Mines Maths 2 PSI 2011

A 2011 MATH II PSI
ECOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filiere PSI).
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).
CONCOURS 2011
SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve : trois heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

Sujet mis a la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente
sur la premiere page de la copie :
MATHEMATIQUES II - PSI
L'enonce de cette epreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'enonce, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amene a prendre.

COURSE-POURSUITE.
On note R l'ensemble des nombres reels, R+ l'ensemble des nombres reels 
positifs, et R+ l'ensemble
des nombres reels strictement positifs. On designe par N l'ensemble des entiers 
naturels et par N
l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.
Soit  : [0, +[ R une fonction continue telle que (0) = 0. L'objet du probleme 
est l'etude de
l'equation differentielle
2
E() : x (t) =
.
x(t) - (t)
On dira qu'une fonction  de classe C 1 sur un intervalle non vide I est 
solution de E() si pour
2
tout t  I, (t) 6= (t) et  (t) =
.
(t) - (t)
Soit x0 > 0 un reel strictement positif. On appelle solution de E(, x0 ) une 
fonction  : [0, a[ R
(a  R+ ou a = +) de classe C 1 telle que
(0) = x0 , et t  [0, a[ , (t) 6= (t) et  (t) =

2
.
(t) - (t)

Une solution de E(, x0 ) est dite maximale si ou bien elle est definie sur [0, 
+[ ou bien elle est definie
sur un intervalle [0, a[ (a > 0) et elle n'est pas la restriction d'une 
solution definie sur un intervalle plus
grand [0, a [ (a > a).
On admettra le resultat suivant :
Theoreme 1.
1] Soit t0 > 0 et y0 ](t0 ), +[. Alors il existe  > 0 tel que le probleme de 
Cauchy
x(t0 ) = y0 , et t ]t0 - , t0 + [ , x(t) 6= (t) et x (t) =

2
x(t) - (t)

possede une unique solution  definie sur ]t0 - , t0 + [.
2] Soient I, J deux intervalles inclus dans [0, +[. On considere deux solutions 
 : I  R,  : J  R
de E() de classe C 1 . On suppose qu'il existe t1  I  J tel que (t1 ) = (t1 ). 
Alors,  et  coincident
sur I  J.
3] Pour tout x0 > 0 il existe une unique solution maximale, notee t 7 (t, x0 ), 
de E(, x0 ). Son
domaine de definition est alors note [0, T (x0 )[ ; T (x0 ) est appele temps de 
vie de la solution maximale
t 7 (t, x0 ). Ou bien T (x0 )  R+ , ou bien T (x0 ) = +.
Le probleme de Cauchy E(, x0 ) represente une course poursuite entre  le lievre 
et x la tortue.
Au temps t = 0, le lievre est a l'origine 0 = (0) tandis que la tortue est en 
x0 > 0. On verra que si
T (x0 ) < + alors le lievre rattrape la tortue, on dit qu'il y a capture. Si T (x0 ) = + alors la tortue parvient a s'echapper. On pourra utiliser librement les resultats de la Partie 1 pour traiter la suite, meme si on ne les a pas demontres. 2 1 Generalites. 1) On fixe x0 > 0. Soit (·, x0 ) : [0, T (x0 )[ R la solution maximale de E(, 
x0 ). Montrer que
t  [0, T (x0 )[ , (t, x0 ) > (t). Preciser le sens de variation de la fonction 
(·, x0 ) et montrer qu'elle
admet une limite reelle ou egale a + en T (x0 ).
2) Dans cette question et la suivante on suppose que T (x0 ) < +. Montrer que si lim tT (x0 ), t T (y0 ) et utiliser les questions 4), 3) et 
1)).

2

Etude de deux exemples.

6) Soient x0 > 0 et 0 la fonction nulle : t  0, 0 (t) = 0. Expliciter la 
solution maximale de E(0 , x0 ).
Peut il y avoir capture ?
On considere la fonction 1 : [0, +[ R definie par :

t  [0, 1], 1 (t) = 4(1 - 1 - t); t  1, 1 (t) = 4.
7) Montrer qu'il existe un reel a > 0 que l'on precisera, tel que la fonction 0 
determinee par

t  [0, 1], 0 (t) = a - (a - 2) 1 - t,
definit la solution maximale de E(1 , 2). Puis prouver que T (2) = 1.
Jusqu'a la fin de cette partie 2 on considere une autre solution de E(1 ),  = 
(·, x0 ), telle que :
(0) = x0  R+ \ {2}.

