X/ENS Maths PSI 2004

MATHÉMATIQUES

DURÉE: 4 HEURES

L'usage de toute calculatrice est interdit

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants que les candidats peuvent
traiter dans l'ordre de leur choix.

Problème I

OEn
On se propose d'étudier la série de fonctions 2 ' , où a: E R; on rappelle

2
1120 (n.)

que f0+°° exp(--%)dæ : Æ et que par convention O! = 1.

1.1 / Montrer que la série est bien définie pour tout :1: E R. On note f (a:) sa
somme. Montrer que f est une fonction de classe C 1.

I.2/ Quelle est la limite en a: : +00 de f(x) '?

On se propose de calculer un équivalent de f (a:) lorsque ce ----> +00. On 
introduit
la fonction

1.3 / Montrer que gx(9) est bien définie comme fonction de EUR, périodique et

de classe C1 et donner une expression explicite de gæ(9) comme fonction de

z : crew.

I.4/ Calculer les coefficients de Fourier de gx (EUR) et en déduire que

1 21r

? ]QOE(Û)]2d6 : f(x2)
" 0

I.5/ Étudier la convergence de la suite (|gpl2)peN de fonctions de 0 lorsque
9 EUR]-- " ,32"[, et en déduire que

3n/2

lim [gx(0)]2d0 : @.
OE--'+OO 7f/2

I.6/ Montrer que, pour a: > 0,

3-- 2oe 2fi ---3-'--
/2 2æcosôda : EUR EUR 2
0

On prendra garde de justifier l'existence des diverses intégrales rencontrées,
dans le calcul.

I.7/ Montrer que si 0 5 À 5 1/2, alors

1
_'JÎÏÎ_1'<À\Æ' et en déduire que pour a: ----> +00,

u2

/% e2æcosôd0 ... î2_æ_ /2\/Æ e_--Îdu'
0 \Æ 0 \/5

2

% ' eæ2 +ooe --- %--du
/ e2oe cos 0d9N
0 \/_o e\/_d

Quel est donc un équivalent de f (ac) lorsque 36 ----> +oo ?

puis que

Problème II

Ensembles de Besicovitch

On considère la bande D du plan R2 définie par a: E [O, 1], où (a:,y) sont les
coordonnées d'un point dans le repère orthonormé usuel. On appelle ensemble
de Besicovitch toute partie K de D ayant la propriété suivante : pour tout
réel p EUR [O, 1] (la pente), K contient un segment de droite, rejoignant le 
côté
gauche de la bande (a: = 0) à son côté droit (a: = 1), et ayant 19 pour pente.
Autrement dit,

VpEUR [0,1], 3bEUR R,VoeEUR [0,1], (æ,px+b) E K.

On va montrer qu'il existe des ensembles de Besicovitch dont l'aire est aussi
petite que l'on veut.

L'ensemble des notations introduites dans chaque partie est conservé pour les
parties suivantes.

On se donne N EUR N, avec N 2 2.
Première partie : construction

II.1/ Montrer que la partie T définie par T = {(oe,y), a: EUR [O, 1], cc 2 y 2 
O}
est un ensemble de Besicovitch. Quelle est son aire?

II.2/ Soient q1,q2, -- --- ,qN EUR {0,1, - -- ,N -- 1} des nombres entiers, et 
notons
q EUR @ le nombre rationnel défini par

N
_q=î:%_
k=1

a) Montrer que q EUR [O, 1[.
b) Montrer que si 7'1,r2, - -- ,rN EUR {O,1,-«- ,N -- 1} sont tels que

N N

2 -----"° - 2 -----'"°
Nic _ k'

k=1 k=1

alors Vic EUR {1,---- ,N}, rk =qk.

c) A q on associe la fonction lq de [O, 1] dans R,
N qk(NCE -- k + 1)
lq = 2 -----N--------
k=1

On définit le segment L,, comme l'ensemble {(æ, lq(a:)), 33 EUR [O, 1]} de R2.
Quelle est la pente de L, '?

