Mines Maths 1 PSI 2024

A2024 --- MATH I PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

Notations et résultats admis
1 --2°/2

V2r

-- Pour & EUR NU {c}, on pose C* (R)) l'ensemble des fonctions de classe C* sur 
R à
valeurs dans KR.

-- Soit la fonction & définie sur R par (x) --

-- On note C'L(R) l'ensemble des fonctions de R dans R à croissance lente, 
c'est-à-
dire :

CL(R)={f:R--R, 1C > 0, k EUR N tel que pour tout x EUR R. fa) < CL + ft) -- On note L' (6) = {f EUR C(R), fo intégrable sur R}. -- Soit t EUR R.. Pour une fonction f : R -- R, on définit si cela est possible la fonction P,(f) par : +0 VER, P,(f)(x) -- | f CE + V1- e%y) o (y) dy. OO -- Pour f deux fois dérivable sur R, on définit sur R la fonction L(f) par : VER, L(f)(x) = f(x) -xf" (x): -- Une fonction P : R -- R est dite fonction polynomiale en {x} s'il existe d EUR N et d des réels &o,..., aa tels que pour tout r ER, P(x) = > ax PAR
k=0

-- Soient f : R; -- R une fonction et { EUR RÜU{+cw}. On admet que im f (t) = 
Lsi,
et seulement si, pour toute suite (f,),,.N de réels positifs telle que
ona lim f(ér) = £.

n-- +00

lim {, = +0,
n-- +00

Partie 1 : Résultats préliminaires

1 > Montrer que toute fonction majorée en valeur absolue par une fonction 
polynomiale
en |x| est à croissance lente.
2 > Montrer que C°(R)NCL(R) EUR L'(o).
+00
On admet dans toute la suite du problème que | o(t)dt = 1.

OO

3 > Montrer que CL (R)) est un espace vectoriel. Montrer aussi que CL (R)) est 
stable
par produit.

45 Soitt EUR R.. Vérifier que la fonction P,(f) est bien définie pour f EUR 
C°(R)n
CL(R) et vérifier que F, est linéaire sur C°(R) N CL(R).

5 > Montrer que pour tout f EUR C°(R)NCL(R)ettoutr ER,

im PCF) (0) = [7 fu) eu) du

t--+00 _

6&> Soitte R;. Montrer que si f EUR C°(R)NCL(R), alors P,(f) EUR C°(R). Montrer
aussi que P,(f) est majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en 
|x|
indépendante de t. En déduire que P, (f) EUR L' (6).

On admettra dans toute la suite du problème que, si f EUR C°(R)N CL(R), alors

MER, JP(NGetar= | f(no(odr

7 > Montrer que pour toutes fonctions f,g EUR C?(R)) telles que les fonctions 
f, f', f"
et g soient à croissance lente, on à

LL ae (ar = [7 p'(0) do) ete) dr.

OO OO

Partie 2 : Dérivée de PF, (f)

OP, (f) (x)
ot

la dérivée de la

Pour f:R--RetxeR, on note, si cela a un sens,

fonction ER, + P,(f) (x).
Pour f:R--RetteR, fixé, on note, si cela a un sens, P,.(f) (resp. P,(f)") la
dérivée dx ER P,(f)(x) (resp. la dérivée seconde de x ER + P,(f)(x)).
8 > Montrer que si f EUR CT(R) N CL(R) telle que f" EUR CL(R) et x EUR R, alors
teR;r P,(f) (x) est de classe C7 sur R° et montrer que pour tout { > 0, on a

er ?t

= ) f'(e tx + VIe %y) 6 (y) dy.
(

9 > Soient f EUR C*(R)NCL(R) telle que f' et f" soient à croissance lente et t 
EUR R..
Montrer que x ER + P,(f)(x) est de classe C? sur R. Montrer aussi que

et

10 > En déduire que pour f EUR C*(R)NCL(R) telle que f' et f" soient à 
croissance

lente, on à
OP; (F) (x)

VER, Vr ER, Er

= L(P;(f)) (x).

Partie 3 : Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

Pour f E C°(R)NCL(R) à valeurs strictement positives telle que

(em) de = 1.

on définit l'entropie de f par rapport à @ par :

+00

Ent, (9) = fm (f (x) f Ce) p (x) de

OO

Dans la suite de cette partie, f est un élément de C? (R)) à valeurs 
strictement positives
12

tel que les fonctions f, f", f" et F soient à croissance lente. On suppose 
aussi que

Set dr=t

11 > Étudier les variations de la fonction {+ tIn (t) sur R?. On vériñera que 
l'on peut
prolonger par continuité la fonction en 0.
12 >

13 ©

14 ©

15 ©

16 ©

17 >

18 ©

19 ©

20 ©

Justifier que la quantité Ent, (g) est bien définie pour tout g EUR C°(R)NCL(R)

+00
à valeurs strictement positives telle que | g (x) @ (x) dx = 1.

Indication : On pourra utiliser la question 11.
Pourte R;, on pose S(t) = Ent, (P;(f)). Justifier que S'(t) est bien définie.

Montrer que $ est continue sur R.

Indication : On pourra au préalable montrer que, sx EE R,t#- P,(f)(x) est
continue sur R..

Vérifier que l'on a S (0) = Ent, (f) et lim S(t) =

t-- +00

On admet que S est de classe C} sur R' et que

VER, S'(t)-- 1° OF: D (x)

(+ 1m (75 (f) (x))) 6 (x) dx.

Montrer que
+00

VER, S(t)- LP: ()) (x) (1 + In (Fe (P) (&))) @ (x) dx.

OO

En admettant que le résultat de la question 7 est valable pour les fonctions 
PF, (f)
et 1+In(P,(f)), montrer que

VER, -S'(t)=e * [° ne (e) o (x) dx.

En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que

mer, -s(4