X/ENS Maths PSI 2024

X/ENS Maths PSI 2023 -- Énoncé 1/5

ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2024

LUNDI 15 AVRIL 2024
08h00 - 12h00

FILIERE PSI - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES (XUSR)

Durée : 4 heures

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Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il Le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.
NOTATIONS

Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes :

-- Pour tous entiers naturels m,n, on note [m;n] l'ensemble des entiers 
naturels k
vérifiant m 1, on pose nl =1xX2X...Xx n la factorielle de n. On 
convient
que 0! = 1.

-- Soit K = R ou C. Pour tous n EUR N* et m EUR N*,.#nm(K) désigne l'ensemble 
des
matrices à coefficients dans K ayant n lignes et m colonnes. Si À EUR #nm(K) et
(i,j) EUR [1 n] x ]1; m], on note [A]; ; le coefficient de À appartenant à la 
i-ème ligne
et à la j-ème colonne. La matrice transposée de À est notée FA EUR Æmn(K) et sa
matrice conjuguée est notée À EUR #nm(K). Les coefficients de À sont donnés par

V(,j) EUR [lin] x [ml [Al = [Ali

On pose #Æ#n(K) = .-#nn(K), et on note 1, la matrice identité de .#,(K) et 0, la
matrice nulle de .#,(K). Le déterminant d'une matrice carrée À EUR .#Ah(K) sera 
noté
det(A). Pour tout 4 EUR N*, on note Af la puissance k-ème de À et on convient 
que
A0 = 7.
Quand n = 1, on identifie la matrice À EUR .#1(K) à son unique coefficient [A1 
1 EUR K.
-- Soit K = R ou C. On note K[X] le K-espace vectoriel des polynômes à 
coefficients
réels. Si P EUR K[X], on note deg(P) le degré de P. Pour tout k EUR N*, PM) 
désigne
la dérivée k-ème de P. On convient que P(0 = P. Pour tout entier n > 0, on
désigne par K,[X] le K-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K et 
de
degré inférieur ou égal à n.
-- Soit (Q0,.4,P) un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires de cet 
énoncé
sont définies sur cet espace.
Dans toute la suite de cet énoncé, n > 2 désigne un entier naturel. Pour toute
matrice À EUR .#A\(C), on note Spec(A) l'ensemble des valeurs propres complexes 
de À et on
pose

o(A) = max{}À] | À EUR Spec(A)}.
On note Y (A) l'ensemble
Y(A) = {P EC[X]| P Z Ocx et P(A) = 0}:

(c'est-à-dire l'ensemble des polynômes de C[X] non nuls et annulateurs de À ).
Pour toute suite u = (uz),-0 de nombres complexes, on adopte les notations 
suivantes

-- on note Ry EUR [0,+oo] le rayon de convergence de la série entière Suxz* et 
D, son
disque ouvert de convergence défini par

Dy = {2EUR Cilz |< Ru}. -- pour tout z EUR D,, on note U(z) (avec U lettre majuscule) la somme --_ On convient que u(®) = « et on note ul!) la suite définie par VkE N, un) = (k+1l)uxr1, Plus généralement pour tout entier naturel m > 0, on pose

er) 2 (0m);
Pour tout m 2 0 et tout z EUR D,(m) On pose
+00
U(M)(:) = Sat,
k=--0
-- Siv = (v),>0 est une autre suite de nombres complexes, on note u + v la suite

Qur + vx)z>0 et u x v la suite (wx),-0 de terme général donné par

k
Ur = d uv pour tout k > 0.
i=0

On dit qu'une matrice À EUR .#,(C) est compatible avec u si
o(A) < Ra. On note M,(u) l'ensemble de toutes les matrices de .#,(C) compatibles avec u : Mau) = {A EUR .ÆAn(C) | o(À) < Ru}. Les parties III et IV de cet énoncé sont majoritairement indépendantes. PARTIE ÎI : PRÉLIMINAIRES Soit u = (ug),-0 une suite de nombres complexes. (1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur À, pour que M,(u) = Y et donner un exemple de w pour laquelle on a cette égalité. (2) Montrer que M,(u) Æ {0}. (3) Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes (i) Ry = +0, Gi) Mau) = #n(C), (ii) Mu) £ 0 et VAE Mu), VB E Mu), À + BE M,(u), et donner un exemple de suite u vérifiant ces trois assertions et telle que ux % 0 pour tout k EUR N. (4) Soit AE .#n(C). Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes (Gi) AE Mav) pour toute suite v = (w),9 de C vérifiant R, > 0.
(ii) À est nilpotente (c'est-à-dire il existe k EUR N* tel que A -- 0,).

(5) Montrer que pour tout entier m > 0, on a
Dm = Dy.
(6) Soit v = (vk),>0 une autre suite de nombres complexes. Montrer que
Mu) NM,(v) EUR Mu + vu) NM,(u x v)

(7) On suppose dans cette question que 0 < R, < 1. Soient À EUR Mu) et B EUR M,u) deux matrices symétriques telle que AB = BA. Montrer que AB E M, (u). PARTIE II : FONCTIONS DE MATRICES Soit u = (uy),,9 une suite de C telle que M,(u) £ Y. Soit A E M, (u). (8) Montrer que Y (A) est non vide. (9) Soit m =min{k EN |2P EUR (A) avec deg(P) = kt}. Montrer qu'il existe un et un seul polynôme p EUR C[X] vérifiant les trois conditions (i) pe Y (4), (i) deg(p) = m, (ii) p unitaire. On note désormais w41 ce polynôme. 10) Soit P EUR Y (A). Montrer que 4 divise P. 11) Montrer que les racines de w1 dans C sont exactement les valeurs propres de À. 12) Montrer que si À EUR .#n(R) alors wA est à coefficients réels (c'est-à-dire w4 EUR RIX|). On note désormais A1,---,A/ les valeurs propres de À, avec À; Æ À; si i  j. On note mi > L,---,my > 1 les multiplicités de À1,---, y respectivement en tant que 
racines de

DA. Ainsi on à
pA(X) = (XX) (X -- À)"

avec

(13) Montrer que l'application

T:PECm-1lX] re (PA), PO), PU D (x), PO), Ph), , Pre D (X,)) EUR C"
est un isomorphisme et en déduire qu'il existe un et un seul polynôme Q EUR 
C;n_1[1X

tel que
vi e [1:42], vk EUR [0;m; -- 1], QP (x) = UM (x).

