CCINP Physique 1 PSI 2004

 

SESSION 2004 . PSIP106

CONCOURS (OMMUNS POIYÏECNNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIÈRE PSI

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction. Si
un candidat est amené à repérer cequi peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été 
amené à prendre.

***

Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans 
chaque cas, la
numérotation de la question traitée. '

' DOSSIER REMIS AUX CANDIDATS

. Texte de présentation (11 pages) .
. Document-Réponse concernant le Problème A (1 page recto simple)

PROBLÈME , A: ÉTUDE ÉNERGÉTIQUE ET THERMODYNAMIQUE D'UNE
TRANCHE NUCLÊAIRE FRANCAISE REP 900 MW

Une unité de production nucléaire est constituée de plusieurs éléments parmi 
lesquels trois
seront plus particulièrement étudiés dans ce problème : le réacteur, le circuit 
primaire et le

circuit secondaire.

Dans tout ce problème, on notera q les échanges de chaleur par unité de temps, 
P.,. la

puissance électrique et PTh la puissance thermique.

Il est demandé au candidat de respecter la numérotation définissant les 
différents points des
circuits discutés, telles qu'elles sont sur les figures ; on prendra pour la 
charge de l'électron
e = 1,602.10°19 C, le nombre d'Avogadro NA = 6,022.1023 atomes/mole et la 
célérité de la

lumière dans le vide c : 2,998.108 m.s".

A.]. FISSION NUCLÊAIRE, ASPECT ÉNERGÉTIQUE

Un réacteur nucléaire est basé sur la fission de l'uranium 235 (noté U5 dans la 
suite) induite
par neutrons lents. Dans une telle réaction, un neutron lent, capturé par un 
noyau d' U5,
donne lieu à la fission du noyau 236U ainsi produit et génère deux fragments de 
fission (FFI et
PF2) tout en libérant x neutrons (n), le x moyen étant compris entre 2 et 3. On 
cède ainsi au
milieu une énergie QN (enthalpie de réaction) pour chaque fission. Une fois 
ralentis, les
neutrons serviront à entretenir la chaîne de réactions ; ainsi, la maîtrise du 
flux de neutrons

permet de contrôler la réactivité du Coeur.
L'uranium naturel est principalement composé de deux isotopes (même Z = 92) de 
masse 238
(U8, environ 99,28 %) et 235 (US, environ 0,72%). Il est nécessaire d'enrichir 
l'uranium en

U5 très fissile aux neutrons lents à des taux allant de quelques %, pour les 
réacteurs de
puissance, jusqu'à quelques dizaines de %, pour des réacteurs de recherche à 
haut flux.

L'U5 (235U92) est composé de Z = 92 protons et N = 143 neutrons, le nombre 
total de
nucléons étant A = 235. Comme c'est le cas pour tous les atomes, la 
quasi-totalité de la masse
atomique est constituée par les nucléons (neutrons et protons) situés dans le 
noyau.

A.l.a. Donner la relation entre la masse m(U5) d'un noyau d'U5, la masse de ses 
constituants et
l'énergie de liaison nucléaire BN(US). Notez qu'il est d'usage de donner non 
pas la masse

mais son équivalent énergétique, en appliquant la relation E : mc2; on notera mn
(respectivement mp) la masse du neutron (respectivement proton).

A.l.b. L'énergie libérée par une réaction de fission (ON) étant liée à une 
variation d'énergie de
liaison nucléaire entre l'US et les éléments finaux (PF l, PF2 et x neutrons), 
établir
l'expression de l'énergie libérée par la réaction nucléaire QN, en fonction de 
la masse des

éléments en présence (mus, m..., m..., mn).

A.l.c. Appliquer cette relation au cas particulier de la production de 132Sn50 
et de l°°Mo,z , via la
fission induite par neutron lent de 235U92.

( on donne:
mc (n)=939, 57 MeV, mc ('328n50)= 122 880, 49 MeV, mc ('OOMO42)=93 069, 46 MeV 
et

me (=235U92) 218 942,00 MeV).

