Mines Maths 2 PSI 2021

A2021 - MATH II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Noyaux de type positif

Dans ce problème, on étudie quelques propriétés des opérateurs intégraux à 
noyau de
type positif.

La partie préliminaire comporte des résultats utilisés par la suite et qui 
pourront
éventuellement être admis.

La seconde partie définit les noyaux de type positif (en abrégé NTP) et en donne
quelques exemples.

Enfin, la dernière partie étudie certaines propriétés d'un opérateur à NTP, et 
montre sur
un exemple le lien avec la résolution d'une équation différentielle du second 
ordre ayant
certaines conditions aux limites. On démontrera également, sur cet exemple, le 
théorème

de Mercer (1909).

Notations

-- L'espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant n lignes et p 
colonnes est
noté My ,p(R). On notera en particulier M,(R) = M, (R).

-- La matrice transposée d'une matrice À EUR M,,,(R) est notée A'.

-- On note S,(R)) le sous-espace vectoriel de M,(R) formé des matrices 
symétriques
réelles.

-- On dit qu'une matrice S'E S,(R) est positive si :
VX E MiilR), X' SX >0,
et on note S'(R) l'ensemble des matrices symétriques positives.

-- Les intervalles de R qui interviennent dans le problème seront toujours 
supposés
d'intérieur non vide.

Quelques résultats préliminaires

Soit A -- (@i j)1i jen (us Sn (R)).

T1
1 > Vérifier que pour tout vecteur X = | : | EUR M, 1(R) on a :

ln

X'AX -- > > Qi, Lit j :

i=1 j=1

2 > Montrer que si À EUR SYT(R), les valeurs propres de À sont des réels 
positifs ou nuls.
Soit f une application continue sur [a ;b] x |c;d], à valeurs dans R.

Pour (x,t) EUR {a;b] x [c;d] on pose : w(x,t) -- [ f(u,t) du.

a

3 > Montrer que pour tout x EUR |[a;b|, l'application t + w(x,t) est continue 
sur |c;d|.

d
On pose alors, pour tout x EUR [a ;b] : (x) -- | o(x,t) dt.
4 > Montrer que Y est de classe EUR! sur [a ;b] ; préciser w'.

5 > En déduire :

VxEe [a;b|, [ [ru ar du = f° [flan au) dé.

bf{ pd d {pb
On a donc, en particulier : | ( f(u,t) à) du -- | (| f(u,t) du) dt (c'est le

théorème de Fubini).
Cette quantité sera notée simplement :

[ [rte du dt.

Soit f une application continue sur {a :;b] x [c;d], à valeurs dans R. On 
suppose qu'il
existe M EUR R, tel que, pour tous (x,y), (x',y") EUR [a;b] x [c; d] :

feu) -- fx',y)| < M{lx -x|+ly-y|) (condition L).

n désignant un entier naturel non nul, on pose, pour tout entier k EUR [0 ; nl,

b-- a

na

ux = a+k

et pour tout entier £ EUR [0;n|,

d --
tr =c+l °

Enfin, on définit la somme de Riemann :

SG) = PDO ST Fou te)

2
n k=0 £=0

b pd
6 > Démontrer que: lim S,(f) = [] f(u,t) du dt.

n-- +00

Pour la suite, on admettra que ce dernier résultat reste valable pour toute 
application
f continue sur {a ;b] x [c:d|].
Noyaux de type positif

Soit (2 un ensemble quelconque. Une application ÆK: (Q x (0 -- R s'appelle un 
noyau
de type positif (en abrégé NTP) si :

(i) K est symétrique, c'est-à-dire : V(x,y) EUR À, K(x,y) = K{(y,x):

(ii) pour tout n EUR N*, pour tout (x1,...,æ,) EUR (7, la matrice (appelée 
matrice de
covariance) :

Covx(t1,...,%n) = (K (xs, r;))

1<1,J (x |y)x

Soit ® un ensemble. On dit qu'une application K° sur Q x Q vérifie la propriété 
(R) s'il
existe un espace préhilbertien À et une application &: ( -- H tels que :

V(x,y) EUR ©, K(x,y) = (o(x) [o(y))x

8 > Montrer que si X vérifie la propriété (R), alors À est un NTP.

