X/ENS Maths PSI 2010

Banque commune École Polytechnique -- ENS de Cachan

PSI
Session 2010

Épreuve de Mathématiques

Durée : 4 heures

Aucun document n 'est autorisé

L 'usage de la calculatrice est interdit

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d 'e'nonce', il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu 'il
est amené à prendre.

PRÉAMBULE

Dans ce problème, on désigne par R l'ensemble des nombres réels. On note R" = 
R\ {O},
R+ = [O, +oo[, R_ =] -- oo, O] et Ri =]O, +oo[. On note Z l'ensemble des 
entiers relatifs.
Si ac est un réel, on note Lac} le plus grand entier relatif inférieur ou égal 
a ce.

Pour tout couple (le, n) d'entiers supérieurs à 1, on notera C'"(R") l'espace 
vectoriel des
fonctions à. valeurs réelles sur R" qui sont de classe C".

Si f est une fonction de classe C'1 sur un ouvert de R2, on notera 
respectivement DJ
et D2 f les dérivées partielles de f par rapport a la première et la deuxième 
coordonnée.
Si f est de classe C2, on utilisera, pour tout (72, j) EUR {1,2}2, la notation 
Dâ f = Di(Dj f )
On a alors pour tout (i, j) EUR {1,2}2 l'égalité Dâf = DÈf sur l'ouvert où f 
est définie.

Pour la résolution du problème, on pourra utiliser sans démonstration tout 
théorème du

programme qui semblera utile après s'être assuré explicitement que ses 
hypothèses sont
vérifiées.

PREMIÈRE PARTIE

Soit G un nombre réel. On considère l'équation suivante :
fecl(R2), D1f+cD2f=0. (A)

La. Soit f une solution de l'équation (A). Montrer que pour tout (to,.r0) EUR 
R2, la
fonction 
 R définie par ga(t) = f (to + t,oeo + ct) est constante. 
En déduire une
expression de f en fonction de u : R ---> R définie par u(æ) = f(O, ac).

1. b. À tout U E C1(R) on associe la fonction E(n) : R2 --> R définie par
V(t,oe) E R2 , E(u)(t,æ) = u(æ -- et).

Montrer que l'application linéaire E qui a u associe E (n) envoie C1(R) dans C 
1(R2). Mon--
trer que E est injective et que son image est l'ensemble des solutions de (A).

On note q : R2 ----> R la fonction définie par q(t, x) = a: ---- et. Soit (2 
une partie de R2.

2. a. On suppose que R \ q(Q) ne contient aucun intervalle ouvert non vide. 
Montrer
que tout élément de R est limite d'une suite d'éléments de q(Q). En déduire que 
deux
solutions de (A) qui coïncident en tout point de @ sont égales.

2. b. Soient & et 17 deux réels tels que a < 1). Montrer qu'il existe une fonction de classe C1 sur R qui est nulle hors de ]a, b[ mais qui n'est pas identiquement nulle. Indication : on pourra chercher une fonction dont la restriction à [a, b] soit polynomiale. 2. c. Montrer que si R \ q(Q) contient un intervalle ouvert non vide, alors il existe deux solutions distinctes de (A) qui coïncident sur Q. 3. a. Soit le un entier supérieur ou égal à 2. Soient 31, . . . , $;, des éléments deux a deux distincts de l'intervalle [O, 1[. Montrer qu'il existe i et j appartenant à {l, . . . ,le} tels que O< |5i--Sjl < k--Ë--1'. 3. b. Soit oz un nombre irrationne1. Montrer que si m et n sont deux entiers relatifs distincts, alors ma -- Lma) # na -- LnaJ. En déduire que pour tout r > O, 
l'ensemble
T = {nloz + n2 : (n1,n2) EUR 22} contient deux éléments t1 et t2 tels que 0 < |t1 -- t2| < r, puis que R \ T ne contient aucun intervalle ouvert non vide. 3. c. Discuter, en fonction de la valeur de la constante c, l'existence de deux solutions distinctes de (A) qui coïncident sur Z2. On suppose désormais c # 0. On considère l'équation suivante : f E CZ(R2) 7 Dî1f _ C21)ä2f : 0 (B) - Soit f une solution de (B). 4. a. On pose g = D1f -- cD2 f . Montrer qu'il existe une fonction U. E C'(R) telle que g(t, (I:) = u(oe -- et). 4. b. Montrer qu'il existe une fonction @ EUR C2(R) telle que la fonction h = E (U) satisfasse l'équation D1h -- cD2h = g. 4.c. Montrer qu'il existe des fonctions @+ EUR C'(R) et v... EUR C2(R) telles que f(t.æ) = v+(æ + et) + v-(æ -- et), puis montrer que @+ EUR C2(R). 4. d. Enoncer un résultat analogue à celui établi à la question 1. b. et le démontrer. 5. a. Montrer que si f1 et f2 sont deux solutions de (B) qui coïncident sur {0} >< R et qui sont telles que D1f1 et D1f2 coïncident sur {D} >< R, alors A = f2. Montrer que cette conclusion n'est pas toujours vraie si l'on suppose seulement que f1 et f2 coïncident sur {0} >< R. 5. b. Déterminer toutes les fonctions f EUR C2(R2) qui sont solution de (B) et qui satisfont f(O, O) = 1 et les conditions suivantes : VOE EUR R7 f(O,OE) : D2f(0,£) et f(O,OE)D1f(O,OE) : C° DEUXIÈME PARTIE On considère l'équation suivante : Q ouvert de R2, f EUR C'(Q), Du" + fD2f = O. (O) 6. a. Soit Q un ouvert de R2 et f une solution de (C) sur Q. Soit (to,:r0) un point de Q. Montrer qu'il existe un intervalle ouvert ] contenant 150 et une fonctionX de classe C'1 sur ] telle que X(t0) = 320 et telle que pour tout t EUR 1, on ait (t,X(t)) EUR Q et X'OE) = M» M...- 6.b. Montrer que la fonction @ : I ---> R définie par  to, puis que T n'appartient pas à J. Indication : on pourra 
supposer le
contraire et calculer f (T , Z (T )) En déduire que T est la borne supérieure 
de J , puis que
f(t, Z(t)) = f(t0,æ0) pour tout t dans J.