II.3/ Soit 5 EUR [O, 1]. On considère la bande Bg, définie par

(any) EUR 33 => fl? EUR [0,1], ly -- lq(OE)l < 5- a) Montrer que Bg est contenue dans une partie compacte de "D indépen- dante de 5 et de q. b) Montrer que B:; contient un segment de pente ]) pour tous les p dans l'intervalle [q -- 26, q + 25]. 11.4 / On appelle QN l'ensemble des nombres q qui s'écrivent de la forme décrite dans la question 11.2 : N qEUR QN<=>SQI7q2WH 7QNE{O:1a'H ,N--1},Q='Z%
k=1

(C'est l'ensemble des nombres de [O, 1[ dont la représentation en base N n'a

pas plus de N "chiffres".)
On fixe 5 = N"N et l'on définit alors l'ensemble KN : qugNBâ.

a) On fixe N = 2. Représenter graphiquement l'ensemble K2 et montrer
qu'il s'agit d'un ensemble de Besicovitch.

b) On revient au cas général, N E N, N _>_ 2, montrer que KN est un
ensemble de Besicovitch.

Deuxième partie : partition des pentes

Soit m EUR {1,' -- - ,N} un entier, et R... la relation définie sur QN par
qR...â<=>VkSm--l, Qk=(Îk-

II.5/ Montrer qu'il s'agit d'une relation d'équivalence et en déduire une parti-
tion de l'ensemble QN.

11.6 / Caractériser les classes d'équivalence de R... et montrer qu'il y en a N 
"'".
Quel est le cardinal de chacune?

Il.7/ Montrer que si deux nombres q et (j de QN sont équivalents pour la

relation R..., alors, si a: E [ml--Qi, --Î,%] on a

N ...
(k -- m + 1)th -- ku
|zq<æ> --- W)! 5 N,...
En déduire que C
llq<æ> -- zq<æ>| 5 W

où C est une constante indépendante de a:,m, q, 61", N.

II.8/ Soit 330 EUR [0,1] et AaCO : {lq(oeo), q EUR QN}. Montrer qu'il existe un 
entier
m EUR {1, - -- - ,N} tel que A;EO soit contenu dans la réunion de N "'--1 
intervalles
de IR (non nécessairement disjoints), chacun de longueur au plus CN "'".

Troisième partie : calcul de l'aire

II.9/ On conserve 330 EUR [0,1] fixé.

a) On appelle Dm0 la droite d'équation &: = cm, et on considère son intersec-
tion avec une bande B:; de l'ensemble K N. Montrer que cette intersection
est un intervalle de longueur 26. On notera par la suite tg... la fonction
caractéristique de cet intervalle.

b) Montrer qu'il existe m EUR {1,- -- ,N} tel que l'ensemble KN n Dm0 est
contenu dans la réunion de N ""--1 intervalles (non nécessairement dis-
joints), chacun de longueur au plus C'N'm + 2N"N (un dessin pourra
utilement guider le raisonnement).

11.10/ On appelle tm0 la fonction caractéristique de l'ensemble KN fi Doe0. 
Mon--
trer que '

tæo(y) = sup tîo(y)
QEQN

et en déduire qu'il existe (a, b) EUR R2, avec a < b tel que pour tout y E R on a 0 S tæo(y) _<_ X[a,b](y) où x[a,b] est la fonction caractéristique de l'intervalle [a,b]. Retrouver ainsi le résultat de la question Il.3.a. ll.ll/ On définit alors +oo h<æo) = ] tæo(y)d "00 a) Montrer que h(oeo) est bien définie. b) Que représente géométriquement h(oeo) '? c) Montrer que h(:m)< (C + 2)/N. ll.12/ On admet que la fonction h((æ) définie pour 33 E [O, 1] est affine par mor-- ceaux. En déduire que A N -- f01f1(:r)doe est bien définie. Expliquer brièvement pourquoi il s'agit de l'aire de KN. Il.l3/ Montrer que limN_,+OO AN : 0. Pourquoi l'ensemble KN est--il une réponse au problème initialement posé '? 11.14 / En déduire qu'il existe dans le plan des ensembles contenant un segment de longueur au moins 1 dans toutes les directions et dont l'aire est aussi petite que l'on veut.