X/ENS Maths PSI 2006

MATHÉMATIQUES

DURÉE: 4 HEURES

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L'usage de toute calculatrice est interdit

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Le sujet comporte 5 pages

PRÉAMBULE

Dans tout ce problème, R[X ] désigne l'espace vectoriel des polynômes à 
coefficients
réels. Le degré du polynôme nul est pris par convention égal à --00. Pour tout 
entier
naturel n, Rn[X] est le sous--espace vectoriel de R[X ] formé des polynômes de 
degré
inférieur ou égal à n. On identifiera chaque fois que c'est nécessaire les 
éléments de R[X]
à des fonctions réelles d'une variable réelle. _

On appelle W l'ensemble des fonctions w : R ------> R continues par morceaux 
telles que

(i) Va: E R, w(oe) > 0,

(ii) il existe un intervalle ouvert non vide sur lequel U) ne s'annule pas,

(iii) pour tout entier naturel n, lim æ"w(æ) = lim oe"w(æ) : O.
x--+--oo æ--++oo

Soit n un entier strictement positif. On note (e1,. . . ,en) la base canonique 
de l'espace
vectoriel R". On munit R" du produit scalaire (...,) défini comme suit: pour 
tous réels

OE1,...,OEnety1,....,y... n n n
(E OEiei> E :yjej> : E OEi3/z'
i=1 j=1 i=1

Soit n un entier strictement positif et A une matrice de taille n >< n à coefficients réels. Pour tous entiers z' et j appartenant à {1,. . . ,n}, on note AÙ- le coefficient de A situé à l'intersection de sa i-ème ligne et de sa j--ème colonne. Pour tout n entier strictement positif, on note In la matrice identité de taille n >< n. On rappelle que si J est un intervalle fermé borné de R et si f : J ------> R 
est une fonction

continue, alors pour tout 8 > 0, il existe P dans R[X] tel que sup | f (a:) --- 
P(æ) |< e." OEEJ La quatrième partie du problème est indépendante des trois autres. PREMIÈRE PARTIE 1. a. Donner un exemple de fonction appartenant à W. 1. b. Soit 10 un élément de W. Montrer que pour tous P et Q appartenant à R[X ], la fonction d'une variable réelle cc 1----> P(oe)Q(æ)w(oe) est intégrable sur R. 
On note alors

(P | Q)... le nombre réel défini par
. +oe
(P | Q)... = / P(OE)Q(oe)w(oe) d...

--oo
1. c. Montrer que l'application qui à un couple( (P ,Q) d' éléments de R[X] 
associe (P | Q)...
est un produit scalaire. On notera ||Pll...= \/ (P | P) la norme associée.

On appelle suite w-orthogonale échelonnée une suite (P...)...20 d'éléments de 
R[X] telle

que
( ) VT). 0, P... est de degré n,
(11) pour tous entiers naturels n et m distincts, (P... | P...)... = O.

2. a. Montrer qu'il existe une suite w-orthogonale échelonnée. On donnera une 
expression

d'une telle suite, qui pourra faire intervenir le produit scalaire ( - [ -)....
2. b. Soient (P...)...20 et (Q...)...>O deux suites w-orthogonales échelonnées. 
Montrer que pour
tout n > 0, les polynômes P... et Q... se déduisent l'un de l'autre par 
multiplication par un

réel non nul.

On choisit une suite w-orthogonale échelonnée que l'on note (P...)...20. Pour 
tout n > 1,
on note (a...,b...) l'unique couple de réels tel que le polynôme P...(X ) --- 
a...X" -- b...X'""1 soit
de degré inférieur ou égal à n -- 2. On pose (a0,bo) : (PO(O),O).

3. a. Montrer que pour tout n> 2 et pour tout Q EUR R..._ 2[X ], (XP... ] Q)... 
=
3. b. En déduire qu 'il existe un unique couple (a0,flg) de réels tels que X 
PO(X ) --

a0P1(X ) + ,BOPO(X ) et qu'il existe, pour tout n > 1, un unique triplet 
(d...,fl...,7...) de
réels tels que ' -

(1) XP... (X) : a...P...+1(X) + fi...P... (X) + y...P..._1(X).
3. c. Montrer que pour tout n> 1, on a les égalités
bn __bn+1 an--1 lanllîu
an-- _ ? TL _ ) n : ___--°
5 ii". " a. lIPn-1llä.

