Mines Maths 2 PSI 2014

A 2014 MATH Il PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH.

SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP).
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2014

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-ENR

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page dela copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initia-
tives qu'il est amené à prendre.

Racine de l'opposé du Laplacien

et
Equation de la chaleur généralisée

Notations

On note N l'ensemble des entiers naturels, Z l'ensemble des entiers relatifs, R 
l'en-
semble des nombres réels, N* l'ensemble des nombres entiers strictement 
positifs, R--
l'ensemble des nombres réels négatifs ou nuls, R+ l'ensemble des nombres réels 
positifs
ou nuls et R+* l'ensemble des nombres réels strictement positifs.

On note %; l'ensemble des fonctions R --> C de classe (EURk, de période 2712, où
k EUR [0,00] , et pourf EUR (@), on note "f" = supxEUR[0,2OE] |f (x)| .

On note en la fonction R --> C définie par en (x) = e", et pour f E (@),

c,,(f)=âJ f(6)e_,,(6)d6, nEZ. (1)

Lorsqu'une série est absolument convergente, on montre que sa somme ne dépend
pas de l'ordre des termes, ce qui justifie d'écrire

do+Îd_n+Îdn=Zdn
n=1 n=1

nEURZ

. , . . . , . +00
et de d1re que la ser1e Enez dn converge absolument 51 et seulement 51 les 
ser1es Zn=1 d_,,

+
et Znîî dn convergent absolument.

1 Séries trigonométriques

Question 1 Soit f E (@), démontrer que la suite des en ( f ) où n EUR Z, est 
bornée.

Question 2 Soit f E %Ï, donner l'expression de en ( f 00) en fonction de en ( f 
). En de'--
duire que pour tout k E N, il existe Ck > 0 tel que, pour tout entier relatif 
non nul n

C
Cn(f)l 5 fi (2)

Soit (dn)nEURZ , une suite d'éléments de C, telle que la série ZnEURZ dn 
converge absolu-
ment.

Question 3 Montrer que pour tout x réel la série Enez de, (x) converge et que 
sa somme
h (x) appartient à (EUR ; . Justifier que, pour tout n EUR Z dn = en (h).

Réciproquement, on suppose pour cette question que quel que soit l'entier k, il 
existe
Ck > O et Nk Z 1 tels que

d

n

Ck
lnl

ues ion émon rer ue our ou en ier; asérie e conver enorma emen ;
Q t 4D t q p t tl t 1 nezdn 2" g 1 t
en déduire que h (x) = E dnen (x) appartient à (EUR ;° .

nEURZ

Un opérateur différentiel sur %? est une application linéaire B de (EUR? dans 
lui-
même de la forme suivante :

Bf = 2 bkf"<), k=O où les réels bk sont tous nuls sauf un nombre fini. On appelle ordre de B l'entier K défini parK =max{k EURNlbk #0}. Question 5 Démontrer qu'une application linéaire B de (EUR? dans lui-même est un opé-- rateur difiérentiel d'ordre K si et seulement si il existe un polynôme PK d'ordre K tel que, pour tout entier relatif n, et pour tout f E (EUR;O, cn (B f ) = PK (n) cn ( f ) . 2 Equation de la chaleur généralisée Soit ,a une fonction : R+ --> R+, strictement croissante, telle qu'il existe 
EUR EUR N+ avec

Vy21,y5p(y)5y'.

Question 6 Soit f E (EUR;O, démontrer que la série Enez ,o (lnl) cn ( f ) en 
converge norma-
lement et que sa somme appartient à (6520.

Question 7 Soit f E (@), démontrer que pour tout t > 0, la série Enez 
e_tp(lnl)cn ( f ) en
converge normalement et que sa somme appartient à (6520.

