X Maths 1 PSI 2018

CX8611

Banque commune École Polytechnique - InterENS
PSI
Session 2018

Épreuve de Mathématiques
Durée : 4 heures

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Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

1

On note C([0, 1], R) l'ensemble des fonctions continues de [0, 1] dans R et
pour tout k  N , on note C k ([0, 1], R) l'ensemble des fonctions de classe C k
de [0, 1] dans R. On dit qu'une fonction f  C([0, 1], R) est positive si :
x  [0, 1],

f (x)  0.

Pour toute fonction f  C([0, 1], R), on définit sa norme infinie par :
kf k = sup |f (x)|.
x[0,1]

Etant donné un entier n  N , on note Mn (R) l'ensemble des matrices
carrées de taille n. On définit également In la matrice identité de taille n. Si
x = (x1 , ..., xn )  Rn , on note :
||x|| = max |xi |
1in

.
Si X est une variable aléatoire réelle, on note, sous réserve d'existence,
E(X) et Var(X) son espérance, respectivement
sa variance.
 
n
Enfin, si n  N et k  N, alors
désigne le nombre de parties à k
k
éléments d'un ensemble de cardinal n.
On étudie ici l'équation différentielle avec conditions aux limites suivante :
(
- u (x) + c(x)u(x) = f (x), x  [0, 1],
(1)
u(0) = u(1) = 0,
où c  C([0, 1], R), f  C([0, 1], R) et c positive.
Après avoir montré l'existence et l'unicité d'une solution u  C 2 ([0, 1], R)
au problème (1), on s'intéressera à la construction d'une suite 
d'approximations de u.
Les parties 1, 2 et 5 sont indépendantes. Les parties 3 et 4 nécessitent
d'utiliser certains résultats établis dans les parties 1 et 2.

2

PARTIE 1 : existence et unicité des solutions de (1)
1. Soit   R. Montrer que le problème :

 - v (x) + c(x)v (x) = f (x),
v (0) = 0,

v (0) = ,

x  [0, 1],
(1bis)

admet une unique solution v  C 2 ([0, 1], R).

2. Montrer que pour tout   R, v peut s'exprimer sous la forme :
v = w1 + w2
avec w1  C 2 ([0, 1], R) l'unique solution du système :

 - w1 (x) + c(x)w1 (x) = 0, x  [0, 1],
w1 (0) = 0,

w1 (0) = 1,

et w2 une fonction indépendante de  à caractériser.
3. Montrer que w1 (1) 6= 0.

4. En déduire qu'il existe au moins une solution u  C 2 ([0, 1], R) du problème
(1). Montrer que cette solution est unique.
5. Montrer que si f est positive, alors u est également positive.
PARTIE 2 : une matrice de discrétisation
Soit n  N . On considère An la
diagonale :

2 -1

 -1 2

 0 -1
An =  . .
 ..
..

 ..
 .
0 ···

matrice carrée de taille n, constante par
0

··· ··· 0
..
.
-1 . .
.
. . . . . . ..
2
.
..
..
..
.
.
. 0
... ...
2 -1
· · · 0 -1 2
3

6. Soit V = t (v1 , ..., vn ) un vecteur propre de An associé à une valeur 
propre
complexe . Montrer que  est nécessairement réelle et que les composantes
vi de V vérifient la relation :
vi+1 - (2 - )vi + vi-1 = 0,

1  i  n,

où on pose v0 = vn+1 = 0.
7. Montrer que toute valeur propre de An est dans l'intervalle ]0, 4[.
8. Soit  une valeur propre de An .
a) Montrer que les racines complexes r1 et r2 du polynôme
P (r) = r2 - (2 - )r + 1
sont distinctes et conjuguées.
b) On pose r1 = r2 = ei avec  > 0 et   R. Montrer qu'on a
nécessairement sin((n + 1)) = 0 et  = 1.
9. Déterminer l'ensemble des valeurs propres de An ainsi qu'une base de
vecteurs propres.
10. On considère la famille des matrices B = [bi,j ]1i,jn  Mn (R) vérifiant
les trois propriétés suivantes (appelées M -matrices) :

bi,i > 0

 bi,j  0 pour tout j 6= i
i  {1, ..., n},
n
X

bi,j > 0

j=1

Montrer que si B est une M -matrice, alors on a :
a) B est inversible,
b) si F = t (f1 , ..., fn ) a des coordonnées toutes positives, alors B -1 F
aussi,
c) tous les coefficients de B -1 sont positifs.
11. En appliquant les résultats précédents à An + In avec  > 0, montrer que
tous les coefficients de A-1
n sont positifs.

