X Maths 1 PSI 2021

Écoles Normales Supérieures - École Polytechnique
Concours d'admission 2021

Lundi 12 avril 2021 - 8h00 - 12h00

Filière PSI
Epreuve de Mathématiques

Durée : 4 heures

Aucun document n'est autorisé

Aucune calculatrice n'est autorisée

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Préambule

On s'intéresse dans ce problème à certains sous ensembles de l'espace des
fonctions à valeurs réelles et continues sur [0, +o|. On peut classiquement
définir les opérateurs d'intégration J et de dérivation D de sorte qu'en
particulier la composition D o J est l'opérateur identité, où la notation o
désigne l'opérateur de composition usuel.

On cherche alors à définir pour tout réel & > 0 des opérateurs fraction-
naires d'intégration J° et de dérivation D° tels que D®0o JT est l'identité et
tels que pour tout &, 5 > 0 on aurait

J'oJ = JÉ et Do D? = pt

En particulier pour à = 1/2, on cherche à définir une racine carrée de D,
i.e. un opérateur D? tel que D/?20 D!/? = D.

Parmi les nombreuses approches possibles, nous allons suivre celles de
Riemann-Liouville et Caputo.

e On commence par des préliminaires sur la fonction Gamma.

e On démontre ensuite une version simple du théorème de Fubini pour
des fonctions continues sur un carré et qu'on s'autorisera à utiliser dans
la suite du problème dans un cadre plus général, cf. la question 2).

e On introduit enfin la transformation de Laplace et on prouve son ca-
ractère injectif sur les fonctions continues.

L'intégration fractionnaire est définie dans la partie À alors que les
dérivées fractionnaires le seront dans la partie B. Dans la dernière partie on
s'intéressera enfin à deux équations différentielles fractionnaires simples.

Le candidat est libre d'admettre les résultats de la partie Préliminaires,
pour aborder les parties À, B et C. Pour simplifier les arguments dans
les préliminaires on se restreint aux fonctions continues sur |[0,+oo| alors
qu'on aura parfois besoin de considérer des fonctions continues sur |0, +
intégrables en 0. Le candidat est autorisé à utiliser les résultats des 
préliminaires
dans ce cadre plus général.
Préliminaires

1) On considère la fonction Gamma définie par l'(x) -- |

Ve ttr-ldt.

1-a) Montrer que l'est bien définie pour x réel strictement positif.

1-b) Montrer que pour tout x > 0, on a la relation l'(x +1) = xl'(x) et

en déduire que pour tout n EUR N* on a l'(n) = (n --1)!.

- On admettra pour la suite que la fonction Gamma précédente
peut être prolongée en une fonction qu'on notera encore L' définie sur
R\{-n:nEeN}et vérifiant l'équation fonctionnelle l'(x+1) = xl(x)
pour toutxæx ER\{-n:nEeN}: écriture l'(x) -- et Îdt n'est
alors valable que pour x > 0. Pour tout entier n EUR N, on pose en outre
l'(--n) := +oo.

- On utilisera aussi sans justification l'égalité suivante

1 _ _ L'(p)t
B(p,9) = LU a) ut du = Te (En

où p, q sont des réels strictement positifs.
Soit a EUR R strictement positif et soit f : [0,a] x [(0,a] -- R définie

et continue. Dans cette question on cherche à établir la version simple
suivante du théorème de Fubini

Î af fa) -- Î du( [wat (E»)

que le candidat pourra utiliser dans la suite du problème pour
a = + lorsque f'* dt(f, |f(t,u)|du) converge.

2-a) i. Pour t EUR |0, a] fixé, soit h(n = f \f(t+n,u)-- f(t,u)|du définie

pour 7 EUR [-t,a -- fl. RU que À tend vers 0 lorsque n tend
vers (0.

ii. Montrer avec soin la continuité de t + sf (t,u)du sur [0, a.
ii. Calculer la dérivée de la fonction F(x) = f, dt( ff f(t,u)du).

2-b) Pour tous 0 < à, 8 < a, on introduit (ar, ; = du( [°F ft, u)dt). i. Expliciter la dérivée partielle 2 (a, B). 3 ii. Expliciter 23 (a, B). iii. Donner alors une expression de la dérivée de G(x) = fj du(f} f(t,u)dt). 2-c) Déduire de ce qui précède une preuve de l'égalité (Æ2). 3) Pour f,g : [0,+æ[-- R des fonctions continues, on définit leur pro- duit de convolution f * g(x) = | f(x -- Og(bdt. 3-a) Montrer que f * g est continue sur [0, +. 3-b) Montrer que le produit de convolution est commutatif. 3-c) Montrer que le produit de convolution est associatif. 4) Une fonction f : [0,+ooe[-- R continue est dite d'ordre exponentiel s'il existe des réels M > 0 et r tels que pour tout t > 0,ona|f(t)| < Me'. Pour une telle fonction f, on définit alors sa transformée de Laplace "NE ] et f(bdt. 4-a) Montrer que £(f)(s) est bien définie pour tout réel s assez grand. 4-b) Montrer que si f est de classe CT avec f et f' d'ordre exponentiel. alors pour s assez grand, £(f')(s) = s£(f)(s) -- f(0). 4-c) Soient f et g des fonctions continues sur [0, +! et d'ordre expo- nentiel. Montrer que f * g est d'ordre exponentiel. 4-d) Sous les hypothèses de la question précédente, en utilisant (Æ2) pour a = +0, montrer que, pour s assez grand, L(F x g)(s) = L(F)(s)L(g)(s). 5) On cherche à présent à montrer que £(f)(s) -- £(g)(s) pour tout s assez grand si et seulement si f = gq. 5-a) Justifier qu'on peut se ramener à chercher les fonctions f telles que £(f)(s) = 0 pour tout s assez grand. -b) Soit f : [a,b] -- R une fonction continue telle que pour tout n >0,ona f° x" f(x)dx = 0. Montrer que f° f(x)dx = 0 et en
déduire que f est la fonction nulle.