On définit l'opérateurA : (EUR? --> (EUR? par la formule

A(f) =Zp(lnl)cn(f)en- (3)

nEURZ

I o +
On suppose desorma1s que t E R *,
et on définit l'opérateur Qt sur (672 par la formule suivante :

Qt (f ) = Ze_'P('"')cn (f ) en. (4)

nEURZ

Question 8 Montrer que pour x réel fixé et f E (@), la fonction t +--> Qt ( f ) 
(x) est de
classe (60° sur R+*.

Question 9 Démontrer que, pour f EUR (EUR; et t > O,

(?
ÆQt (f) (x) = --A(Qt (f)) (x) Vx EUR R-- (5)

On note I l'opérateur identité de (6520.

Question 10 Soit a E C, a çÈ R_. Montrer que pour tout g EUR (EUR? il existe un 
et un seul
élément, noté u, appartenant à %? qui soit solution de l'équation (A + ocI ) u 
= g.

Question 11 Montrer que pour fie a > O et g E %Ï, et pour tout x réel,

+OE)

(A+ aI)_1(g)(x) = J e_atQt (g) (x) dt.

0

Question 12 Déterminer les valeurs propres de A, c'est-à-dire les  complexes 
tels qu'il
existe g # O vérifiantA(g) = Âg.

3 Représentations intégrales

Dans ce paragraphe on s'intéresse à deux occurences particulières de la 
fonction ,o :
,o1 et ,o2 définies sur R+ par p1(y) = y et ,o2 (y) = 3/2. On pose

A1(f)=Zlnlcn(f)en etA2(f)=ancn(f)em (6)

nEURZ nEURZ

ainsi que

Qî (f) = z e_tlnlcn (f) en: et Q? (f) = z e_tn26n (f) en° (7)

nEURZ nEURZ

Question 13 Démontrer que si f E CÏ, (A1 OA1) ( f ) = A2 ( f ) .

Question 14 Démontrer que A2 est un opérateur difiérentiel et en donner 
l'expression. En
est-il de même pour A1 ?

Question 15 En référence aux résultats des questions 13 et 9, justifier le 
titre du document.

Si g est une fonction continue et intégrable sur R, on pose

]' +OO ---ùox
ÿ(g)(oe)=\/ÎÎJ_OE EUR g(x)dxn (8)

où (U E R ; c'est la transformée de Fourier de f.

On admettra les formules suivantes :

1 7Ï ---oe --x2 __ ---oe2
ÿ(1+x2)(oe)=\/ge ' |et.fi'(e /2)(oe)--e /2. (9)

ues ion éerminer e rée a e ue, our ou , our ou rée e ou
Qt16Dt llthpttEURfiÏpttylttt

teR+*, +
Qî(f)(y)=aJ '

ËETïÎSËËÏÏ()/----ÇX)(ÏXL

4 Données initiales continues

On suppose dans ce paragraphe que f E (@), et on se limite à l'étude de (2% ( f 
) .

On rappelle le théorème de Weierstrass trigonométrique : pour toute fonction f
continue T périodique et tout 8 > 0, il existe un polynôme trigonométrique p, 
soit

p(t)= che2imt/T oùcnEURC,etZN={nEZI--NSnSN},

nEURZN

tel que "f --p|l S 8.

Question 17 En s'aidant du théorème ci-dessus, montrer que pour tout y réel et 
tout t
réel strictement positif

t2+x2

--OO

Qï(f)(y)=--J+OE#fa--X)dx.

Question 18 En utilisant l'expression de Qî ( f ) sous forme de série, montrer 
que

t-->O
t>0

nm J % (f (y)--Qî exam =o. ...»

Question 19 En utilisant l'expression intégrale de Qî obtenue à la question 17, 
montrer
que pour tout y réel,

f (y) = liggQî (f) (y)- (11)

t>0

5 Décroissance de l'énergie

Pourf EUR (@), on pose Që (f) =f et
1 27T 1 2
E(t)=î |Qt(f)(x)l dx, tZO. (12)
0

Question 20 Montrer que E est une fonction décroissante de t et déterminer sa 
limite en
t = +00.

Fin de l'épreuve