4

PARTIE 3 : une suite d"approximations de la solution de (1)
1
et on considère les réels (xi )0in+1
Soit n  N fixé. On note h =
n+1
définis par xi = ih pour tout i  {0, ..., n + 1}.
12. Montrer que pour toute fonction v  C 4 ([0, 1], R), il existe une constante
C  0, indépendante de n, telle que
i  {1, ..., n}, |v  (xi ) -

1
(v(xi+1 ) + v(xi-1 ) - 2v(xi ))|  Ch2
h2

13. Montrer qu'il existe une unique famille de réels (ui )0in+1 vérifiant

 - 1 (u + u - 2u ) + c(x )u = f (x ), pour 1  i  n,
i+1
i-1
i
i i
i
h2
(2)

u0 = un+1 = 0.
14. On suppose (dans cette question seulement) que c(x) = 0 et f (x) = 1
pour tout x  [0, 1]. On note u la solution exacte du problème (1). Montrer
que pour tout i  {0, ..., n + 1}, on a
1
ui = u(xi ) = xi (1 - xi )
2
15. Montrer que si f est positive, alors ui  0 pour tout i  {0, ..., n + 1}.
PARTIE 4 : un premier résultat de convergence
Dans toute cette partie, on supposera de plus que c  C 2 ([0, 1], R) et que
f  C 2 ([0, 1], R) (c est toujours positive également).
16. Soit n  N . On définit l'application N de Mn (R) dans R par la relation :
N (A) = sup{||Ax|| ,

||x||  1}

Montrer que N est une norme sur Mn (R) et que si A = [ai,j ]1i,jn , alors
N (A) = max (
i{1,...,n}

5

n
X
j=1

|ai,j |)

17. Soit n  N .
a) En utilisant les résultats des questions 14 et 15, montrer que pour la
matrice An définie au début de la partie 2, on a :
!
 1
N ((n + 1)2 An )-1 
8
b) En déduire que pour toute matrice diagonale Dn = [di,j ]1i,jn telle
que di,i  0 pour tout i  {1, ..., n}, on a également
!
 1
N ((n + 1)2 An + Dn )-1 
8
18. Soit u l'unique solution du problème (1) et (ui )0in+1 la famille définie
par la relation (2) pour n  N . Montrer qu"il existe une constante C > 0,
indépendante de n, telle que
max |u(xi ) - ui | 

0in+1

C
n2

Indication : on pourra introduire le vecteur X = t (1 , ..., n ) où on a posé
i = u(xi ) - ui et calculer An X.
PARTIE 5 : un second résultat de convergence
On suppose dans cette partie que f  C([0, 1], R) est telle que :
 ]0, 1], K  0, (y, z)  [0, 1]2 , |f (y) - f (z)|  K|y - z| .
On suppose également que :
x  [0, 1],

c(x) = 0

On note u est la solution associée du système (1).
Pour tout n  N , on définit les deux polynômes :
 
n
X
k
n
X k (1 - X)n-k ,
Bn f (X) =
f( )
k
n
k=0

n+1
X
n+1
b
uk
X k (1 - X)n+1-k ,
Bn+1 u(X) =
k
k=0

6

où u0 , · · · , un+1 sont solutions du système (2), avec c = 0.
19. Soit x ]0, 1[ et n  N . On considère X1 , · · · , Xn des variables 
aléatoires
mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi de Bernoulli de
paramètre x. On pose
X1 + · · · + Xn
Sn =
.
n
a) Exprimer E(Sn ), Var(Sn ) et E(f (Sn )) en fonction de x, n et du polynôme 
Bn f .
b) En déduire les inégalités :
 
n
X
1
1
k
n
xk (1 - x)n-k  Var(Sn ) 2   .
|x - |
k
n
2 n
k=0
20. Montrer que   1 +  pour tout réel  > 0 et en déduire l'inégalité :

k
k
-/2
x-
1+ n x-
n
n
n
pour tous x ]0, 1[, n  N et k  {0, ..., n}.
21. Soit n  N . Montrer que
kf - Bn f k 

3K 1
.
2 n/2

Indication : On pourra dans un premier temps exprimer f (x) - Bn f (x) en
fonction de E(f (x) - f (Sn )).
22. Montrer que pour tout n  N et tout x ]0, 1[ on a :
n-1

X +1
bn+1 u) (x) = - n
)
(B
f(
n + 1 =0 n + 1

n-1

x (1 - x)n-1- ,

bn+1 u - u.
23. Soit n  N tel que n  2. On pose n+1 = B
a) Montrer que :
kn+1 k  kf - Bn-1 f k +
7

1
1
kf k + K
.
n+1
(n + 1)

b) Montrer que pour tout x  [0, 1] il existe   [0, 1] tel que
1
n+1 (x) = - x(1 - x)n+1 ().
2
Indication : on pourra pour x ]0, 1[ considérer la fonction
h(t) = (t) -

(x)
t(1 - t), t  [0, 1].
x(1 - x)

24. En déduire qu'il existe une constante M  0 telle que pour tout n  N ,
on a :
bn+1 uk  M .
ku - B
n/2

8