Mines Maths 2 PSI 2009

A 2009 MATH. II PSI
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de
la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Aspects déterministes de l'étude des matrices aléatoires

Rappels
On rappelle la formule de Stirling qui donne un équivalent de n! quand n tend 
vers
l'infini

n!  2 nn+1/2 e-n .

On rappelle aussi que le déterminant d'une matrice M de coefficient (mi, j ; 1 
6 i, j 6 n)
peut s'exprimer comme
det M =

X

() m1,(1) m2,(2) . . . mn,(n) ,

Sn

où Sn est l'ensemble des permutations de {1, · · · , n} et () est la signature 
de la
permutation .

I

Polynômes d'Hermite
Pour tout entier naturel k, on définit la fonction hk par
hk : R - R
x-
7 

(-1)k x2 k -x2
e D (e ),
2k

2

2

où Dk (e-x ) désigne la dérivée k-ième de la fonction g(t) = e-t prise au point 
t = x.
2
2
(Par convention D0 (e-x ) = e-x .)

1) Calculer h0 et h1 et établir pour tout entier n, pour tout réel x, 
l'identité suivante :
2hn+1 (x) - 2xhn (x) + hn (x) = 0.

(1)

2) En déduire que hn est un polynôme de degré n et de coefficient dominant 1.

On admet que pour tous les entiers m et n,
Z +

-x2

hm (x)hn (x)e

dx =

-

2

  n! 2-n
0

si m = n
si m =
6 n.

(2)

On notera dorénavant
dn =

 n! 2-n .

3) Montrer que pour tout réel x, l'identité suivante est satisfaite :
dn -(x-t)2
e
dtn

2

= 2n e-x hn (x).
t=0

4) Montrer que pour tout réel x, la fonction fx de la variable réelle t définie 
par
2

fx (t) = e-(x-t) ,
admet le développement en série entière suivant, dont on précisera le rayon de
convergence,
+
X tk
2
fx (t) =
2k hk (x) e-x .
k=0 k!
On considère la fonction w définie par
w : R × R - R

2

(x, t) -
7  e2xt-t .

Il est évident (et admis dans la suite) que w satisfait la propriété suivante : 
pour tout
réel x et tout réel t,
w
(x, t) - (2x - 2t)w(x, t) = 0.
(3)
t
5) Établir pour tout réel x et tout entier positif n, l'équation de récurrence 
suivante :
2hn+1 (x) - 2xhn (x) + nhn-1 (x) = 0,
avec la convention h-1 (x) = 0.

6) Montrer que pour tout entier n, l'identité hn = nhn-1 est satisfaite.
On pose maintenant pour tout entier k et pour tout réel x,
x2
1
k (x) =  e- 2 hk (x).
dk

3

(4)

Les égalités (2) impliquent que
Z +

m (x)2 dx = 1 et que

-

Z +

m (x)n (x) dx = 0, si m 6= n.

(5)

-

7) Calculer n (0) et n (0) pour tout entier n.

8) Pour tout entier k, tout réel x et tout réel y, exprimer
(x - y)hk (x)hk (y)
uniquement en fonction de hk+1 (x), hk+1 (y), hk (x), hk (y), hk-1 (x) et hk-1 
(y).

9) Établir, pour des réels x et y distincts, les identités suivantes :
(x - y)

1
1
hk (x)hk (y) =
(hn (x)hn-1 (y) - hn (y)hn-1 (x)),
dn-1
k=0 dk

n-1
X

(6)
n-1
X

k (x)k (y) =

k=0

II

r

n n (x)n-1 (y) - n-1 (x)n (y)
·
2
x-y

Étude de 2m

Dans toute cette partie, m est un entier naturel fixé. Soient  et  deux réels 
non
nuls et r une fonction continue sur R, on considère l'équation différentielle 
suivante :

 (x) +  2 (x) = r(x), pour tout réel x,
(S(r, , ))

(0) = ,
 (0) = 0.

10) Montrer que l'équation différentielle (S(r, , )) a une solution unique dont 
on
donnera l'expression.

4

Avec les résultats de la première partie, on peut montrer (et on l'admet 
dorénavant)
que pour tout m, 2m est solution de l'équation différentielle suivante :

 (x) + (4m + 1)(x) = x2 (x), pour tout réel x,
(S)

(0) = 2m (0),
 (0) = 2m (0).