A.l.d. Les fragments de fission n'ont pas tous la même masse. Or, on peut 
produire plus d'une

centaine de fragments différents lors de telles réactions. On est donc amené à 
considérer une

' moyenne des énergies libérées par ces réactions. Sachant qu'on passe d'une 
énergie de liaison

de 7,55 MeV/nucléons, pour l'uranium, à 8,4 MeV/nucléons, pour les fragments de 
fission, et

qu'on émet en moyenne 2,5 neutrons par fission, quelle est en MeV la valeur 
moyenne de
l'enthalpie de réaction de fission QN ?

A.l.c. À partir de la masse en MeV d'U5, retrouver la valeur (en grammes par 
mole) de la masse
molaire de l'US isotopique.

A.l.f. Quelle est, en MeV, puis en watt.heure, l'énergie libérée par la fission 
d'un gramme d'U5 ?--

A.l.g. Sachant que la combustion d'un hydrocarbure libère environ 6 eV par 
molécule de C02
formé, déterminer l'énergie libérée par la combustion d'un gramme de CH.; (en 
watt.heure).

A.l.b. En déduire la masse de CH.; correspondant, d'un point de vue 
énergétique, à lg d'U5.

A.2.

ÉTUDE ÉNERGÉTIQUE DU COEUR DU RÉACTEUR

A.2.a. Combien de fissions par seconde sont nécessaires pourfoumir les 2,6 GWTh 
produits par le

A.2.b.

A.2.c.

A.3.

Coeur d'un réacteur REP 900 en régime continu '?

Déterminer, en grammes par seconde, et en tonnes par an, la consommation AM(U5) 
d'U5 en
régime continu.

Le réacteur comprenant, dans sa première année, 157 assemblages combustibles, 
contenant
chacun 461,7 kg d'Uranium enrichi à 2,42% en US, déterminer la masse M(U5) d'U5
contenu dans le Coeur neuf et le taux de combustion annuel d'U5, AMU5/MU5 (en 
%).

ÉTUDE THERMIQUE DU CIRCUIT PRIMAIRE

Cdmme on peut le constater sur le schéma simplifié d'un réacteur REP 900 MW 
(Figure 1),
le circuit primaire d'un réacteur nucléaire à eau sous pression (REP) est 
composé de quatre
éléments : le Coeur (C) situé dans la Cuve Réacteur (CR), le Pressuriseur (Pr), 
le Générateur
de Vapeur (GV) et la Pompe primaire (PI). Le bore servant à la limitation du 
flux de
neutrons, le contrôle de la puissance nucléaire est effectué à l'aide du fluide 
caloporteur qui
est de l'eau borée. Dans tout ce cycle, le fluide caloporteur est en phase 
liquide et ne fournit

' aucun travail.

Pour augmenter l'efficacité d'échange, une tranche nucléaire 900 MWel comprend 
trois
boucles parallèles comprenant chacune un Générateur de Vapeur (GV) et une Pompe

\

primaire (PI). La pression est maintenue constante dans le Coeur grâce a un 
unique
Pressuriseur (Pr) situé dans une des trois boucles. Par souci de clarté, seule 
cette dernière est

schématisée sur la Figure 1.

BR Bâtiment réacteur

SM Salle des machines

CR Cuve réacteur

C Coeur

BC Barres de contrôle

Pr Pressuriseur

GV Générateur de vapeur (échangeur)

... P1 Pompe primaire
lllllllllllllllllllllllll ...
. PSF Pompe Source Froide
T "Turbine
Alt Alternateur
CO Condenseur

SF Source froide
(rivière, mer ou aéroréfrigérant)

Fig. 1. - Configuration générale d'une tranche nucléaire type réacteur à eau 
sous pression

A.3.a.

A.3.b.

Pour décrire un échange de chaleur entre deux milieux, on dispose de la loi de 
Newton qui
relie l'énergie échangée par unité de temps (q) et la surface d'échange A à la 
différence de
température AT entre les deux milieux :

3- : h.AT
A

La conductance surfacique h est une grandeur caractéristique du matériau 
utilisé et dépend de
la température à laquelle s'effectue l'échange. Dans cette formulation, on 
tient implicitement
compte de l'épaisseur du matériau utilisé. Si on souhaite avoir explicitement 
accès à
l'épaisseur Ax, on travaillera plutôt avec la conductivité thermique k, sachant 
qu'elle est
reliée à la conductance surfacique par k : h.Ax

En régime permanent, le Coeur du Réacteur maintient le fluide caloporteur à 
330°C et
compense les échanges de chaleur avec le circuit secondaire au sein du GV, 
ainsi que les
déperditions de chaleur.

