Mines Maths 2 PSI 2024

A2024 --- MATH II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Étude de marche aléatoire

Notations

On rappelle l'expression des coefficients binomiaux. Lorsque k et n sont deux 
entiers, on
pose :

n! |
= tp SRE
0 , sinon

On pourra utiliser sans démonstration l'équivalent de Stirling, valable lorsque 
l'entier
naturel n tend vers +0 :

1 Üne propriété sur les sommes de Riemann

Dans toute la suite, pour tous réels a < b, on note %,4 l'ensemble des fonctions f : la,b -- R continues sur l'intervalle |a, b|, intégrables sur Ja, b| et vérifiant de plus : __ 1 b RL lim D (a+ )=5 Lio -- à N-- +0 N -- nv 1> Soit f : [a,b] --> R une fonction continue. Démontrer que la restriction g 
de la
fonction f à l'intervalle |a, b[ appartient à l'ensemble Z, y.

1 1 1 1
1, ax -- L 9H et dg -- LT orr montrer que

1 tel que :

2 > En posant pour tout entier k 2
l'on peut choisir un entier ko 2

VE > ko. Dpi << A. En déduire que la fonction f :0,1|-- R définie par : 1 k° 251. (4 -- ay), si il existe un entier k > ko tel que t EUR lag, ax + =--
9k+1

| 1
Pitt 4 p2.9kH1. (b4 -- t), si il existe un entier k > ko tel que t EUR a + DHL 
be

| Ü, sinon

est une fonction bien définie et continue sur |0, 1|, intégrable sur |0, 1[ et 
que cette
fonction f n'appartient pas à l'ensemble % 1.
Dans la suite, on définit la fonction :

10 ©

0,1! -- R

1

Vt(i--t)

1
Montrer que la fonction w :t---> -- est intégrable sur |0,1{, puis montrer que 
la

VA:

fonction & appartient à 1.

u 1
On note À la restriction de la fonction À à l'intervalle | O, ;| . Vérifier que 
la fonction

_ 1 _
h est décroissante sur 10. ; : puis montrer que la fonction À appartient à Do,

Montrer que la fonction À est intégrable sur ]0, 1] et que :

[nu e) dt = 2 [7 h(#) à

Prouver alors que :

Montrer que :

CS | k 5
lim Où ------h = | R(t) dt.
n--+o0 Xi 2n +1 2n + 1 0

En déduire que :
2n 1 le 1
im n) = ne) dt
n-- too  2n + 1 2n + 1 0

Déduire des questions précédentes que la fonction À appartient à 1.

Montrer que :

[ r6 dt =».

Montrer que lorsque n tend vers +, on a un équivalent de la forme :

Dr A n-T +00 \Vn,

où la constante À est à préciser.
11 > En déduire la limite : :
"-- 1

lim
PT I v'itn -- à)

On considère une suite (£,),en+ de nombres réels strictement supérieurs à --1,
convergente de limite nulle.

12 > Montrer que :

13 > En déduire que :

n--1 1 | fe +) Her) ) --

l1+E,

2 Une étude de marche aléatoire

Dans cette partie, on considère une suite de variables aléatoires (x n:Q-- 
{--1, 1})
neN*
définies sur un même espace probabilisé (Q,.27,P) et à valeurs dans l'ensemble 
à deux

éléments {--1,1}, ces variables aléatoires étant mutuellement indépendantes et 
centrées.
Pour tout n EUR N*, on note :

S,= VX.
k=1

nn

14 > Montrer que pour tout n EUR N*, la variable aléatoire suit une loi de 
Bernoulli

de paramètre 2

Dans la suite, on fixe l'entier n > 1. On appelle chemin, tout 2n-uplet + = 
(£1,-:: ,EUR»)

dont les composantes EUR4 valent --1 ou I.

Si y = (EUR, ,EUR2n) est un chemin, on appelle indice d'égalité, tout entier k 
EUR [1, 2n] tel
k

que >» EUR; = 0. On remarquera alors qu'un entier k est un indice d'égalité si 
et seulement

i=1
si le k-uplet (£1,--- ,EUR4) comporte autant de composantes égales à 1 que de 
composantes
égales à --1.
On note N, : (0 --ÿ N Ia variable aléatoire qui à tout élément w de l'univers 
(} compte
le nombre d'indices d'égalité du chemin (x 1(w),--- Xan())

On note pour tout entier ? entre 1 et n, l'événement À, défini par
À; -- du 2i est un indice d'égalité de (Xi), _ Xan())|
15 > Calculer la probabilité P(4;), pour tout entier à entre 1 et n.

16 > Soit { EUR Z un entier et n > 1 un autre entier. En distinguant le cas où 
l'entier
{ -- n est pair ou impair, calculer P(S,, -- #).

On admet sans démonstration le résultat suivant :

Théorème 1 Soit (an)nen: et (bn)nen: deux suites de nombres réels non nuls 
telles que

An = O(bh) au voisinage de + et la série D |b,| est divergente. Alors :

Sa =0 5 bu) au voisinage de +00.
k=1 k=1

17 > Soit (Cy)nen+ et (dn)nen: deux suites de nombres réels strictement 
positifs telles
QUE : Cn y Tin An et la série >» Cn diverge.

n

En utilisant le résultat admis dans l'énoncé, montrer que la série >» dn est 
diver-
gente et que :

n n
>» COE nn Vis >» dy.
k=1 k=1

18 > Montrer que la variable aléatoire N, admet une espérance finie et que son 
espérance
E(N,) est égale à :

[indication : on pourra exprimer la variable N,, à l'aide de fonctions 
indicatrices associées
aux événements À;.]

19 & En déduire l'équivalent :
Dans une urne contenant n boules blanches et n boules noires, on procède à des 
tirages
de boules sans remise, jusqu'à vider complètement l'urne. Les tirages sont 
équiprobables
à chaque pioche.

Pour tout entier k entre 1 et 2n, on dit que l'entier k est un indice d'égalité 
si dans
l'expérience de pioche précédemment décrite, il reste autant de boules noires 
que de
boules blanches dans l'urne après avoir pioché les k premières boules sans 
remise. On
remarque que l'entier 2n est toujours un indice d'égalité.

On note W,,, la variable aléatoire comptant le nombre aléatoire d'indices 
d'égalité k
entre 1 et 2n.

20 > En utilisant par exemple les événements B; : « l'entier à est un indice 
d'égalité ».
montrer que la variable M, admet une espérance finie égale à :

eo = $ GC).

= ©

21 > En déduire l'équivalent :

E(M,) nd + VALLE

FIN DU PROBLÈME