X Maths 1 PSI 2019

ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES - ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2019

JEUDI 18 AVRIL 2019 - 8h00 -- 12h00
FILIERE PSI
ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES
(XUCR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Notations

Soit N > 2 un entier. On munit l'espace R° du produit scalaire canonique

N
i=1

et de la norme associée ||x|| = (x, xl?

On note M(R) l'espace vectoriel réel des matrices carrées d'ordre N à 
coefficients réels,
Sn(R) EUR M(R) le sous-espace vectoriel des matrices symétriques et SY(R) 
l'ensemble
(des matrices dites symétriques définies positives) défini de la façon suivante 
:

SY(R) = {A E Sn(R) | (Ar, x) > 0 pour tout x ER", x # 0}.
Pour tout polynôme P(X) = ce XF +cy_1XF +... 40 EUR R[X] et toute matrice M dans
MN(R), on note P(M) la matrice
PM) = M + cg MN TT +... + coln EUR MR).

où In EUR MN(R) est la matrice identité.
Pour toute matrice M EUR MN(R), on note M sa transposée.

On rappelle le théorème spectral : toute matrice À EUR Sn(R) admet une base 
orthonormale
de vecteurs propres. En particulier, si l'on note À < --: < À, les d valeurs propres de À (distinctes deux à deux), et F1,..., F4 les sous-espaces propres associés, RY est somme directe orthogonale des F;, c'est à dire que tout x EUR R° s'écrit de facon unique d r= > Ti
i=1

où pr, est la projection orthogonale de R° sur F, .

Ce problème porte sur la résolution effective du problème Ax = b, où A EUR 
SY(R), plus
précisément sur la construction et l'étude, à partir d'un vecteur initial xo 
arbitraire, d'une
suite To, T1,....2k,... de R\, qui s'identifie à la solution x du système 
précédent au delà
d'un certain rang, et telle que xx se rapproche dans un certain sens de x en 
deça de ce
rang.
Partie I

1. Soit À EUR Snw(R). Montrer que À EUR SY(R) si et seulement si les valeurs 
propres de À
sont toutes réelles strictement positives.

2. Pour toute matrice B EUR MN(R), on pose

IBN= sup 1Bx||.
ele

Après avoir justifié l'existence de |[B]||, montrer que B + ||B|| est une norme 
sur MN (R)

vérifiant
VxeR"  |Bx| <||Blx|. 3. Soit À EUR Sn(R) une matrice de valeurs propres (non nécessairement distinctes) À1,...,ÀN. Montrer que IAÏ = max JA: i X pr (x),
i=1l

où pr, est la projection orthogonale (pour le produit scalaire canonique) sur 
F;. On note
A172 Ja matrice associée à cette application linéaire dans la base canonique.

a) On écrit A = UDUT, où D EUR MN(R) est la matrice diagonale qui contient les 
valeurs
propres de À dans l'ordre croissant, avec leurs ordres de multiplicité, et U 
une matrice
orthogonale. On note D!{/? la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux 
sont les
racines carrées de ceux de D. Montrer que 41/2 = UD/2UT.

b) Montrer que A!/2 EUR SY(R), que A/?2A1/? = 4, et que A!/? commute avec A.
c) Montrer que, pour tout x EUR R",
lælla = |A x,

où |x|| 4 est la norme définie à la question 4.
Partie II

Soit À EUR SY (R). On supposera dans toute la suite du problème que la matrice 
À n'est pas
proportionnelle à l'identité.

On se donne b EUR R\Y et l'on note x EUR R\ l'unique vecteur qui vérifie
AZ = b.

On se donne un vecteur æ0 EUR R", différent de %, et l'on note ro = b -- Axo. 
On pose
Ho = {0} et, pour k > 1,