DEUXIÈME PARTIE

Soit 10 un élément de W. On note J un intervalle de R tel que Va: çÈ J, w(oe) : 
0. Il
n'est pas exclu que J soit égal à R. On choisit une suite w--orthogonale 
échelonnée (P...)...20.

4. Soit n> 1 fixé. On définit un entier naturel r... et un polynôme R... comme 
suit. Si P...
n' a aucune racine dans J ou si toutes ses racines appartenant a J sont d' 
ordre pair, on
pose 7"... = 0 et R... = 1. Sinon, on définit 7"... comme le nombre de racines 
distinctes d'ordre

impair de Pn contenues dans .] . On note {t1,. . . ,tTn} l'ensemble de ces 
racines. On pose
alors RMX) = (X -- tl) . . . (X -- tr"), '

4. a. Montrer qu'il existe un polynôme Qn de signe constant sur ] tel que P" = 
Qan.
4. b. Montrer que si 7"... < n, alors (Pn | RTL)... : 0. En conclure que P" est scindé sur R,' que toutes ses racines sont simples et qu'elles appartiennent toutes à J. 5. a. Montrer qu'il existe une suite w-orthogonale échelonnëe dont tous les termes sont de norme 1 dans (R[X],H - |...). Une telle suite est--elle unique? On suppose jusqu'au 7 .a. inclus que pour tout n > 0, ||Pnllw : 1. On remarquera

qu'avec cette hypothèse supplémentaire, % : ozn_1 pour tout n > 1.
Soit T1 la matrice 1 >< 1 égale à. (,80) et, pour tout n > 2, Tn la matrice 
tri--diagonale

n >< n suivante: 50 040 0 Tn : 010 31 ° ) ° . . . . an.--2 0 an--2 "fin--1 où les suites (an)n>0 et (fin)n20 sont celles qui ont été définies à la 
question 3. On fixe un
entier n > 1.

5. b. Calculer, pour tout réel À, le vecteur

P0(À)
(Tn --- AI") ;
Pn_1(/\)

5. c. Montrer que le spectre de Tn coïncide avec l'ensemble des racines de Pn.

6. Soit n > 2 fixé. Soit A une matrice symétrique réelle de taille 77. >< n dont toutes les valeurs propres sont simples. On note Sp(A) = D.... . . ,Àn} son spectre et (ul, . . . ,un) une base de R" telle que pour tout 'à entre 1 et n, on ait Au.-- : À.-u.--. On suppose que À1 < < ).... Soit B la matrice (n ---- 1) >< (n ---- 1) dont les coefficients sont donnés, pour tout (i,j) EUR {1,. . . ,'ÏL "1}2, par Bij : A»;j. _ ---- B det(æln --- A) ° 6. a. Soit x E R\Sp(A). En calculant de deux façons différentes le coefficient (nm) de la matrice (oeIn ---- A)"1, montrer que ((ccln -- A)"le...en) = r(æ). 6. b. Montrer que pour tout :c EUR R\Sp(A), T(ÇE) : z 1 (e......) . 33 -- Ài (u.--,tu) 6. c. En déduire que la fonction 7" est continue et strictement décroissante sur chaque intervalle où elle est définie. 6. d. On suppose que pour tout z' appartenant à. {1, . . . ,n}, (e...u,) # 0. Montrer que les valeurs propres de B sont simples et que si on les note ..., . . . ,,u..._1 de telle sorte que ... < <,un_1, alors ona /\1 1, on note À(n),. . ,ÀÂ"" les racines de P,, classées dans 
l'ordre croissant.
7. a. Soit 71 > 2 fixé. Montrer que Pn_1 et P.,, n'ont pas de racine commune 
puis déduire
de ce qui précède qu'on a la suite d'inégahtés

,\gn> < A$""" < Ag") < A3"""< .< Aï,'ïä , < À("_ 1) < A5," 7. b. Montrer que le résultat reste vrai sans supposer que pour tout n > O, 
||P,,||... = 1.

