X/ENS Maths PSI 2009

CX9611
Banque commune École Polytechnique ­ ENS de Cachan

PSI
Session 2009
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Épreuve de Mathématiques
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Durée : 4 heures
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Aucun document n'est autorisé
L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non 
imprimantes et
sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire n°99018 du 1er 
février
1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange 
n'est autorisé
entre les candidats.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il
est amené à prendre.
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Preambule
Dans tout le texte Mn,m (C) designe l'ensemble des matrices a n lignes, m 
colonnes et a coefficients complexes ; on notera In la matrice identite de Mn 
(C) =
Mn,n (C). Pour A  Mn (C), le spectre Sp(A) de A est le sous-ensemble de C
constitue des valeurs propres de A. Si A = [ai,j ] 16i6n  Mn,m (C), on notera
16j6m

A = tA = [aj,i ] 16j6m  Mm,n (C) le conjugue de la transposee de A. On iden16i6n

tifiera les vecteurs de Cn avec les elements de Mn,1 (C). On utilisera la 
notation
diag(1 , · · · , n ) pour designer la matrice diagonale de Mn (C) dont les 
coefficients
diagonaux sont les i .
L'espace vectoriel Cn est muni du produit scalaire hermitien,
(x, y)  Cn × Cn 7 hx|yi = x y  C
et pour tout sous-espace vectoriel F de Cn , on note F  l'orthogonal de F dont 
on
rappelle qu'il est de dimension
dim F  = n - dim F.
Etant donnes des vecteurs v1 , · · · , vk de Cn , le sous-espace vectoriel de 
Cn qu'ils
engendrent sera note Vect(v1 , · · · , vk ). Dans le probleme nous aurons 
besoin du vocabulaire suivant : A  Mn (C) est dite
­ hermitienne si A = A ;
­ anti-hermitienne si A = -A ;
­ unitaire si AA = In .
Aucune connaissance specifique sur ces matrices n'est requise a l'exception du
theoreme de reduction suivant que l'on admet ; quand son invocation sera 
necessaire
pour repondre a la question posee, nous le signalerons systematiquement dans le
texte.
Theoreme T.
­ Soit H  Mn (C) une matrice hermitienne. Il existe une matrice unitaire U
telle que U  HU est diagonale reelle.
­ Soit H  Mn (C) une matrice anti-hermitienne. Il existe une matrice unitaire
U telle que U  HU est diagonale imaginaire pure.
Pour X et Y des parties de C, X + Y designe la partie de C dont les elements
sont ceux qui peuvent s'ecrire sous la forme x + y avec x  X et y  Y :
X + Y = {x + y  C / x  X et y  Y }.
De meme XY = {xy  C / x  X et y  Y }. On notera enfin
P = {z  C / Re (z) > 0},
ou Re (z) (resp. Im(z)) designe la partie reelle (resp. imaginaire) du nombre 
complexe z.

Premiere partie
1) Pour tout nombre reel , on definit les matrices
µ
¶
µ
¶
1-
1
1+
1
A() =
et B() =
.
(1 - ) - 1 
-(1 + ) - 1 -
³
´
Calculez Sp(A()), Sp(B()) et Sp A() + B() .

2) En vous aidant des matrices A() et B(), justifiez le fait que l'on ne peut
pas en general, borner Sp(A + B) en fonction seulement de Sp(A) et Sp(B).
3) Soit A  Mn (C) hermitienne ; d'apres le theoreme T, A est diagonalisable
dans une base orthonormee (v1 , · · · , vn ) de vecteurs de Cn . Pour tout i 
{1, · · · , n}, on note i la valeur propre associee a vi et on suppose que 
celles-ci
sont ordonnees par ordre croissant, c'est a dire
1 6 2 6 · · · 6 n .
Pour k  {1, · · · , n}, on note Ek l'ensemble des sous-espaces vectoriels de
dimension k de Cn .
3-a) Montrez que pour tout F  Ek , la dimension de F  Vect(vk , vk+1 , · · · , 
vn )
est superieure ou egale a 1.
3-b) Pour F  Ek , montrez qu'il existe un vecteur non nul x  F tel que
x Ax
> k .
x x
x Ax
= k .
3-c) Donnez un sous-espace vectoriel F appartenant a Ek tel que max
xF \{0} x x
3-d) Deduisez de ce qui precede que pour tout 1 6 k 6 n, on a
x Ax
.
F Ek xF \{0} x x

k = min max

3-e) Soient A, B des matrices hermitiennes de valeurs propres respectives
1 (A) 6 · · · 6 n (A),

1 (B) 6 · · · 6 n (B).

