Mines Maths 2 PSI 2016

A 2016 - MATH II PSI.

École des PONTS ParisTech,
ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech,
TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech,
MINES Saint-Étienne, MINES Nancy,
TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP).
CONCOURS 2016
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours
Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

Mathématiques II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Matrices quasi-nilpotentes

Notations
Dans tout le problème, K désigne R ou C.
Étant donnés deux entiers naturels n et p non nuls, on note Mn,p (K) l'espace
vectoriel des matrices à n lignes, p colonnes et à coefficients dans K, et Mn 
(K)
celui des matrices carrées à n lignes et à coefficients dans K. Pour i et j 
dans [[1, n]],
on note Ei,j la matrice élémentaire de Mn (K) ayant exactement un coefficient 
non
nul, situé en position (i, j) et de valeur 1. La transposée d'une matrice M sera
notée t M .
Une matrice carrée A  Mn (K) est dite triangulaire supérieure stricte
lorsqu'elle est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous nuls.
On note Sn (K), An (K) et T++
n (K) les sous-ensembles de Mn (K) constitués,
respectivement, des matrices symétriques, antisymétriques, et triangulaires 
supérieures strictes.
On rappelle la notation du symbole de Kronecker : pour x et y deux entiers,
x,y =

1

si x = y,
sinon.

0

Définition 1 Étant donné un entier naturel non nul n, un sous-espace vectoriel
V de Mn (K), et un élément j de [[1, n]], on note Cj (V ) l'ensemble des 
matrices de
V dont toutes les colonnes sont nulles à l'exception éventuelle de la j-ième.
Pour toute matrice M  Mn (K) avec n > 2, on notera K(M )  Mn-1 (K),
R(M )  Mn-1,1 (K), L(M )  M1,n-1 (K) et a(M )  K la décomposition de M en
blocs suivante :

M =

K(M )

R(M ) 

L(M )

a(M )

.

(1)

On a en particulier défini des fonctions K : V  Mn-1 (K) et L : V  M1,n-1 (K),
évidemment linéaires.

2

Objectifs
Définition 2 Soit A une matrice de Mn (K). On dit que A est quasi-nilpotente
lorsqu'elle ne possède aucune valeur propre non nulle dans K. Une partie V de
Mn (K) est dite quasi-nilpotente lorsque tous ses éléments sont 
quasi-nilpotents.
On se propose d'étudier les sous-espaces vectoriels quasi-nilpotents de Mn (K).
En particulier, le résultat principal que nous souhaitons établir s'énonce comme
suit :
Théorème (Dimension des espaces quasi-nilpotents) Pour tout sous-espace
vectoriel quasi-nilpotent V de Mn (K), on a
dim V 6

n(n - 1)
·
2

(QN)

La clé pour démontrer ce résultat réside dans le lemme suivant, démontré dans
la partie C.
Lemme (Lemme des colonnes) Pour tout sous-espace vectoriel V de Mn (K),
quasi-nilpotent, il existe un élément j de [[1, n]] tel que Cj (V ) = {0}.

A

Exemples
Dans cette partie, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

C

D

C

D

0 -1
1. Montrer que la matrice D =
est quasi-nilpotente vue comme matrice
1 0
de M2 (R). Est-elle quasi-nilpotente vue comme matrice de M2 (C) ?
1 i
2. Montrer que la matrice B =
est quasi-nilpotente vue comme matrice
i -1
de M2 (C).
3. Montrer que Sn (K), An (K) et T++
n (K) sont des sous-espaces vectoriels de
Mn (K). Montrer que la dimension de Sn (K) est n(n + 1)/2.
4. Montrer que T++
n (K) est quasi-nilpotent dans Mn (K). Vérifier que
dim T++
n (K) =
3

n(n - 1)
·
2
TSVP

5. Soit A  An (R). Montrer que pour tout X  Mn,1 (R), t XAX = 0. En
déduire que An (R) est quasi-nilpotent dans Mn (R).
6. Montrer qu'il n'existe pas de matrice inversible P  GLn (R) telle que :
An (R) = {P M P -1 | M  T++
n (R)}.
Indication : on pourra commencer par étudier le cas n = 2, en utilisant par
exemple la matrice D introduite à la question 1.

