Mines Maths 2 PSI 2008

A 2008 MATH. II PSI
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2008
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Équation de la chaleur en dimension 2
Dans ce qui suit, on dira qu'une fonction de plusieurs variables est de classe 
C  si
elle admet des dérivées partielles de tous ordres et si toutes ces dérivées 
partielles sont
continues.
Définition 1. Soit (an )nZ une suite de réels positifs indexée par Z. La série 
de terme
général (an , n  Z) est convergente lorsque les séries
+
X

an et

n=0

+
X

a-n

n=1

sont convergentes. On a alors
X

an =

nZ

+
X

an +

n=0

+
X

a-n .

n=1

Définition 2. Soit (am,n )(m,n)Z2 une suite double (indexée par Z2 ) de nombres 
complexes telle que la série
X X

(

|am,n |) [respectivement

X X

(

|am,n |)]

mZ nZ

nZ mZ

converge. On admet alors que la série
X X

(

|am,n |) [respectivement

mZ nZ

X X

(

|am,n |)]

nZ mZ

P

converge également. On dira alors que la série double m,nZ am,n est sommable. En
outre, on a :
X X
X X
(
am,n ) =
(
am,n ).
nZ mZ

mZ nZ

La valeur commune de ces deux nombres complexes sera notée
P
somme de la série double m,nZ am,n .

P

m,nZ

am,n et appelée

Pour u fonction bornée de R2 dans C, on note
kuk = sup |u(x, y)|.
x, y

Soit (un (x, y), n  Z) une suite de fonctions bornées de R2 dans C.
Définition 3. La série de terme général (un (x, y), n  Z) est dite normalement
convergente sur R2 lorsque la série de terme général (kun k , n  Z) est 
convergente.
2

On admet le théorème suivant :
Théorème 1. Si
a) pour tout entier relatif n, un est continue sur R2 ,
b) et la série de terme général (un (x, y), n  Z) est normalement convergente
alors la fonction u définie par
u(x, y) =

X

un (x, y)

nZ

est continue sur R2 .

I

Série de Fourier à deux variables

Dans les questions 1 à 9, u est une fonction de classe C  sur R2 , à valeurs 
complexes
et doublement 2-périodique, c'est-à-dire que pour tous les entiers relatifs k, 
l et tout
couple de réels (x, y), on a :
u(x, y) = u(x + 2k, y + 2l).
On pose pour chaque couple d'entiers relatifs (m, n) :
1 Z 2 Z 2
am,n (u) = 2
u(x, y)e-imx e-iny dx dy.
4 0 0

(1)

Pour tout entier relatif m, on introduit la fonction um définie pour tout réel 
y, par
1 Z 2
um (y) =
u(x, y)e-imx dx.
2 0

1. Montrer, pour tout entier relatif m, que um est 2-périodique, continue sur R 
et
que l'on a la relation suivante :
Z 2
0

|um (y)|2 dy = 2

X

|am,n (u)|2 .

nZ

2. Pour tout réel y, établir l'identité
1 Z 2
|u(x, y)|2 dx.
|um (y)| =
2 0
mZ
X

2

3

3. Prouver que la série double
X X

|am,n (u)|2

mZ nZ

converge et établir l'identité
X X

|am,n (u)|2 =

mZ nZ

1 Z 2 Z 2
|u(x, y)|2 dx dy.
4 2 0 0

(2)

On suppose maintenant, que pour tous les entiers positifs k et l, la suite 
double

|am,n (u)| (1 + |m|)k (1 + |n|)l

(m,n)Z2

est bornée.
4. Prouver que pour tout couple de réels (x, y), la série double suivante est 
sommable :
X X

am,n (u) eimx+iny .

mZ nZ

On pose alors
v(x, y) =

X X

am,n (u) eimx+iny .

mZ nZ

5. Prouver que v ainsi définie est continue.
6. Démontrer que v est de classe C  sur R2 et que pour tout couple (k, l) 
d'entiers
naturels :
X X
 k+l v
(x, y) =
(im)k (in)l am,n (u) eimx+iny .
k
l
x y
mZ nZ
7. Soit un réel y. Montrer que pour tout entier relatif k,
X
1 Z 2
v(x, y)e-ikx dx =
ak,n (u)einy .
2 0
nZ

8. Pour tout couple (k, l) d'entiers relatifs, calculer ak, l (v).
9. En déduire que u = v.
4

II

Application

Soit u0 (x, y) une fonction de classe C  sur R2 à valeurs complexes et 
doublement
2-périodique. On cherche à déterminer l'existence et l'unicité d'une fonction 
u(t, x, y)
a) continue sur [0, +[×R2 ,
b) doublement 2-périodique en (x, y),

c) de classe C  sur R+
× R2
d) et dont toutes les dérivées partielles en (t, x, y) admettent un 
prolongement continu
à [0, +[×R2 ,
e) qui soit solution du problème suivant :
 (x, y)  R2 , u(0, x, y) = u0 (x, y), et
2u
2u
u

 (t, x, y)  R+
(t, x, y) - 2 (t, x, y) - 2 (t, x, y) = 0.
× R2 ,
t
x
y

10. Pour tout couple d'entiers relatifs (m, n), exprimer am,n (
am,n (u0 ).

(3)
(4)

u0
) en fonction de
x

11. Démontrer, pour tous les entiers naturels k et l, que la suite double

|am,n (u0 )| (1 + |m|)k (1 + |n|)l

(m,n)Z2

est bornée.
12. Construire une fonction u qui soit solution du problème posé.
Indication : on pourra chercher u sous la forme
u(t, x, y) =

X X

m, n (t)m, n eimx+iny .

mZ nZ

Soit u(t, x, y) une solution du problème précédent. Pour t réel positif, on pose
1 Z 2 Z 2
|u(t, x, y)|2 dx dy
Eu (t) =
2 0 0

+

Z t
0

Z 2 Z 2

0

0

2

u
u
(s, x, y) +
(s, x, y)
x
y

5

2

dx dy  ds.

13. Montrer que la fonction Eu est continue sur R+ et dérivable sur R+
. Exprimer sa
2
dérivée sous forme d'une intégrale sur [0, 2] .

14. Pour tout (t, x, y) appartenant à R+
× R2 , établir l'identité suivante :

!

u  u u  u u  u u u
+
+
+
(t, x, y)
x x y y 2 t
2 t
!
!!
u
u
 u

 u
1 
+ u
+ u
u
+
u
(t, x, y).
=
2 x
x
x
y
y
y
15. Prouver que Eu (t) = Eu (0) pour tout t > 0.
16. Montrer que le problème posé possède au plus une solution.

Fin du problème

6