TROISIEME PARTIE

8. Soit n> 1 un entier fixé. Soient oe1, . . . ,as,, des réels deux a deux 
distincts. Pour tout
z' compris entre 1 et 71, on définit la forme linéaire cp,- : Rfl_1[X] -----+ R 
en posant, pour
tOllt R EUR Rn--1[X]7 QÛ,;(R) : R(ÏEÙ.

Montrer que (gm, . . . ,gon) est une base de l'espace dual de R,n_1[X ]

Soit 10 un élément de W. On choisit une suite w--orthogonale échelonnée (Pn)n20.

9. Soit n> 1 un entier fixé. On rappelle que les racines de P,, sont toutes 
réelles et simples

et qu'elles sont notées ÀÊ"' , . . . ,ÀÂn). Soit U un élément de R2n_1[X ] Soit 
R le reste de la

division euclidienne de U par P.,.
9. a. Montrer que R est l'unique polynôme de degré inférieur ou égal à n --- 1 
qui prend

les mêmes valeurs que U aux points Àâ"', . . . ,ÀÂ"'.
9. b. Montrer qu'on a l'égalité

/--+oo U(oe)w(oe) da: : /+oo R(oe)w(oe) dcr.

00 --00

9. c. Déduire de ce qui précède qu'il existe des constantes réelles c1, . . . 
,cn telles que pour
tout polynôme U appartenant à R2n_1[X], on ait

/ 00 U(æ)w(æ) da: = ZC,U(ÀY').

--00

9. d. Montrer que les réels cl, . . . ,en sont strictement positifs.

10. Pour tout intervalle fermé .] de R, on note W ] le sous--ensemble de W 
formé des
fonctions qui prennent des valeurs strictement positives sur J et sont 
identiquement nulles

hors de J .
Soit J : [a,b], où a et b sont deux réels tels que a < b. Soit w un élément de W J. 10. a. Soient 3 et 15 deux réels appartenant à J tels que a < 3 < t < b. Montrer qu'il existe un polynôme V E R[X ] qui prend des valeurs strictement négatives sur J \]s,t[= [a,s]U[t,b] et tel que [j V(æ)w(oe) dcr: > 0.

On pourra commencer par montrer qu'il existe une fonction continue affine par 
morceaux
satisfaisant cette propriété.

10. b. Montrer que tout intervalle ouvert non vide contenu dans J a une 
intersection non
vide avec l'ensemble A - U{Àî"', . . . ,ÀS,")}.

n21
QUATR1ÈME PARTIE

Pour tout intervalle fermé J de R, on considère le sous--ensemble W] de W 
défini à. la
question 10.

Soit J un intervalle fermé de R. On dit qu'une fonction 11) E W _] a la 
propriété (D J) 81
l'assertion suivante est vraie:
(D ]) & f : J -----> H est une fonction continue telle que pour tout P 
appartenant & R[X],
on ait

(2) _ /, f(oe)P(æ)w(oe) dcr = 0,

alors f est tdenttquement nulle sur J.

11. Soit J un intervalle fermé et borné. Soit w un élément de WJ.

11. a. Soit f une fonction continue de J dans R telle que l'égalité (2) ait 
lieu pour tout
P appartenant à R{X]. Montrer que ]] f(æ)2w(oe) dcr: = O.

11. b. En déduire que 11) a la propriété (D J).

12. Soient ,a et a deux réels tels que ,a EUR]0,1[ et a E] -- %,%[. Soit n un 
entier naturel.
12. a. Montrer que l'intégrale

+oo _
I,,(a,0z) = / e_æ,.e...oen da:
0 .

est convergente.
12. b. Montrer que I ,,,(a a)=

in+la

fie K,,( ,où l'on a posé

+oo _
K,, (a,)a )=e'Ya /Oa)e_ "... "j'--" dy.

On s 'assurera en particulier que la définition de K,,( (,a, 04) a un sens.
12. c. Montrer que, n et ,a étant fixés, la fonction & 1----> K,, (a,oz) est 
continue et dérivable

sur l'intervalle ] -- 5 E[.

212
12. (1. Montrer que cette fonction est constante sur ] ---- %,%[

12. e. On suppose ,a < %. Calculer la partie imaginaire de I,,(,a,7w). 12. f. Soit J = [O, + oo[. Toutes les fonctions de WJ ont--elles la propriété (D J)?