Mines Maths 2 PSI 2015

A 2015 MATH. II PSI
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP,
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Matrices symplectiques

Notations
Dans tout le problème n désigne un entier naturel non nul : n  N .
-- Dans En = Mn,1 (R) espace vectoriel réel de dimension n, on utilisera le
produit scalaire canonique défini par :
(U |V ) = t U V.

 U, V  En ,

-- On notera Mn = Mn (R), l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n
à coefficients réels.
-- Pour A  Mn , on notera ker A, le noyau de A vu comme endomorphisme de
En .
-- Dans Mn , on notera 0n la matrice nulle et In la matrice unité. Le 
déterminant
est noté det.
-- Gn = GLn (R) = {M  Mn , det(M ) #= 0} désigne le groupe linéaire des
matrices inversibles de Mn .
-- On = {M  Mn , t M M = In } désigne le groupe orthogonal d'indice n,
formé des matrices orthogonales de Mn .
-- On sera enfin amené à utiliser des décompositions par blocs. On rappelle en
particulier que si A, B, C, D, A , B  , C  , D  Mn , on a alors dans M2n :
!

A B
C D

det

#!

"!

A B 
C  D

A C
0n D

"$

"

=

= det

!

#!

2

AA + BC  AB  + BD
CA + DC  CB  + DD
A 0n
C D

"$

"

.

= det(A) det(D).

I

Le groupe symplectique
Soit n  N et soit Jn ou simplement J la matrice de M2n définie par
J=

!

0n -In
In 0n

"

.

On note
Sp2n = {M  M2n , t M JM = J}.

1. Calculer J 2 et tJ en fonction de I2n et J. Montrer que J est inversible et
identifier son inverse.
2. Vérifier que J  Sp2n et que pour tout réel ,
K() =

!

0n
In
-In In

3. Pour tout U  Gn , vérifier que LU =

!

U
0n

"

 Sp2n .

0n
t -1
U

"

est dans Sp2n .

4. Si M  Sp2n , préciser les valeurs possibles de det(M ).
5. Montrer que le produit de deux éléments de Sp2n est un élément de Sp2n .
6. Montrer qu'un élément de Sp2n est inversible et que son inverse appartient
à Sp2n .
7. Montrer que si M  Sp2n alors t M  Sp2n .

Soit M une matrice de M2n écrite sous la forme
M=

!

A B
C D

"

, avec A, B, C, D  Mn .

8. Déterminer des relations sur A, B, C et D caractérisant l'appartenance de M
à Sp2n .

II

Centre de Sp2n
On s'intéresse ici au centre Z de Sp2n c'est-à-dire :
Z = {M  Sp2n , N  Sp2n , M N = N M }.
3

TSVP

9. Justifier l'inclusion suivante : {-I2n , I2n }  Z.

Réciproquement, soit M  Z écrite sous la forme
M=

10. En utilisant L =

!

!

"

A B
C D

In In
0n In

"

, avec A, B, C, D  Mn .

et sa transposée, obtenir B = C = 0n et D = A,

A étant inversible.
11. Soit U  Gn . En utilisant LU =

!

U
0n

0n
t -1
U

"

, montrer que A commute avec

toute matrice U  Gn .
12. Conclure que A  {-In , In } et Z = {-I2n , I2n }.
Indication : on montrera d'abord que les matrices In + Eij commutent avec
A, où (Eij , 1  i, j  n) est la base canonique de Mn .

III

Déterminant d'une matrice symplectique

Soit M dans Sp2n que l'on décompose sous forme de matrices blocs
M=

!

A B
C D

"

(1)

avec A, B, C, D  Mn . Dans toute cette partie, les matrices A, B, C, D sont les
matrices de cette décomposition.
On suppose dans les questions 13 et 14 que D est inversible.

13. Montrer qu'il existe quatre matrices Q, U, V, W de Mn telles que
!

In Q
0n In

"!

U 0n
V W
4

"

=

!

A B
C D

"

.

14. En utilisant la question 8, vérifier que BD-1 est symétrique, puis que
det(M ) = det(t AD - t CB) = 1.

Soit P, Q  Mn telles que t P Q soit symétrique et Q non inversible. On suppose
qu'il existe deux réels différents s1 , s2 et deux vecteurs V1 , V2 non nuls 
dans En tels
que :
(Q - s1 P )V1 = (Q - s2 P )V2 = 0.

15. Montrer que le produit scalaire (QV1 |QV2 ) est nul.

On suppose dorénavant D non inversible.

16. Montrer que ker B  ker D = {0}.

Soit m un entier, m  n. Soit s1 , · · · , sm des réels non nuls et deux à deux
distincts et V1 , · · · , Vm des vecteurs non nuls tels que
(D - si B)Vi = 0 pour i = 1, · · · , m.

17. Montrer que pour tout i  {1, · · · , m}, DVi %= 0 et que la famille (DVi , 
i =
1, · · · , m) forme un système libre de En .
18. En déduire qu'il existe un réel  tel que D - B soit inversible.
19. Montrer alors que toute matrice de Sp2n est de déterminant égal à 1.

Fin du problème

5