8) Pour chaque t  [0, min(1, T (x0 ))[, donner une expression simple de dtd ln 
|(t) - 0 (t)| en fonction
de

- (t) - 1 (t) 1 - t .
3

9) Montrer que la fonction

2 1-t
t 7 C(t) = ln |(t) - 0 (t)| -
(t) - 0 (t)
est bien definie sur [0, min(1, T (x0 ))[ et y est constante. (On pourra 
utiliser les questions 4 et 8).
10) On suppose que x0 ]0, 2[. Prouver que C(0) est superieur ou egal a 1+ln 2. 
En supposant T (x0 ) < 1, calculer C(T (x0 )) et aboutir a une contradiction. En deduire que T (x0 ) = 1. Dans la question suivante on suppose x0 = (0) > 2.
11) Montrer que T (x0 )  1. Puis montrer, en considerant C(t) quand t  1 par 
valeurs inferieures, que
T (x0 ) ne peut pas etre egal a 1. Enfin montrer, en resolvant l'equation E(1 ) 
pour t  1, que T (x0 ) ne
peut pas etre un nombre reel. Conclure. (On rappelle que t  1, 1 (t) = 4).

3

Une condition suffisante pour qu'il n'y ait pas de capture.

Soit f : [0, +[ R une fonction continue telle que f (0) = 0. On rappelle que la 
fonction  du
probleme E() verifie ces deux hypotheses. On note
M (f ) =

sup
0 0, T (x0 ) = +.
On raisonne par l'absurde, pour aboutir a une contradiction. Soit donc x0 > 0 
tel que la solution
maximale, notee t 7 x(t), de E(, x0 ) ait un temps de vie T (x0 ) < + (fini). 13) Montrer que M () est strictement positif. (On pourra utiliser la question 6). br la fonction definie sur R+ par Soit un reel r > 0. On designe par 
br (t) = 1 (r2 t).
t  R+ , 
r
br ) = M ().
On admettra que M (
br , 1 x0 ) a un
14) Montrer qu'il existe r  R+ , que l'on precisera, tel que la solution 
maximale x
b de E(
r
temps de vie egal a 1 et peut etre prolongee par continuite en 1 en posant x
b(1) = (1). (On pourra
montrer que x
b est de la forme t 7 1r x(bt) ou b est une constante a preciser).
4

br , 1 x0 ), on peut donc supposer que la solution maximale t 7 x(t) de
Quitte a remplacer (, x0 ) par (
r
E(, x0 ) a un temps de vie T (x0 ) = 1 et peut etre prolongee par continuite en 
1 en posant x(1) = (1).
15) Montrer que

t  [0, 1] , x(t) - (t)  M () 1 - t,

et en deduire que
t  [0, 1] , x(1) - x(t) 

4 
1 - t.
M ()

16) Montrer alors que
t  [0, 1] , x(t) - (t)  (M () -

4 
) 1 - t.
M ()

(On utilisera la deuxieme inegalite de la question precedente et la definition 
de M ()).
17) Soit µ un reel > 0 tel que

t  [0, 1] , x(t) - (t)  µ 1 - t.
Montrer alors que
t  [0, 1] , x(t) - (t)  (M () -
Conclure que M () -

4 
) 1 - t.
µ

4
est strictement positif.
µ

On rappelle que M () < 4. 18) Deduire de ce qui precede l'existence d'une suite (un )nN de reels strictement positifs verifiant : u0 = M (), n  N, un+1 = M () - 4 . un Etudier la convergence de cette suite (un )nN et aboutir a une contradiction. En deduire que pour tout reel x0 > 0, T (x0 ) = +.
Fin du Probleme
L'equation E() a ete introduite par Loewner. Elle joue un role important dans 
diverses branches
des mathematiques (analyse complexe, processus stochastiques...etc).

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