Mines Maths 2 PSI 2006

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATICNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATICNS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2006

SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures)

L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la

copie :
MATHÉMATIQ UES II _ PSI.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives

qu'il est amené à prendre.

On désignera dans tout le problème par:

-- M..., l'espace des matrices réelles à n lignes et p colonnes. On note

0...... la matrice nulle.

---- M... l'ensemble des matrices réelles carrées d'ordre n. On note 0... la

matrice nulle.

-- till la transposée d'une matrice JW .

-- S... le sous--ensemble de M... constitué des matrices symétriques d'ordre
n, c'est--à--dire les matrices A qui satisfont 'A = A.

---- I" la matrice identité d'ordre n.

-- (X | Y) le produit scalaire de deux matrices colonnes.

On rappelle que pour toute matrice A de M,", et tout couple de matrices
colonnes (X ,Y) où X EUR M...1 et Y EUR Mp,1, l'identité suivante est 
satisfaite:

(AX | Y) = (X | tAY).

Définition 1. Une matrice A E Sn est dite positive lorsque pour tout X de
Mn,1, (AX|X)ZO. '

Une matrice A E Sn est dite définie positive lorsque pour tout X de
Mn,l\{0n,1}7 (AX IX) > 0--
Définition 2. Si A et B sont deucc matrices de S... on dit que A est plus
petite que B pour l'ordre de Lôwner, et on note A 5 B, si la matrice B -- A

est positive. On notera A --< B si B -- A est définie positive., On suppose dorénavant que A est une matrice symétrique réelle I. 1) d'ordre n. Matrices positives Montrer que si A est positive, alors pour toute matrice réelle M E M...... la matrice "M A M est symétrique positive. Montrer que toutes les puissances entières d'une matrice symétrique po-- sitive A sont positives. Montrer que A E Sn est positive, respectivement définie positive, si et seulement si les valeurs propres de A sont toutes positives, respectivement strictement positives. Si A est définie positive, montrer qu'il existe une matrice C , symétrique définie positive telle que C2 = A. Si A et C sont symétriques définies positives et C2 = A, montrer que, pour toute valeur propre À de A, on a: Ker (A ---- ÀI,,) : Ker (C -- \/Xln). En déduire que si A est définie positive, il existe une unique matrice symétrique définie positive C telle que C2 = A et que dans toute base orthonormale de vecteurs propres de A, la matrice C est diagonale. On notera désormais C = A1/2. On suppose A définie positive. Montrer que A est inversible et qu'il existe une unique matrice, notée A"1/2, symétrique définie positive telle que A--1/2A--1/2 : A_1. 8) Prouver que (Al/2)"1 : A"1/2. II. Ordre de Lôwner 9) Montrer que l'ordre de Lôwner est une relation d'ordre sur Sn. 10) Soit B EUR Sn avec A 5 B. Montrer que pour toute matrice réelle C' E M...... la relation tCA C' -_5 tCB C est vérifiée. 11) Montrer que si In 5 A alors A est inversible et A"1 5 In. 12) En déduire que si On < A _<_ B alors B est inversible et B"1 5 A"1. 13) Donner un système de conditions nécessaires et suffisantes portant sur a b . ) smt p051t1ve. les réels a, b et c pour que la matrice D = (b c 14) On considère les deux matrices suivantes: D=abetB=2ao. bl 02 Montrer qu'il existe des réels a et b de sorte que 0" _<_ D 5 B mais que D2 73 B2. III. Fonctions matriciellement croissantes Soit n un entier non nul et M une matrice diagonalisable à valeurs propres positives. Il existe donc une matrice diagonale A et une matrice inversible P telles que M = PAP--1. Notons (À...i : 1, -- -- ,n) les valeurs propres de M, répétées suivant leur multiplicité, qui sont donc les coefficients diagonaux de A. Définition 3. Si f est une fonction de R+ dans R et A une matrice diagonale positive, on note f(A) la matrice diagonale dont les coefi'icients diagonauæ sont donnés par f(A),,« = f(À,-) pouri = l, ,n. 15) On considère f une fonction de R+ dans R et l'on note R = Pf(A) P"1. Soit X EUR M...1 et À un réel positif tels que MX = ÀX . Calculer RX. 16) Montrer que, pour toutes matrices P et @ inversibles et toutes matrices diagonales Ap et AQ de M,, telles que M = PApP"1 = QAQQ"1, on a: PfP--l = Qfo--l.

Désormais, si M est une matrice diagonalisable à valeurs propres positives
et ACI = PAP_1 est une diagona1isation de .M , on définit f (M ) par

f(M)=Pf(A)P"I-

Définition 4. Une fonction f est dite matriciellenient croissante sur R+ si
pour tout n 2 1 et tout couple (A, B), de matrices symétriques, l'implication

suivante est satisfaite :
OjAfiB:f(/l)jf(B).

Soit E l'ensemble des fonctions go continues sur ]0, + oo[, à valeurs dans
R+, telles que (s r----> sc,o(s)) soit intégrable sur [0,1] et 90 soit 
intégrable sur
[1, + oo[. On définit une fonction LSD : R+ --> R+ par:

1+st

L;=/ °° "' sada

17) Pour 7" E R, on pose go,.(s) = s ""--1. Pour quelles valeurs de 7° a--t--on
90,-- E E? Exprimer alors, pour tout t > O, LW(t) en fonction de L%_(1) .

1
18) Soit 3 2 0. On pose pour tout t 2 O, fs(t) = 1-- 1_--Ï_t . Exprimer fs(A)
5
lorsque A est une matrice symétrique positive.

19) Montrer que fs est matriciellement croissante sur R+.

20) Pour toute matrice A E Sn positive et toute matrice colonne X EUR Mn,1,
établir l'identité:

<...A>X IX) = / °° w(8)(fs(A)X | X) ds.

21) Montrer que, pour toute 90 E E, l'application LW est matriciellement

croissante sur R+.

22) Soient A et B deux matrices symétriques telles que 0 _--S A _<_ B. Compte-- tenu des questions précédentes, pour quelles valeurs du réel positif r, pouvez--vous montrer que A'" 5 B"? FIN DU PROBLÈME