Hz = {P(A)ro | PE RIX|, deg(P)  m, et que dim(H}) = k pour k < m. 8. On note d le nombre de valeurs propres distinctes de À. a) Dans le cas particulier où ro est un vecteur propre de À, montrer que l'entier m de la question précédente est égal à 1. b) Dans le cas général, montrer que m est inférieur ou égal à d. c) Pour tout entier n entre 1 et d, construire un x, tel que l'entier m de la question 7 soit égal à n. d) Montrer que l'ensemble des x9 pour lesquels la dimension m est exactement égale à d est le complémentaire d'une union finie d'ensembles de la forme x + F, où E est un espace vectoriel de dimension inférieure ou égale à N -- I. 9. Montrer qu'il existe un polynôme Q de degré m (entier défini dans la question 7) tel que Q(A )eo = 0, où EUR0 = Æo -- &. 10. Montrer que le polynôme Q de la question précédente vérifie Q(0) 0. 11. On définit xo + Hy comme le sous-ensemble des points de R'Y de la forme xo + , où x décrit l'espace vectoriel H%. a) Montrer que & EUR x0 + Hy. b) Montrer que, pour tout k& EUR {0,...,m--1},on axé xo + Hy. Partie III On garde dans cette partie les notations de la partie IT. On introduit l'application JR" -- R 1 T > 5; At) -- (b,x).
12. Pour tout x EUR R", exprimer [x -- x] = (x -- x, A(x -- x)) en fonction de 
J(x) et de
J(x) et en déduire que % est l'unique minimiseur de J sur R", c'est-à-dire que 
J(x) < J(x) pour tout x EUR R, et que & est le seul point qui vérifie cette propriété. 13. Montrer que J admet un minimiseur unique sur le sous-ensemble 70 + H% (défini à la question 11), quel que soit k EUR N. 14. On note x4 le minimiseur de la question précédente. Montrer que x4 s'identifie à la projection sur æ0 + Hyx de x pour la norme || :||4 associée à la matrice À (définie à la question 4), c'est-à-dire que Ie --ælaz min, le -- 74. On notera rx = b -- Axrz et ex = xx -- x. On remarquera que rx = --Aex. 15. Montrer que ex # 0 pour k = 0,...,m -- 1, et que ex = 0 pour k > m.

16. On rappelle que 7x est la matrice identité d'ordre N. Montrer que

leklla = min {](n + AQ(A))eoll4 | Q EUR RIXT, deg(Q)  0

et a = e Y. Montrer que a est une racine du polynôme

ÀN + A
X2-9-- --X +]
ÀN--À Y

et en déduire l'expression de & en fonction de la quantité

FX

23. On note & = Ànw/A1. Montrer que le réel & de la question précédente vaut

et en déduire que

VE-1\"
VR+1)

leklla = Îlte -- 74 < 2]leollA | 1. On n'utilisera de cette notion, hors programme, que le fait que arcosh(1) -- 0, et cosh (arcosh(--x)) = --x) pour x EUR] -- æ,---1|. Partie IV On garde les notations précédentes. En particulier, on note toujours x le minimiseur de J sur to + Hy4 (voir question 13). 24. Montrer qu'il existe une famille (po, ...,Pm_1) de vecteurs de R° tels que (i) Pour tout k EUR {1,...,m}, la famille (po,...,px_1) est une base de H}. (ii) La famille est orthogonale pour le produit scalaire associé à À, c'est-à-dire que Vi, je {0,...,m--1} FE) -- (Ap;,p;) = 0. 25. On suppose connue une famille (po, ..: , Pm--1) de vecteurs vérifiant les propriétés de la question précédente. Montrer que xzx11 -- xx est alors colinéaire à p; pour tout entier kE {0,...,;m--1}. 26. On se donne x0 EUR R". On considère les suites réelles finies (az) et (8), ainsi que les suites finies (44), (fx) et (Br) d'éléments de R", construites selon les relations de récurrence suivantes, pour k EUR {0,...,m--1}, = A (ADr , Dr) Thyi = Tk + OkDk; Perl = TR -- OxADr, F1 | Br = ------- Fr] Dreii = Tri + DrDk: avec To -- LXO, To -- db -- ATo et Po --= To: Montrer que les propriétés suivantes sont vérifiées : (i) Pour tout k EUR {0,...,m--1}, pour tout à EUR {0,...,k---1},ona (ii) Pour tout k EUR {0,...,m}, % s'identifie à 4, le minimiseur de J sur H, défini dans la question 13. (ii) Pour tout k EUR {0,...,m}, fx s'identifie à rx = b -- Axy. (iv) La famille (ÿo,..., x) est une base de H4:1, pour tout k EUR {0,...,m--1}.