Mines Maths 2 PSI 2022

A2022 --- MATH II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Matrices de Hurwitz

Notations

n désigne un entier naturel non nul.
K désigne R ou C.

- M,(K) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n et à 
coefficients dans K
et pour une matrice M de M,(K), on note XYy son polynôme caractéristique.

- K|X1] désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K, K,,|X] 
désigne le
sous-espace vectoriel de K[X\ des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

- Re = {2EUR C/Rel(z) < 0}. - On désigne par < .,.> le produit scalaire usuel de R? et |.| sa norme 
associée :

nm
< (21,22, ..., mn), (Y1, V2, +, Un) > = d Ti
i=1

n
(1, T2, ..., Tn)|] -- D x?.
i=1

- On confondra abusivement, pour le calcul matriciel, le vecteur X = 
(x1,x2,...,æ,) de K?
fr)
T2
avec la matrice colonne X -- | de ses coordonnées dans la base canonique de K".
\ Ln )

- Pour À = (x1,%2,...,%n) de C", on notera son conjugué

X +X
réelle Re(X) -- = et sa partie imaginaire Im(X) --

-- (T1,72,...,Tn), Sa partie

- Si M EUR M,{R)), l'endomorphisme de R" (respectivement C") canoniquement 
associé à

M est
R" -- R"

CT -- C7?
XX + MX

Érespectivement X à MX

Rappels

1) Deux matrices À et B de M,(K) sont semblables dans W,(K) si il existe une 
matrice P
de M,(K) inversible telle que À = PBPT1.
Deux matrices À et B de M,(R)) sont semblables dans M,(C) si il existe une 
matrice P
de M,(C) inversible telle que À = PBP7À.

2) Soient R et S deux polynômes de K|ÏX]. R est un diviseur de $ s'il existe un 
polynôme
Q de K}X\ tel que S = QR.
Les polynômes irréductibles de R/{X1 sont les polynômes de degré 1 et les 
polynômes de
degré 2 dont le discriminant est strictement négatif.

Objectifs

- [s'agit d'établir pour un système différentiel linéaire d'ordre 1, une 
équivalence entre des
propriétés qualitatives des solutions et des conditions portant sur la nature 
de la matrice
asssociée à ce système et de son polynôme caractéristique.

- La partie 1 concerne l'étude de propriétés de matrices semi-simples.

- La partie 2 propose de trouver une caractérisation de matrices 
diagonalisables de M,(C).

- La partie 3 est consacrée à l'étude des polynômes de Hurwitz.

- Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.

- La partie 4, sur l'équivalence anoncée pour les systèmes différentiels, 
utilise des résultats
des parties 1 et 3.

1 Matrices semi-simples

Définition 1 Une matrice de M,(R) est dite semi-simple si elle est 
diagonalisable dans
M;(C).

Définition 2 Une matrice M de M,(R)) est dite presque diagonale s'il existe :

i) deux entiers naturels p et q;
it) q réels a1,a2,....., @g ;
iii) q réels non nuls b1,b2, ..., ba ;
iv) une matrice D diagonale de M,(R)) tels que p+2q = n et M est la matrice 
bloc suivante :

[D 0 0 0 0
0 M(a1,0b1) 0 0 0
0 0 Ma», ba) 0 0
m=tlo 0 0 +. 0 0
| | | :
0 0 .. 0 O0 0

\ 0 0 .. 0 O0 O0 M(ay.bg)/

Où, V] EUR [1 ; al : M(a;,0b;) -- (4 0
J J

la matrice diagonale par blocs M. De même, si q = 0, alors M = D.

| . Si p = 0, la matrice D n'est pas présente dans

Soit À la matrice de L(R)) définie par :
1 > La matrice À est-elle semi-simple ?

Soit B la matrice de M2(R)) définie par :

(5

2 > Démontrer que B est semi-simple et en déduire l'existence d'une matrice Q 
de M(R)
inversible et de deux réels a et b à déterminer tels que :

BG 5 1 Q.

Indication : on pourra, pour un vecteur propre V de B, introduire les vecteurs 
W; = Re(V)

et Wo = Im(V).

Soit M une matrice de M(R).
On suppose dans la question 3) seulement que M admet deux valeurs propres 
complexes
u=a+ibetu=a---ibavecaeRetbeR*.

3 > Démontrer que M est semi-simple et semblable dans M2(R) à la matrice :

6)

4 > Démontrer que M est semi-simple si et seulement si l'une des conditions 
suivantes est
satisfaite :

i) M est diagonalisable dans M2(R)) :

ii) xx admet deux racines complexes conjuguées de partie imaginaire non nulle.

5 > Soit N une matrice de M,(R) semblable à une matrice presque diagonale. 
Démontrer
que N est semi-simple.

6 > Soit N une matrice de M,(R). Donner la forme factorisée de xx dans C|X\|, 
en précisant
dans les notations, les racines réelles et les racines complexes conjuguées. En 
déduire que
si N est semi-simple alors elle est semblable dans M,(R) à une matrice presque 
diagonale.

