Mines Maths 2 PSI 2004

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAU'HQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÊLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle Intemational, ENSTIM, [NT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 2--Filière PSI.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Le but de ce problème est l'étude de deux suites réelles F = (f,,),,EN et G = 
(g...)msN et des
séries entières de termes généraux (f,,x" )neN et (g,,x" )neN.

Soient F = (f,...)nOEN et G = (g,...)neN les deux suites réelles définies 
chacune par leurs deux
prem1ers éléments et la même relation de recurrence c1--dessous :

F : fl) = 0, f; = 1, pour tout entier naturel n, f... = f... + f,, ;
G : go = 2, gl = I, pour tout entier naturel n, g... = g,... +g,,.

Soit M2 l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre 2 ; soient I la 
matrice unité et J
la matrice carrée définies par les relations suivantes :

(10) (o 5/2) 5(01)
I= ; J= =-------- .
01 ./3'/2 0 2 10

Pour tout entier naturel n, soit Un la matrice définie parla relation suivante :

U,, = f,, J+ --â--g,,l.

Soient U la matrice U 1 (U = U 1 = J + --â--I ) et E le sous--espace vectoriel 
de M2 engendré par
les deux matrices ] et J.

Première partie

Le but de cette partie est l'étude alternée des deux suites de réels et de la 
suite des matrices ;
elle permet d'obtenir des résultats préliminaires.

Quelques propriétés :
l. Démontrer que la suite des matrices (U" ),,EN , où U" est la matrice U 
élevée à la puissance
n, (avec la convention habituelle U0 = I), appartient à l'espace vectoriel E.

2. Établir la relation qui, pour tout entier naturel n, lie les matrices U..., 
U... et U...

Caractérisation de la suite de matrices (Un)"eN ; quelques conséquences :
3. Comparer, pour tout entier p compris entre 0 et 2 (0 _<_ p 5 2) les matrices U ,, et U". Démontrer qu'il existe, pour tout entier naturel n, une relation simple entre les matrices U" et U" . 4. Déduire des deux résultats précédents les relations suivantes : pour tout entier naturel n, det U,, 2 (---1)", (g...)2 --- 5 (f},)2 = 4(----1 )". 5. Étant donnés deux entiers naturels p et q, exprimer les tenues f,..., et gp+q des suites F et G en fonction des termes f,,, g,,, f" et g" de ces mêmes suites. Inverse des matrices Un : 6. Déterminer l'inverse de la matrice Un en fonction des matrices I et J. Exprimer les coefficients des matrices I et J à l'aide des réels f,, et g... Des polynômes annulés par la matrice U Soit, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, P,, (X) le polynôme défini par la relation suivante : Pn(X) = X" "fix--fn--l-- 7. Démontrer que le polynôme F,, (X) est divisible par le polynôme X 2 ---- X ---- l. 8. Quel est le polynôme caractéristique de la matrice U ? 9. Calculer la valeur de la matrice C,, = U " ---j}, U --f...I . Divisibilité du polynôme X2 " --- g,, X" + (---1 )" par X2 --X-- 1 : Soit toujours n un entier supérieur ou égal à 2 . 10. Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice Un. En déduire la relation suivante : U2"--gnU"+(--l)"l=0. Il. Soient Q et R les polynômes obtenus en effectuant la division euclidienne du polynôme X" ---an" +(--1)" par lepolynômeX2 --X--- 1 : \ X" ----an" + (--1)" = Q(X)(X2 --x-- 1) +R(X). Préciser les degrés des polynômes Q et R. Démontrer, en utilisant par exemple les résultats de la question précédente, que le polynôme X" ---g,, X" + (--1 )" est divisible parX2 --X---- 1. Deuxième partie Le but de cette partie est l'étude de propriétés de suites construites à partir des deux suites F et G. Un calcul de sommes : 12. Le but de cette question est de calculer, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 (n _>_ 2),
des expressions plus simples des deux expressions suivantes :

"
an =jb+fi+...+_fèn=ê 12k'
k=0

fin = 80 +82 + +82" = 2821:-
k=0

Déterminer les expressions de a,, et de B,, en fonction respectivement de 
f2......1 et de gg... en
considérant par exemple la matrice S,, définie par la relation suivante :

s,,= Ug+Ug+...+U2n---:ZUÜ.
M

Soit T la suite ('n)...m définie par les relations suivantes :
to = l, t; = 4, pour tout entier naturel n, tn+2 == 4 t,... + t,,.

Détermination des éléments t,, de la suite T à l'aide des réels f,, et g,,.
13. Démontrer que le polynôme X 6 --- 4 X 3 ---- 1 est divisible par le 
polynôme X 2 -- X --- l.

14. En déduire que la matrice U vérifie, pour tout entier naturel p, la 
relation suivante :

U6+P = 4 mm + U".

15. Déduire de la relation précédente que les tenues des suites F et G 
vérifient, pour tout entier
naturel p, les relations suivantes :

f6+p : 4f3+p +fi?» g6+p : 4g3+p +gp--

16. Déduire des résultats précédents l'expression du terme général t,, de la 
suite T, définie par
les relations suivantes :

fo

ll

], tl = 4, pour tout entier naturel n, t,,+2 = 4 t,... + t...

en fonction de termes des suites F et G.

Troisième partie

Le but de cette partie est l'étude des deux séries entières de termes généraux 
a,, = f,, x" et
«b,, = g,, x". Pour tout entier naturel n, soit A,, la matrice définie par la 
relation suivante :

A,,=x"U,,.

et Z,,(x) la somme des n + 1 premières matrices A k :
3,00 = Zx" Uk .
k=0

17. Déterminer pour quelles valeurs du réel x la matrice I -- x U est 
inversible et déterminer son
inverse sous la forme d'une combinaison linéaire des matrices I et U.

Il est admis qu'une suite de matrices (A,, ),,eN de l'espace vectoriel E tend 
vers 0, lorsque
l'entier n croît vers l'infini, si et seulement si tous les termes de la 
matrice A,, tendent vers 0.

18. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le réel x pour que la 
suite de matrices
(x" U ,, ) neN tende vers 0 lorsque l'entier n croît vers l'infmi.

19. En déduire, lorsque la condition obtenue sur le réel x est réalisée, la 
limite de la suite de
matrices (Zn(x))neN.

20. À partir des résultats précédents, déterminer un minorant p des rayons de 
convergence des
deux séries entières de termes généraux ( f,, x") "eN et (g,, x" ) "eN et les 
sommes A(x) et B(x) de

ces deux séries :

A(x)=----Ef,,x" ; B(x)=Zgnx".
n=0 n=0

FIN DU PROBLÈME