On classe de meme les valeurs propres 1 (A + B) 6 · · · 6 n (A + B) de
A + B. Montrez que, pour tout k  {1, · · · , n}, on a
k (A) + 1 (B) 6 k (A + B) 6 k (A) + n (B).

Deuxieme partie
4) Pour A  Mn (C), on note V(A) le sous-ensemble de C defini par
o
n x Ax
n

C
/
x

C
\{0}
.
V(A) =
x x

4-a) Pour A = [ai,j ]16i,j6n  Mn (C), montrez que pour tout i  {1, · · · , n},
ai,i  V(A).
³
´

4-b) On note H(A) = A+A
.
Montrez
que
V(H(A))
=
Re
V(A)
.
2
4-c) Montrez que pour A, B  Mn (C), on a V(A + B)  V(A) + V(B).
4-d) Montrez que pour A  Mn (C), on a Sp(A)  V(A).
4-e) Montrez que pour A, B  Mn (C), on a Sp(A + B)  V(A) + V(B).
4-f) Montrez que pour 1 6 2 6 · · · 6 n des nombres reels,
³
´
V diag(1 , · · · , n ) = [1 , n ].
4-g) Montrez que si U est unitaire alors V(U  AU ) = V(A).
4-h) En utilisant le theoreme T, determinez V(A) dans le cas ou A est une
matrice hermitienne.
4-i) Montrez que pour A  Mn (C), V(A) est une partie compacte de C.
5) On rappelle qu'une matrice A  Mn (C) est dite nilpotente s'il existe m  N
tel que Am est la matrice nulle.
5-a) Montrez, en utilisant par exemple le theoreme de Cayley-Hamilton, que
A  Mn (C) est nilpotente si et seulement si Sp(A) = {0}.
5-b) Soit A  Mn (C) telle que V(A) = {0}.
i) Montrez que A est nilpotente.
ii) Montrez que Ker A = (Im A) .
iii) Deduisez des questions precedentes que A est la matrice nulle.

Troisieme partie
6) Soit A = [ai,j ]  Mn (C). Pour i  {1, · · · , n}, on note
Li (A) =

n
X

|ai,j |,

Ci (A) =

n
X

|aj,i |.

j=1
j6=i

j=1
j6=i

6-a) On suppose que pour tout i  {1, · · · , n}, on a |ai,i | > Li (A). Montrez
que A est inversible.
6-b) Deduisez de la question precedente que Sp(A)  G(A)  G( tA) ou
G(A) =

n
[

{z  C / |z - ai,i | 6 Li (A)}.

i=1

7) Un sous-ensemble X de C est dit convexe s'il verifie la propriete suivante :
(x1 , x2 )  X × X,

t  [0, 1],

tx1 + (1 - t)x2  X.

7-a) Montrez que l'intersection d'une famille quelconque de sous-ensembles
convexes de C est un sous-ensemble convexe de C.
7-b) Montrez que pour toute partie X de C, il existe un plus petit ensemble
convexe contenant X : on le note Conv(X) et on l'appelle l'enveloppe
convexe de X.
7-c) Montrez que Conv(X) est egal a l'ensemble :
n
nX

ti xi / n > 1, {x1 , · · · , xn }  X, i  {1, · · · , n}, ti > 0 et

i=1

n
X

o
ti = 1 .