2 Une caractérisation des matrices diagonalisables de M, (C)

Dans cette partie, E désigne un C-espace vectoriel de dimension n et u désigne 
un endomor-
phisme de E,.

On suppose dans les questions 7), 8) et 9) que u est diagonalisable. On note B 
= (v1, V2, ....., Un)
une base de E formée de vecteurs propres de u. Soit F un sous-espace vectoriel 
de FE, différent
de {0£} et de E.
7 > Démontrer qu'il existe k EUR [1 ; n] tel que vx EUR F' et qu'alors F et la 
droite vectorielle
engendrée par vy sont en somme directe.

On note alors

A = {H sous-espace vectoriel de E tel que u(H) C Het FN H -- {0p}}

et
L={peN'3HEA:p= dim(H)}.
8 > Démontrer que £ admet un plus grand élément que l'on nommera r.

9 > Démontrer que F admet un supplémentaire G dans FE, stable par u.

10 > On suppose que tout sous-espace vectoriel de E possède un supplémentaire 
dans Æ, stable
par u. Démontrer que u est diagonalisable. En déduire une caractérisation des 
matrices
diagonalisables de M, (C).

Indication : on pourra raisonner par l'absurde et introduire un sous-espace 
vectoriel, dont
on justifiera l'existence, de dimension n -- 1 et contenant la somme des 
sous-espaces
propres de u.

3 Polynômes de Hurwitz

Définition 3 Un polynôme P EUR RIX\ est dit polynôme de Hurwitz si ses racines 
dans C
appartiennent à Re" = {2 EUR C/Re(z) < 0}. Définition 4 Un polynôme P EUR RI[X\ est dit à coefficients strictement positifs s'il est non nul d et si, d désignant son degré, P -- > ay X où, pour tout k EUR [0, d|, ax > 0
k=--0

11 > Soit a EUR R. Démontrer que si à est une racine d'un polynôme P de R{X\, à 
coefficients
strictement positifs, alors à < 0. 12 > Démontrer que tout diviseur d'un polynôme de Hurwitz est un polynôme de 
Hurwitz.

13 > Soit P un polynôme de Hurwitz de R[X1 irréductible et à coefficient 
dominant positif.
Démontrer que tous les coefficients de P sont strictement positifs.

Soit n EUR N*. Soient (21,22, ..,2n) EUR C". On définit les deux polynômes P(X) 
et Q(X) de CIX]
par :

P(X) = [[(X - z) et  Q(X) -- Il (X -- 2x -- 2)
14 > On suppose n = 2 et P EUR R2]X|. Si les coefficients de Q sont strictement 
positifs, P est-il
alors un polynôme de Hurwitz ?

15 > Soient À et B deux polynômes de R{X] dont tous les coefficents sont 
strictement positifs.
Démontrer que les coefficients du produit AB sont également strictement 
positifs.

16 > Démontrer que si P et Q sont dans R|X|, alors on a l'équivalence : P est 
un polynôme
de Hurwitz si et seulement si les coefficients de P et Q sont strictement 
positifs.

4 Système différentiel de matrice associée semi-simple

Soit M EUR M,(R). On note (S) le système différentiel :

(S) X'=MX

où À est une application de la variable t de R dans R", dérivable sur R.
Soit T EUR M,(R). On suppose que M est semblable à T dans M,(R) et on note (S*) 
le
système différentiel

(S*) Y'=TY
17 > Démontrer que les coordonnées d'une solution X de (S) sont combinaisons 
linéaires des

coordonnées d'une solution Y de (S*).

Dans les deux questions suivantes 18) et 19), on suppose n = 2, on note alors X 
= (x; y) où
x et y sont deux fonctions dérivables de R dans R et on pose 2 = x + iy.
a D

On suppose qu'il existe a et b réels tels que M -- (5 al

18 > Démontrer que X est solution de (S) si et seulement si z est solution 
d'une équation
différentielle linéaire d'ordre 1 à déterminer. En déduire une expresssion, en 
fonction de t,
des coordonnées des solutions de (5).

Résoudre le système X' -- BX où B est la matrice de la question 2).

19 > Soit M EUR MR) semi-simple. Donner une condition nécessaire et suffisante, 
portant sur
les parties réelles et imaginaires des valeurs propres de M, pour que toute 
solution de (S')
ait chacune de ses coordonnées qui tende vers 0 en +oo.

On reprend le cas général n > 2 et on considère les assertions suivantes :

À; Xm est un polynôme de Hurwitz ;
A>2 Les solutions de (S) tendent vers Or quand t tend vers +0 ;

A3 Il existe à > 0, il existe k > 0 tels que pour toute solution & de (S),

VE20 : [BI  <-B|X|?. 20 > Démontrer que A3 est vraie avec k = 1 pour toute solution ® de (S*).

Indication : on pourra introduire la fonction t + e2Pt|æ(t)|f?.

21 > On suppose que M EUR M,{R) est semi-simple. Démontrer que les assertions 
A1, A2 et A3
sont équivalentes.

Indication : on pourra commencer par A3 implique A».

FIN DU PROBLÈME