A 2001 Math PSI 2
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAU'I'IQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECONMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELEC0...CADONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNÏQÜE (Filière STI).
CONCOURS D'ADMISSION 2001
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis àla disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT,
TPE--ENR
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page
de la copie :
MATHEMATIQUES 2--Filière PSI.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu'il est
amené à prendre.
L'objet de ce problème est l'étude de l'équation différentielle suivante :
E;_: xy"+(l--x)y'--Ày=0.
où la fonction _y est une fonction inconnue deux fois confinûment défivable de
la variable x et À un
réel donné.
PREMIÈRE PARTIE
I--1. Solution de l'équation différentielle définie sur toute la droite réelle :
11 est admis qu'il existe une fonction f ),, somme d'une série entière de rayon
de convergence R,
strictement positif, prenant la valeur 1 en 0, (fi (O) = 1), solution dans
l'intervalle ]--R,R[ de
l'équation différentielle E 1. Cette fonction est définie par la relation :
fa(x) : 1 +Za,,x".
n=l
a Déterminer les coefficients a... n 2 l, en fonction de l'entier n et du réel
À. Préciser les
foncüonsfl , fo, f_1 , f_2.
Tournez la page S.V.P.
- 1/4 --
b. Pour quelles valeurs du réel À la fonction fg, est-elle un polynôme ?
Préciser son degré en
fonction de la valeur --p donnée au réel À et le coefficient du terme de plus
haut degré (le terme
dominant).
c. Quel est le rayon de convergence R de la série entière de terme général a"
x", n 2 1, lorsque
le réel À est différent des valeurs obtenues précédemment ?
Il est admis, dans la suite, que la fonction f 1 est la seule fonction,
développable en série entière
sur toute la droite réelle, qui soit solution de l'équation différentielle E 1
et qui prenne la valeur 1 en
0.
1--2. Solution de l'équation différentielle E 1 :
Dans cette question le réel 2. est égal à l :
El: xy"+(l----x)y'--y=0.
a. Déterminer la solution générale fi de l'équation différentielle E 1 sur la
demi-droite ]O, OO[,
exprimer cette solution à l'aide de fonctions usuelles et de la fonction
définie sur la demi--droite
]O,oe[, par la relation
x --t
): +--+ [ £---dt.
1 i
b. Déterminer de même la solution générale de l'équation difi'érentielle E 1
sur la demi--droite
]--oo, 0 [.
c. Déterminer enfin les fonctions solutions sur R de l'équation différentielle
E 1.
1--3. Relation entre les fonctions f}, :
Etant donné un réel À, soit g a la fonction définie sur la droite réelle R par
la relation suivante :
8106) = ex fa(--X)--
a. Déterminer une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par
la fonction g a.
b. En déduire, en admettant que le produit de deux fonctions réelles
développables en série
entière sur la droite réelle R est encore une fonction développable en série
entière sur la droite
réelle R, que, pour tous réels A et x, il vient :
f...,(x) = exfx(--x)--
c. Préciser, lorsque p est un entier strictement positif, les foncüons_&,. En
déduire les fonctions
f2 6tf3.
d. Soit p un entier donné supérieur ou égal à 1 (p 2 l) ; quelle est, lorsque
le réel x croît
indéfiniment, la limite de l'expression ci--dessous :
fp+1(X) ?
xfp(x)
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1--4. Application à une équation aux dérivées partielles :
Soit Q le sous--ensemble ouvert de R3 , rapporté à un repère Oxyz, obtenu en
retranchant de R3
le plan 0197 :
Q = {