9 > Montrer que si Q -- {x1,...,x,} est un ensemble fini, et si X est un NTP 
sur Q,
alors K° vérifie la propriété (R).

Indication : on pourra diagonaliser la matrice Covx(æ1,...,2»).

On considère ici l'espace vectoriel H des fonctions f continues et de classe #1 
par
morceaux sur l'intervalle [0 ; 1], telles que f(0) -- 0 (on ne demande pas de 
vérifier qu'il
s'agit bien d'un espace vectoriel). Pour (f,g) EUR H°? on pose :

1
(flan = | FDg (0 àt:
10 > Montrer que l'on a bien défini ainsi un produit scalaire sur H.

Soit le noyau
K:[0;:1]x{0;:1 -- R
(x, y) ----> min(x,y).

11 > Montrer que K vérifie la propriété (R).
Indication : pour tout x EUR [0;1], on pourra poser w(x) -- K,, où K,; désigne
l'application partielle y K{x,y).

Opérateurs à noyau

Soit { = |a;b] un segment de R. On notera E l'espace vectoriel #(1,R), que l'on
munit du produit scalaire habituel : (f|g) -- [O0 dt, et l'on note || |, la 
norme
I

associée.
Soit À une application symétrique et continue de 1 x T dans R. On lui associe 
alors
l'application ux définie sur Æ par :

VIE BP VreL wie) = f KO dt = (Ka)

où K, désigne l'application partielle {+ K{(x,t).

12 > Montrer que si X" est une autre application symétrique et continue de 7 x 
] dans
R telle que ux = uk. alors K = K".

13 > Montrer que ux est un endomorphisme de Æ, puis que cet endomorphisme est 
une
application continue de l'espace vectoriel normé (E | LL) dans lui-même.

14 > Montrer que ux est un endomorphisme symétrique de l'espace préhilbertien Æ.

En déduire que si À et 4 sont deux valeurs propres distinctes de ux et si f\, fu
en sont deux vecteurs propres associés, alors f\ et f, sont orthogonaux.

On suppose désormais que X° est un NTP.

15 > Montrer que, pour toute f EUR E, on a (ux(f)|f) Z 0. Que peut-on en 
déduire pour
les valeurs propres de ux ?

Indication : utiliser la question 6 ©.

On prend maintenant, 1 -- [0;1], et on note Æ l'espace vectoriel E = 
EUR([0;1|,R) que
l'on munit du produit scalaire : (f |g) = | f(t)g(t) dt, et l'on note || ||, la 
norme associée.
I

Soit f EUR E donnée. On cherche ici à déterminer les applications g de classe 
EUR? sur [0 ; 1]
qui satisfont au problème aux limites :
16 > Montrer que le problème (P) possède une solution unique g, donnée par

g = ux(})
où À est le NTP défini par :

K:IXI--R
(x,t) ---- min(x,t).

17 > Déterminer les valeurs propres de ux (on les exprimera sous forme d'une 
suite
strictement décroissante (Àz)gen ):

Montrer que pour tout k EUR N le sous-espace propre associé à la valeur propre 
ÀE£
est de dimension 1, et déterminer un vecteur propre unitaire ex qui l'engendre.

Pour tout entier n EUR N, on note F, -- Vect(eo,...,eh) et ph la projection 
orthogonale
sur F,.

18 > En admettant la relation :

vérifier l'égalité :

[x dr dt = Y 2
k=--0

19 > Montrer que :
nn Ke = (KE dr = 0

n-- +oo

20 > En déduire, pour toute f EUR E :

2

lim
n-- +00

LS Ar te| fes
k=0

21 > Montrer que la série de fonctions

+00
D eler|f) ex
k=0

est uniformément convergente sur Î, puis que

+00
= D A(ex]f) er
k=0
22 > Démontrer que :

V(x,y) EUR l°,K -ÿ Ager (x (1)

Indication : poser K'(x, y) -ÿ Are (x ) et montrer que Ux = UK.

23 > En déduire la formule de la trace :

[KG dM=Y XX (2)

k=0

puis la valeur de
+00 1

2

Les relations (1) et (2) se généralisent à tous les NTP; il s'agit du théorème 
de Mercer
(1909).

FIN DU PROBLÈME