Mines Maths 2 PSI 2012

A 2012 MATH II PSI
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC).
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2012
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Fonctions d'endomorphismes
Dans ce texte on note
l'ensemble des nombres réels,

positifs ou nul et
l'ensemble des réels strictement positifs.

l'ensemble des réels

Pour tout entier  strictement positif on note  l'ensemble des endomorphismes
de  l'identité de  est notée i. Le produit scalaire Euclidien de  est noté  
et la norme associée 
 
Si s  l'ensemble des valeurs propres de s
est noté  s On définit la fonction s sur  
à valeurs dans
de la façon
suivante :
s  
s 
(1)

c'est le quotient de Rayleigh de s.
On note  l'ensemble des endomorphismes symétriques de  Si t  on
note respectivement  t et  t le minimum et le maximum de  t On dit que
t  est un endomorphisme positif (resp. strictement positif) si  
 
on a t    (resp. t  
). L'ensemble des endomorphismes positifs
(resp. strictement positifs) est noté  (resp.   ).

1

Fonctions d'endomorphismes symétriques
Dans cette partie on considère t 

Question 1 Soient t et t appartenant à  démontrer que t

Question 2 Montrer que t 

t  

atteint les valeurs  t et  t

Question 3 Démontrer que l'on a
 t

t  et  t

(2)

t 

On pourra faire appel à une base de vecteurs propres de t à cet effet.
Question 4 Montrer que t  (resp. t   ) si et seulement si  t 

 t 
).

(resp.

Soit  un intervalle contenant  t et  une fonction définie sur  à valeurs dans
Question 5 Montrer qu'il existe une et une seule application linéaire u telle 
que
u 

      t

t  i

(3)

et que u 
On notera u  t l'endomorphisme symétrique ainsi défini, ce qui conduit à
considérer  comme une application de  dans lui-même.
Question 6 Soit la restriction à  d'une fonction polynômiale à coefficients 
réels ;

on note  
  avec  
pour tout  vérifiant     Démontrer

que l'endomorphisme symétrique  t est égal à  i
 t où

t

|t  t {z    t}
 fois

Question 7 Y-a-t-il des fonctions  :  
polynôme de t ?

telles que  t ne soit pas égal à un

Question 8 Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de  t en fonction de
ceux de t.
Question 9 Pour des fonctions  et  définies sur l'intervalle  démontrer que
 t
 t  t
Question 10 On considère s   et la fonction  définie sur
 par  

Montrer que  s s
où s note l'inverse de l'endomorphisme s.
2

Question 11 On considère s  Lorsque  
 on note s l'endomorphisme
( )

s. En admettant
s
 s Montrer que l'endomorphisme s est bien défini et que
que toutes les valeurs propres de s sont simples, combien y-a-t-il de solutions 
c dans
 puis dans  à l'équation c s

2

Relation d'ordre sur 
Soient t et t deux éléments de  On note t  t si et seulement si
t t  

Question 12 Démontrer que la relation  définit une relation d'ordre dans  
estelle totale ?
Question 13 Soit u  démontrer que si t  t

alors ut  u  ut u

Soit  un intervalle de
on dit que la fonction    définit un opérateur
croissant si pour tout t et tout t endomorphismes symétriques vérifiant  t  
 t   alors
t t  t  t
(4)
Question 14 Démontrer que l'application 
définit pas un opérateur croissant.

donnée par  

 ne

On pourra considérer à cet effet les endomorphismes t et t de matrices 
respectives
)
)
(
(
m
(5)
et m
dans la base canonique.
Question 15 Soient t et t    tels que t t en s'aidant de la question 13

montrer que les valeurs propres de ut u sont inférieures ou égales
avec u t

à En déduire que u t  u i puis que l'application 
 donnée
par  
  définit un opérateur croissant.
Question 16 Soient t et t   tels que t t Démontrer que les valeurs

propres de t t  sont positives. En déduire que l'application 
donnée par  
 définit un opérateur croissant.

3

Inégalité de Löwner-Heinz

On va montrer que pour tout  
la fonction 

 définit un opérateur croissant. Pour  
on note 
fonction donnée par

définie par

la

Question 17 Démontrer que  définit un opérateur croissant. On pourra à cet effet
s'aider de la question 15.

3

Soient  une application
  et  une base
de )
(
la matrice de l'endomorphisme   dans la base  et   

On note  
les applica-

tions coordonnées de   On dira que  est continue et intégrable sur
   si
les fonctions coordonnées      le sont. Par définition on notera
  d
 
l'endomorphisme dont la matrice dans la base  a pour coefficients les
   d
 
Cette matrice sera notée
  d
Question 18 Montrer que cette définition est indépendante du choix de la base 
On considère s   et  
Question 19 Montrer que la fonction  à valeurs dans  définie par  
 s 
est continue et intégrable sur
 On pourra trouver utile de faire appel à une
base orthonormée adaptée à s.
On admet que

   d

(6)

 s  d

(7)

Question 20 Montrer que
s

Question 21 En déduire que la fonction  définit un opérateur croissant.

Fin de l'épreuve

4