i=1

7-d) Soit K un convexe ferme de C qui ne contient pas 0. Montrez qu'il existe
un unique z0  K tel que |z0 | = minzK |z|.
7-e) Construisez une droite du plan complexe d'equation f (z) = 0 de la forme
f (z) = aRe (z)+b Im(z)+c ou (a, b, c)  R3 et telle que c < 0 et f (z) > 0
pour tout z  K.
7-f) Montrez qu'un convexe ferme K de C ne contient pas 0 si et seulement
s'il existe un reel  tel que ei K soit contenu dans P.
8) Pour tout i  {1, · · · , n}, on pose Ei (A) =
GV (A) = Conv

n
³[

Li (A)+Ci (A)
2

ainsi que

´
{z  C tel que |z - ai,i | 6 Ei (A)} ;

i=1

dont on admet qu'il est ferme.
8-a) Montrez que 0 
6 GV (A), si et seulement s'il existe un reel  tel que
i
GV (e A)  P.
8-b) Montrez que GV (A)  P si et seulement si pour tout i  {1, · · · , n}, on
a Re (ai,i ) > Ei (A).
8-c) On suppose que GV (A)  P et on rappelle que H(A) designe la matrice

hermitienne A+A
. En remarquant que Li (H(A)) 6 Ei (A), montrez que
2
Sp(H(A))  P et deduisez-en que V(A)  P.
8-d) Montrez que 0 
6 GV (A) implique 0 
6 V(A).
8-e) Deduisez de ce qui precede que V(A)  GV (A).

Quatrieme partie
Le rayon spectral d'une matrice A  Mn (C) est defini par
(A) = max{|z| tel que z  Sp(A)}.
D'apres la compacite de V(A) prouvee a la question 4-i), on definit le rayon 
numerique
de A par
r(A) = max{|z| tel que z  V(A)}.

Etant donnee une norme || ¦ || sur Cn , la norme ||| ¦ ||| sur Mn (C) 
subordonnee a
|| ¦ || sur Cn est definie par la formule suivante :
|||A||| =

sup

||Ax||.

xCn , ||x||=1

Pour x  Cn et i  {1, · · · , n}, on notera xi sa i-eme coordonnee.
9) Une norme matricielle ||| ¦ ||| sur Mn (C) est par definition une norme 
telle que
pour tous A, B  Mn (C), on a |||AB||| 6 |||A|||.|||B|||.
9-a) Montrez qu'une norme subordonnee est une norme matricielle.
9-b) On note ||| ¦ |||2 la norme subordonnee a la norme || ¦ ||2 definie par 
||x||2 =
³P
´1/2
n
2
. En utilisant le theoreme T, montrez que pour tout A 
i=1 |xi |
Mn (C), |||A|||2 est egale a la racine carree positive de la plus grande des
valeurs propres de A A.
9-c) On admet que les normes
Pn ||| ¦ |||1 et ||| ¦ ||| subordonnees respectivement
aux normes ||x||1 = i=1 |xi | et ||x|| = maxi=1,··· ,n |xi | sont donnees par
les formules
|||A|||1 = max

16j6n

n
X

|ai,j |,

|||A||| = max

i=1

16i6n

n
X

|ai,j |.

j=1

i) Montrez que pour tout A  Mn (C), (A) 6 r(A).
ii) Montrez, en utilisant 8-e), que pour tout A  Mn (C),
n
´
1 X³
|ai,j | + |aj,i | .
r(A) 6 max
16i6n 2
j=1

iii) Deduisez des questions precedentes que (A) 6 r(A) 6 |||A|||1 +|||A|||
.
2
10) On note desormais r : Mn (C)  R+ la fonction qui a A associe r(A).
10-a) Montrez que r est une norme sur l'espace vectoriel Mn (C).
µ
¶
µ
¶
0 2
0 0
10-b) Soient A =
et B =
. Calculez V(A), V(B), V(A)V(B)
0 0
2 0
et V(AB). La norme definie par r est-elle matricielle ?

10-c) Montrez que pour tout A  Mn (C), on a r(A) 6 |||A|||2 ; en utilisant
le theoreme T montrez que l'on a egalite si A est hermitienne ou 
antihermitienne.
10-d) En ecrivant A =

A+A
2

+

A-A
2

montrez que |||A|||2 6 2r(A).

10-e) Deduisez de ce qui precede que 4r est une norme matricielle sur Mn (C).
10-f) Montrez que pour c reel strictement positif, cr est une norme matricielle
sur Mn (C) si et seulement si c > 4.

FIN DE L'EPREUVE