Indication : on pourra utiliser, sans justification, le théorème d'ap-
proximation de Weierstrass qui établit l'existence pour tout EUR > OÙ,
d'un polynome pe EUR R|X1 tel que max,eun | f(x) -- pe(x)| < EUR: 5-c) En déduire que £ est injective. Indication : on pourra utiliser un changement de variable y = e"*. Dans la suite du problème le candidat pourra librement utiliser les résultats de ces préliminaires dans le cas où les fonctions ne sont plus nécessairement continues en 0 mais y sont seulement intégrables. A- Intégration fractionnaire 6) pr : :]0 ou R une fonction continue et intégrable en 0, on note = | f t)dt et pour tout n > 2 on définit par récurrence
LP)(oe) = 2 (AP) (x).
Montrer que 1° f 2 = [ x --t)f(t)dt puis que

ui | Ce = 4" f(bdt.

7) Pour tout réel à EUR R, on note ®, :]0, +oo]-- R définie par

P(F)(x) =

al

P,(#) -- l'(a)'

en convenant que pour & EUR Z négatif ou nul, ®, est la fonction nulle.

-a) Quelle est la dérivée m-ème de ®, ?

7-b) Montrer, en utilisant (Æ:), que pour tout à&, 5 des réels strictement
positifs, on à D, x Ps = D,,5.

7-c) Expliciter £L(®,)(s) pour a > 0.
8) Pour tout réel à > 0, on définit

PDG = Bas 0 = es Je 0 du

T(a)

et on note J° l'opérateur identité, ie. J°(f)(x) = f(x). D'après la
question 6), pour tout n EUR N, on a donc J" = F7.
8-a) Montrer que pour tous réels «, 5 positifs, on a Jo JP -- Jap.

8-b) On suppose f d'ordre exponentiel. Pour à > 0, montrer que £L(J® f)(s)
est bien défini pour s assez grand et égal alors à 5 *£(f)(s).

8-c) Pour a et 7 des réels strictement positifs, montrer que J°®, --
P
+:

8-d) Soit f d'ordre exponentiel et soit à > 0. Montrer que J*f est la
fonction nulle si et seulement si f est la fonction nulle.

B- Dérivées fractionnaires

On note D l'opération de dérivation usuel, D(f)(x) = f'(x) lorsque f
est dérivable. Par récurrence, lorsque cela est possible, on définit D"(f) --
D(D"-1f) de sorte que trivialement D" o J" est l'opérateur identité.

k

9) Pour f dérivable n fois, montrer que J'oD"(f)(x) = f(x)-S 2, (OS.

10) Etant donné un réel a > 0, on note m l'entier tel que m -- 1 < a < m, et on définit D* := Do J"T%, ï.e., sous réserve d'existence. m (1 pt Et) _ pre Pere dent) mic a cm D" $(+) à m et on note D l'opérateur identité. Remarque : on ne demande pas au candidat de donner des conditions nécessaires pour l'existence de D°'f. 10-a) Pour tout à > 0, expliciter D*o J°

10-b) Pour f = 1 expliciter D°I et préciser pour quel à, la fonction D°1
est la fonction nulle.
10-c) Pour a > 0 et y > 0, montrer que D°E, = D...

10-d) Pour f d'ordre exponentiel, montrer que D°'f est la fonction nulle
si et seulement si f s'écrit sous la forme f(x) = D; cc; J où
m--l --1 et n(t) = 5,29 an admet un rayon
de convergence À > 0. Montrer alors que pour tout 0 < EUR < 0OSB<)\+let a >0,ona (Do D°)f = DPF.

12) Soit un réel à > 0 et m--1 < a < m. On pose alors, sous réserve d'existence, D®f := JM" To D f, 1.e. T(m--a) Fer RO --1 0 on introduit la série entière

+00 pk
Ea(e) = 2_ (+ ak)

14-a) Calculer Æ5(0), E1(0) et Eo(--06*).

14-b) Montrer que le rayon de convergence de FE, (8) est strictement po-
sitif.

14-c) On pose e,(t) = E,(--(t*)) et on admet qu'il est d'ordre exponen-

sa 1

s4+1°
14-d) On pose uz(t) := J'e,(t). Montrer que L(uz)(s) = *

tiel. Montrer que pour s > 1, on a £L(e,)(s) --

a--k--1

sA+T °
15) On cherche à résoudre l'équation D£u(t) = --u(t). Montrer qu'après
application de l'opérateur J®, cette eee devient
M --
EE ru
Lo À

où on précisera les cz.

16) On suppose que u(t) est d'ordre exponentiel. Montrer que

Ltu(s) = D - L(u)(s)

FIN DE L'ÉPREUVE

Ô