Dans toute la suite, on pose

(14) Soit P E C[X]. Montrer que u(A) = P(A) si et seulement si
Vi e [1:40], vk EUR [05m -- 1], PO (x) = UM (x).
(15) Soit a EUR C tel que |a| < R,. Montrer que u(alh) =U(a)l,. (16) On suppose dans cette question uniquement que n = 2. Déterminer u(A) dans le cas suivant : LL XX 7 a= (0 ;) où &, B et y sont des réels fixés avec à £ B et {a, B} EUR D,. On exprimera les coefficients de u(A) en fonction à, 8 et y,U(a) et U(B). (17) Soit BE M, (u). (a) Montrer qu'il existe un polynôme R EUR C|X\ tel que u(A) = R(A) et u(B) = R(B). (b) On suppose que AB EUR Mu) et BA EUR Mu). Montrer que Au(BA) = u(AB)A. (18) Soit v -- (v),-9 une autre suite de © telle que À EUR M,;(v). On suppose dans cette question uniquement que les valeurs À1,:-:-,A, sont réelles. Montrer que (u x v)(A) = u(A)v(A) (après avoir justifié que À EUR M, (u x v)). PARTIE III : CAS DE MATRICES DIAGONALISABLES Soit u = (u;)4,-9 une suite de C telle que M,(u) D. Soit À EUR M,(u). On suppose dans toute cette partie que À est diagonalisable dans .#,(C) et on note À,---,Ày ses valeurs propres avec À; £ À; sit J. (19) Montrer que PA(X) = (X -- A1): (X -- À). (20) Pour tout k EUR [1; £] on définit le polynôme : l X -- À; QU = [[ -- . À À; = LIFR (on notera que les polynômes Q dépendent de la matrice À). (a) Montrer que , u(A) = DU (x) Qf (A). k=1 (b) Montrer que pour tout 4 EUR [1;{],Q;(A) est une projection dont on précisera l'image et le noyau. (c) En déduire que l k=1 (21) Soit BE .#A(C) une matrice inversible. Montrer que u(BAB7") = Bu(A)BT. (22) Soit D E .#,(C) une matrice diagonale et S EUR .#,(C) une matrice inversible telles que A = SDS". (a) Montrer que u(D) est diagonale et que Vie [lin], [u(D)h: = U ([Dj:). (b) En déduire une expression de u(A). PARTIE IV : APPLICATION À DES CAS PARTICULIERS Dans cette partie, on suppose que n > 4. Soit u = (ux),-0 une suite de C 
vérifiant la
condition (C*) suivante :

Ru > 1 (C*)
(23) Soit H E .HA(C) la matrice donnée par
[O0 1 0 0 \
0 O0 1 ... :
H -- 0

eo,

(a) Déterminer le polynôme y dans ce cas.
(b) Soit À = H + al, où a EUR C est tel que [a] < R4. Montrer que tu) Kk! k=0 et en déduire que OP (2) {a (n--1) {à / U(a) -- s 2 ) Te (D (a 0 Ua) 0 u(A) = : U(2)(@) 21 UN) (@) (24) Soit G EUR .#n(C) la matrice définie par G=Y"Z où Y,Z EUR Mn1(R) sont deux vecteurs colonnes tels que °YY = 77 = 1. (a) Montrer que G est de rang 1 et donner son image. (b) Montrer que 0 et 'ZY sont les seules valeurs propres de G!. (c) En déduire que G E M, (u). (d) Déterminer wc quand {ZY 4 0. (e) En déduire que si {ZY £ 0 alors U(ZY) --- U(0) tZY (f) Déterminer une expression simple de u(G) quand °ZY = 0. (25) Soit FE .#h(C) la matrice définie par u(G) = U(0)Z4 + G 1 | Ek,5 = VE pour tout (k,j) EUR [1;n]", où Ww -- e--2ri/n ici à désigne le nombre complexe usuel vérifiant 5? = --1). ( (a) Montrer que F est inversible et que F1 = Fr. (b) Montrer que F? EUR #(R). (c) En déduire que F4 = I, et que F EUR M, (u). (d) En déduire que u(F) = =(U()(F +1) -U(-1)(F --13)) (F° +1;) + a (U(i) (EF + in) -- U(-ÿ) (FE -- iln)) (F7 -- La). NES (26) On suppose que pour tout k E N,ux = P(X = k) où X est une variable aléatoire à valeurs dans N. (a) On suppose que X suit une loi binomiale de paramètres (N,p). Vérifier que u satisfait la condition (C*) et trouver une expression simple de u(A) pour tout AE M,(u). (b) On suppose que X suit un loi géométrique de paramètre p EUR]0,1{. Vérifier que u satisfait la condition (C*) et montrer que u(A) = p(ln -- (1--p)A) "A pour toute matrice À EUR M,(u) diagonalisable.