7. a. On suppose que Q = R2. Montrer que les seules solutions de (C) sont les 
fonctions
constantes.
7 . b. Déterminer toutes les fonctions de la forme (t,:c) |----> l'é--((%, où P 
et Q sont des

polynômes, qui sont solution de (C) sur leur ensemble de définition. Déterminer 
une so--
lution non constante de (O) lorsque Q = R* >< R. 8. a. On se donne une fonction a EUR C'(R) croissante. Montrer que pour tout t EUR R+ et tout 3: EUR R, il existe un unique réel a(t, oe) tel que a: = a(t, ac) + tu(a(t, r)). On admettra pour tout le reste du problème que la fonction a : R+ >< R ----> R 
ainsi
définie est continue, qu'elle est de classe C1 sur R"; >< R et que ses dérivées partielles sont données sur cet ouvert par les formules ,, u(o(t, cc)) 1 V(t,æ) EUR R+ >< R, D1a(t,æ) -- --m , D2a(t,fc) -- m. 8. b. Montrer que la fonction f : R+ >< R ----> R définie par f (16, a:) : 
n(o(t, (E)) est continue
sur R.,. >< R, de classe C1 sur R1 >< R, qu'elle est solution de (C) sur R*+ >< R et vérifie, pour tout a: E R, l'égalité f (0, :::) = u(:r). On notera F (u) la fonction f ainsi construite à partir de u. 8. c. Montrer que si une fonction g : R+ >< R ---> R est continue sur R+ >< R, de classe C1 sur R1 >< R et de plus est une solution de (C) sur RÎ'F >< R, alors la fonction 11 EUR C'(R) définie par o(:c) = g(O, 55) est croissante, et vérifie g = F (o) 9. a. Soit n la fonction définie par u(a:) : :::. Déterminer F (u) et comparer le résultat obtenu avec celui de la deuxième partie de la question 7. b. 9. b. En considérant la fonction n définie par __ 0 sioe0 '

déterminer une solution non constante de (C) sur l'ouvert Q = R2 \ ({O} >< R+). TROISIÈME PARTIE Soit (cn)n>1 une suite de réels telle que pour tout n> 1 on ait |cn|< \ 2---ä O.n définit par récurrence une suite (P,, )n>1 de polynômes en posant P1-- --- c1 puis, 
pour tout n > 2,

n--1
P,',(t) = --% 2 Pk(t)Pn_k(t) , P,,(O) = c,,.
k=1
Dans ce qui suit, on pourra utiliser, sans les démontrer, les inégalités e> 2et 
e\/e>

10. a. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer qu'on a l'égalité

1
oe(n--æ) '

Indication : on pourra chercher une écriture plus simple de la fonction a: 1-->
10. b. Montrer que 21nn { n, puis qu'on a l'inégalité

k=1 k2(n -- lc)2 \ n2°
10. c. Montrer que pour tout n> 1 et tout t E R, on a l'inégalité

1
'Pn(t)l< \ _88nltl° 'ÏL2 10. d. En déduire que la série Zn>1 P,,(t)æ" converge, pour (t, :L') 
appartenant a un ouvert
(2 contenant (0,0) qu'on précisera, vers une fonction f de classe C1 qui 
satisfait l'équation

V(t,æ) E O , D1f(t,a:) + azf(t,oe)D2f(t,æ) : O. (D)

11. a. On suppose c1 # 0. Déterminer le degré de P,, pour tout n> 1. On pourra 
discuter

selon le signe de cl.
11. b. Pour tout n> 1, on note d,, le coefficient dominant de B,. Établir une 
relation de

récurrence satisfaite par la suite (dn)n>1. Soit (en)n>1 la suite définie par 
récurrence par

61 = 1 et
n--1
Vn > 2, en = Zeken_k.
k=1

Montrer que pour tout n> 1, on a |dnl< 11. c. On considère la série entière H ( )= 627,21 ens" et on note R son rayon de conver-- gence. Montrer que R : â--. Indication : on pourra commencer par supposer R > 0 
et
calculer, sous cette hypothèse, la valeur de H sur] -- R, R[.
11. (1. Montrer que sur l'intervalle ] --- à, à--[, la fonction G(s) = 27,21 
dns" est solution de

l'équation différentielle

8y'(8)(1+ y(8)l -- y(8) = 0- (E)
11. e. Montrer que pour tout 5 EUR [--e_1,+oo[, il existe un unique w(s) EUR 
[--1,+oo[ tel que
w(s)ew