11) Montrer que pour tout réel x,
Z

2m (x) = 2m cos( 4m + 1 x) +

sin( 4m + 1(x - y)) 2

y 2m (y) dy,
4m + 1

x

0

avec pour tout entier m :
2m =

(-1)m

1
4

q

(2m)!

2m m!

·

12) Trouver un équivalent de 2m quand m tend vers l'infini.
13) Montrer que pour tout réel x, l'inégalité suivante est vérifiée :

5
Z x
sin( 4m + 1(x - y)) 2
|x| 2
1

 ·
y 2m (y) dy 6 
0
4m + 1
4m + 1
5
On pourra utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz et les relations (5).

14) Établir pour tout réel x > 0, la limite suivante :

1
x
lim (-1)m  m 4 2m (  ) = cos(x).
m+
2 m

III

Intégrales de déterminants

Pour tout entier N , on note K (N ) la fonction de R2 dans R donnée par
K (N ) (x, y) =

N
-1
X
k=0

pour tout (x, y)  R2 .
5

k (x)k (y),

15) Montrer, pour tout x et y dans R, les identités suivantes :
Z +

K (N ) (x, z)K (N ) (z, y) dz = K (N ) (x, y),

-

Z +

K (N ) (x, x) dx = N.

-

Soit k un entier tel que k > 2, et  une permutation de l'ensemble {1, . . . k}. 
Pour deux
entiers i et j de {1, . . . k}, on note (i, j) la transposition qui échange i 
et j. On fait la
convention : (i, j) est égale à l'identité de Sk si i = j.
On pose
b = (k, (k))  .
16) Montrer que b définit une permutation de {1, . . . , k} telle que b (k) = 
k. Calculer
sa signature en fonction de celle de . (On distinguera le cas où (k) = k du cas
où (k) 6= k.)

On note e la restriction de b à {1, · · · , k - 1}. On considère l'application  
définie par :
 : Sk - Sk-1
-
7  e .

Soit   Sk , on rappelle que

-1

{()} = {  Sk / ( ) = ()}.

17) Soit   Sk , établir les propriétés suivantes :

1

cardinal -1 ({()}) = 
k-1

si (k) = k,
sinon.

18) Montrer pour tout (x1 , · · · , xk )  Rk , pour tout entier N , les 
identités suivantes :
Z + Y
k

- i=1

K (N ) (xi , x(i) ) dxk =

 k-1
Y

K (N ) (xi , xe(i) )
N

 i=1

k-1

Y

K (N ) (xi , xe(i) )

i=1

6

si (k) = k,

sinon.

Si L est une fonction de R2 à valeur dans R, on note
Rk ,

L(x1 , x1 ) L(x1 , x2 )

L(x2 , x1 ) L(x2 , x2 )
Det L(x1 , · · · , xk ) = det 
..

.
L(xk , x1 )

...

pour tout (x1 , · · · , xk ) dans
. . . L(x1 , xk )

.

..
.
. . . L(xk , xk )
...

On notera que si L est continue sur R2 alors Det L est continue sur Rk .

19) En utilisant l'expression du déterminant rappelée dans les préliminaires, 
déduire,
des questions précédentes, que pour tout entier k > 1,
Z +

Det K (N ) (x1 , · · · , xk ) dxk = (N - k + 1) Det K (N ) (x1 , · · · , xk-1 ),

-

avec par convention Det K (N ) (x1 , · · · , xk ) = 1 si k = 0.

IV

Déterminants et intégrales

Pour tout entier N > 1, on note (N ) la fonction de RN dans R définie par
(N ) (x1 , . . . , xN ) = e-
(N )

Pour 1 6 k 6 N , on note k

PN

i=1

x2i

Y

(xi - xj )2 .

16i 0 et tout (x1 , . . 
. , xk )  Rk ,
k

lim (2N )- 2

N +

xk
x1
1
(N )
k (  , . . . ,  ) = det S(x1 , · · · , xk ),
d0 · · · dN -1
2N
2N

où
S : R2 - R
sin(x - y)
si x 6= y
(x, y) -
7 
(x - y)
1
(x, x) -
7  .

Sans le savoir, vous venez de démontrer que si l'on choisit une matrice 
hermitienne de
taille N ,« au hasard », la probabilité que k de ses valeurs propres soit dans 
un voisinage
de (x1 , . . . , xk ) est proportionnelle à det S(x1 , · · · , xk ) pour N 
grand. Ces considérations
sont particulièrement d'actualité pour l'étude des systèmes radio à plusieurs 
antennes
utilisés dans les « box ».

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