B

Cas réel
Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul.

7. Déterminer l'ensemble des matrices de Sn (R) qui sont quasi-nilpotentes dans
Mn (R). Le résultat obtenu tient-il si l'on remplace R par C ?
8. Soit V un sous-espace vectoriel de Mn (R), quasi-nilpotent dans Mn (R). 
Déduire de la question précédente que :
dim V 6

C

n(n - 1)
·
2

Lemme des colonnes

On se propose ici de démontrer le lemme des colonnes par récurrence sur 
l'entier n.
9. Justifier que le lemme des colonnes est vrai dans le cas n = 1.

Dans la suite, on fixe un entier naturel n > 2 et on suppose le lemme des
colonnes vrai pour l'entier n - 1. On se donne un sous-espace vectoriel 
quasinilpotent V de Mn (K). On raisonne par l'absurde en supposant que Cj (V ) 
Ó= {0}
pour tout j  [[1, n]]. On introduit le sous-ensemble V  de V constitué de ses
matrices de dernière colonne nulle. Toute matrice M de V  s'écrit donc par blocs
4

comme suit :

M=

0
.. 
. 

K(M )
L(M )

0 
0

10. Montrer que l'ensemble K(V  ) = {K(M ) | M  V  } est un sous-espace
vectoriel quasi-nilpotent de Mn-1 (K).
11. En déduire qu'il existe un entier j  [[1, n - 1]] tel que En,j  V .

Soit  une bijection de [[1, n]] dans lui-même. Soit (e1 , . . . , en ) la base 
canonique
de Kn . On considère l'application linéaire u de Kn dans Kn définie sur la base
canonique par
u (ej ) = e(j) pour tout j  [[1, n]].
On considère la matrice P de Mn (K) :
P = (i,(j) )16i,j6n .

12. Vérifier que u est inversible et préciser son inverse.
13. Vérifier que P est la matrice de u dans la base canonique de Kn . Montrer
que P est inversible et préciser les coefficients de son inverse.
14. Pour M  Mn (K), préciser les coefficients de P-1 M P en fonction de ceux
de M et de .
On pourra utiliser un changement de base.
15. Montrer que l'ensemble
î

V  = P-1 M P | M  V

ï

est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de Mn (K) et que Cj (V  ) Ó= {0}
pour tout j  [[1, n]].
16. En déduire que pour tout j  [[1, n]] on peut choisir un f (j)  [[1, n]] \ 
{j} tel
que Ej,f (j)  V . On obtient ainsi une fonction
f : [[1, n]]  [[1, n]].
5

TSVP

17. En considérant les images successives de 1, montrer qu'il existe une suite
finie (j1 , . . . , jp ) d'éléments deux à deux distincts de [[1, n]] telle que
k  [[1, p - 1]], f (jk ) = jk+1

et f (jp ) = j1 .

18. Ecrire un algorithme qui permette d'identifier une telle suite connaissant 
les
valeurs de f .
19. Démontrer que 1 est valeur propre de la matrice N =

p
q
k=1

D

Ejk ,f (jk ) , et conclure.

Cas général

On va ici prouver l'inégalité (QN) par récurrence sur n. Le cas n = 1 est 
trivialement vrai. On fixe donc un entier naturel n > 2 et on suppose 
l'inégalité (QN)
établie au rang n - 1. Soit V un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de Mn 
(K).
On rappelle qu'on peut écrire toute matrice M de Mn (K), et en particulier de
V , sous la forme (1) et qu'en particulier, les applications K : V  Mn-1 (K) et
L : V  M1,n-1 (K) sont linéaires. On introduit le sous-espace vectoriel
W = {M  V | L(M ) = 0}.
Jusqu'à la question 21 incluse, on suppose que Cn (V ) = {0}.
20. Montrer que : dim V 6 dim K(W ) + (n - 1).
21. En déduire que : dim V 6

n(n - 1)
·
2

On ne suppose plus désormais que Cn (V ) = {0}.

22. Démontrer que : dim V 6

n(n - 1)
·
2

Fin du problème

6