d'une 
limite.

Montrer que pour tout entier relatif k,

Ur+k(T) Te Url)

Soit m EUR N*. Montrer que

Lx]
> ui(x) Zmu;j(x) pour + voisin de +co.

i=|x|-m

En déduire que, pour x voisin de +co,

T 5x

TL EUR

< En déduire que pour tout entier relatif k, Ulx]+k(T) = 07-+00 (27 EUR") puis que My = Oy-10(2" EUR"). En vue de ce dernier résultat, on pourra commencer par démontrer que, pour x assez grand, Ms = U|3,4:(x) pour un entier à compris entre [r] --1 et |r] +2. Dans cette question et la suivante, on fixe un nombre complexe z tel que |2| = 1 et z Z 1. Pour n EUR N°, on pose n--1l D} := Y 27. k=--0 Montrer que 2 Vn E N°, ID < --<-- 1 -- 2) et que les séries SD, un_1(x) et DD, u,(x) sont absolument convergentes. nm nm 16. On conserve le nombre complexe z introduit dans la question précédente. Montrer que +00 Vx EUR R, > D (un_1(x) = Un(x)) -- Sr1(27)
n=1

puis que, pour x voisin de +00,

41M
12

LS 1 (27) < et conclure à la relation Sr1(2T) = 0x-;100(2 EUR"). 17. On pose 6 := exp (ar). Pour tout réel x, montrer que p--l Y SE x) = p Sy px) k=--0 et en déduire la validité de À,,. IV Application à une équation différentielle On s'intéresse ici à l'équation différentielle : (E): tx"(t) --x(t) = 0. 18. Montrer que, parmi les solutions de (E) sur R à valeurs réelles, il en existe une et une seule, notée f, qui soit la somme d'une série entière et vérifie f'(0) = 1. Expliciter la suite (Cn)nen telle que +00 VER, f(t)= ct". n--=0 19. Démontrer que 1 nn En © ---- 4". n--+00 4/7 (2n)! Pour la dernière question, on admet le résultat suivant : Lemme de comparaison asymptotique des séries entières. Soit (an)nen EURt (bn)nen deux suites à termes réels. On suppose que : (i) La série entière 5b,z"° a pour rayon de convergence +co. nm (ii) Il existe un rang no EUR NN tel que Vn > no, bn > 0.

(ii) Les suites (an )}nen et (bn)neN sont équivalentes.
Alors la série entière ÿ_a,z" a pour rayon de convergence + et
nm

+00
n > bnx".
LOU

+00
1
An TL PJ

n=0

20. En exploitant la validité de H,, pour un couple (r,p) bien choisi, 
démontrer l'équivalent

p1/4

LE
JE) t--+00 2/7 c |

FIN DU PROBLÈME