Mines Maths 2 PSI 2023

A2023 --- MATH II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Distance entre deux distributions de probabilités sur N

1 Nombre de points fixes d'une permutation.

Soit n un entier naturel non nul. On note $S, l'ensemble des permutations
de l'intervalle entier [1,n] = {1,2,--: ,n}, c'est-à-dire des bijections de 
[1,n]
vers lui-même. Si o EUR S, est une permutation, on appelle point fixe de © tout
entier à EUR [1,n] tel que o(i) = 1.

Une permutation © EUR $, est appelée un dérangement si elle n'a aucun point
fixe. Pour tout n > 1, on note d, le nombre de dérangements de l'intervalle
entier [1,n]. Par convention, on pose do = 1.

On munit l'ensemble fini $, de la probabilité uniforme notée P,. Sur l'espace
probabilisé fini (Sy, Ph), on définit la variable aléatoire X, telle que, pour 
tout
O E Sn, Xn(o) est le nombre de points fixes de la permutation o.

On introduit enfin la série entière > Tr dont le rayon de convergence est
n>0
noté À, et dont la somme sur l'intervalle de convergence | -- À, R| est notée s 
:
+00 d
Vxe]-R,R] st) = D x".

|
n=0 nm:

1 > Rappeler le cardinal de $,. En déduire que R > 1.

2 > Pour k EUR [0,n], montrer que le nombre de permutations de [1,n] ayant

exactement k points fixes est 1 dn_£&:
En dédui P(Xn = k) An=k
n déduire que Ph(Xn = k) =
1 El(n --k)]

3 > Montrer que

Vxe]-1,1| s(x) e* --

En déduire que À = 1.
À D

TL

En partant de la relation (1--x)s(x) = e * pour x EUR |--1,1{, exprimer --
n!

pour ñn entier naturel, sous la forme d'une somme.

Montrer que la loi de la variable aléatoire À, est donnée par
1 "K (1);
Vk EUR [0, n] PatXn = k) = -- ( )
k! er à

Sur l'espace probabilisé fini (S;, P,), on définit, pour tout à EUR [1,n], la
variable aléatoire Ü; telle que, pour tout o EUR Sh, on ait U;(o) = 1 si
oi) = i, et U;(o) = 0 sinon.

1
Montrer que l; suit une loi de Bernoulli de paramètre --.
n

Montrer que, si i Æ j, la variable U;U; suit une loi de Bernoulli dont on
précisera le paramètre.

Exprimer X, à l'aide des UÜ;, 1 < i < n. En déduire l'espérance E(X,) et la variance V(X,). Dans cette question, on fixe un entier naturel k. Déterminer uk = lim P,(Xh =k). n--+oo Soit YY une variable aléatoire sur un espace probabilisé (Q, 4, P), à valeurs dans NN, et vérifiant VkEN  P(Y =k)=y. Reconnaître la loi de Y. 9 > On note Gx, et Gy les fonctions génératrices respectives des variables X}
et Y de la question précédente. Exprimer Gx,(s) sous forme de somme,
pour s réel, et vérifier que

VseR lim Gx,(s) = Gy(s).

n-- +00

2 Convergence en variation totale

Dans la suite du problème, on appelle distribution (de probabilités) sur N
toute application x: N -- R, telle que

+00
> x(k) = 1.
k=0

On note DK l'ensemble des distributions de probabilités sur N.
Si x et y sont deux distributions sur NN, on définit la distance en variation

totale entre x et y par
1 ©

dyrT(x,y) = 5 D le(k) -- y(k)|
k=0

10 & Soient x, y, z trois distributions sur N. Prouver les propriétés :
0 < dyr(x,y) < 1: dvr(x,y)=0 > x =7y;

dyr(y,x) = dyrT(x, y) :
dyr(x, 2) < dyr(x,y) + dyr(y, 2) . Si À est une variable aléatoire à valeurs dans N, définie sur un espace probabi- lisé (9,4, P), on note px la distribution de probabilités de X. Aïnsi, px est l'application de N vers R, définie par VkEeN  px(k) = P(X =k). Il est clair que px EUR DN. En particulier, si À est un réel strictement positif, on appelle distribution de Poisson de paramètre À l'application 7): N -- R, telle que XE VkeN  r\k)=e * Tr 11 > Soient X et Y deux variables de Bernoulli, ayant respectivement pour
paramètres À EUR |0,1[ et H EUR [0,1]. Calculer dyr(px,py).

12 > Soit À une variable de Bernoulli de paramètre À EUR |0,1]. Montrer que

dyr(px, mx) = À (1e).
En déduire que
dyr(px, mx) < X°. On considère de nouveau les variables aléatoires X,, introduites dans la partie 1. Les questions 8. et 9. semblent montrer une certaine "convergence" des lois des variables X, vers la loi de Poisson de paramètre 1. Le but de la fin de cette partie est de montrer que dyT(px., T1) ne 0, et que cette convergence est assez rapide. 13 > Vérifier la relation, pour tout n entier naturel non nul,

2 dvr(pxs mi) = > 7 > a |te > TT
k=0 i=n--k+1 k=n+1
+00
14 > Pour n entier naturel, on pose r} -- > LT Prouver la majoration
k=n+1

1 |
Pa L -- ,
= (n+1)! 2 + 2

En déduire un équivalent simple de r,, lorsque n tend vers +oo.
15 > En continuant de majorer le second membre de l'égalité de la question
13., établir l'estimation

on
dr(Pxss mi), E 0) |

On pourra faire intervenir des coefficients binomiaur.

3 Autres estimations de distances en variation totale

Si x et y sont deux distributions de probabilités sur N, on définit 
l'application
zxy:N --R, par

VEN (xxy)(k) -- >_v(i) yk--i = >, ai) y():

16 > Montrer que x * y est une distribution sur N.

17 > Soient À et Y deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans N,
définies sur un même espace probabilisé (Q,.4, P). Prouver la relation

PX+Y -- PXx * DY .

18 > Soient (x,y,u,v) EUR (Dx)*. Montrer que, pour tout k entier naturel.

rx y)(k)-- (uxv)(R) < 2 y) fr) --u(l+ X 2 u() yG) (1: i+j=k i+j--k 19 > Avec les notations de la question précédente, établir l'inégalité

dyT(x * Y,U * v) < dyT(x, u) + dyT(y; v) . 20 & Soit U une variable binomiale de paramètres n EUR N* et À EUR ]0,1[. Prouver l'inégalité dr (pu, Tax)  Soit à un réel strictement positif. Pour tout entier naturel n tel que
a

n > [a], on note B, une variable binomiale de paramètres n et --. Pour
n

tout k£ entier naturel, déterminer

lim P(B; = k).

n-- +00

On pourra utiliser la question précédente.

22 & Soient « et 5 deux réels strictement positifs. En utilisant les résultats 
et
les méthodes qui précèdent, montrer que

dUT(Ta: TB) < 18 -- a. FIN DU PROBLÈME