Dans cette partie du problème, on va décrire les échanges de chaleur entre la 
Cuve Réacteur
(CR) et l'enceinte de confinement du Bâtiment Réacteur (BR), via l'air ambiant 
que l'on
supposera immobile pour simplifier le problème. Cette enceinte est en fait 
composée de deux
murs de béton distants d'environ 2 mètres. On se limitera ici à l'étude du 
profil thermique
entre le Coeur et la paroi intérieure de BR portée, dans ces conditions, à une 
température de
TE : 38°C (Figure 2).

Pour simplifier le problème, on ne tiendra pas compte des gradients thermiques 
liés à
l'évolution du fluide primaire dans la Cuve Réacteur. On caractérisera donc le 
fluide par sa

Température de sortie Coeur TC.

Enceinte
Extérieure

0
ëë
Êæ
mE

TEXT

rn
>< ---l m 2 rn C 23 CD 23 INTERIEUR BR ___-__..__ Fig. 2. - Profil de température selon une coupe radiale d'un bâtiment réacteur (BR). Écrivez la relation à l'équilibre thermique entre la température TC du Coeur supposée homogène, celle de surface de la cuve Ts et la quantité de chaleur dissipée par unité de temps et de Surface d'échange qC/Séch_. En pratique, il est plus simple de travailler avec la conductance surfacique hc qui donne directement, en watts par mètre carré et par 0C , la capacité de dissipation de la cuve. Donner la valeur numérique de*hC sachant que la conductivité thermique de l'acier noir, dont la cuve est constituée, est k = 51 W/m.°C au voisinage de la Température Cuve, et que cette dernière a une épaisseur 8 = 20 cm. A.3.c. A.3.d. A.3.e. A.3.f. A.3.g. A.3.h. A.3.i. A.3.j. A.3.k. A.4. A.4.a. La quantité de chaleur dégagée par la cuve est ensuite dissipée par l'air environnant (on supposera que les formules vues précédemment sont valables dans la présente géométrie). Il s'établit un équilibre de conduction qui fixe la valeur de Ts. Sachant que l'air présente une conductance surfacique de hair : 10 W/m2.°C, déterminez la relation à l'équilibre entre la Température de Surface de la cuve Ts, celle de l'enceinte intérieure du bâtiment réacteur TE ' et la quantité de chaleur dissipée par unité de temps et de surface de cuve qc/Séch_ en Wlm2. En déduire l'expression de la Température de Surface de la cuve Ts ainsi que celle de la chaleur échangée par unité de Surface d'échange qc/Séch_ Le système cuve--air présente donc une conductance combinée h' à la surface de l'interface cuve/air. Donner son expression et sa valeur. Commentez. On supposera que, toutes les déperditions ont lieu en surface de cuve (Rcuve : 2 m, H,...= 12 m) et des boucles primaires. En sachant que la Surface totale d'échange S..... représente environ 750 m2, déterminer la Quantité de Chaleur qc échangée à l'équilibre thermique. ' Déterminer la Température de Surface Ts de la cuve correspondante. Une isolation de conductance surfacique hi : 0,25 W/m2.°C a été placée au niveau des Surfaces d'échange. Déterminer le coefficient h"ç pour le groupement « cuve+isolant ». Application numérique. Commentez. Déterminer la nouvelle Température de surface T's , ainsi que la déperdition q'c correspondante. Pour cette estimation, on supposera que tout le'fluide primaire est à la température TC. . Comparer la déperdition totale à la puissance thermique générée. On fournit une puissance F...: 5,5 MW au niveau des Pompes primaires de chaque boucle d'échange, pour assurer la circulation du fluide, et une puissance Ppr= 1,5 MW au niveau du Pressuriseur, afin d'assurer le maintien en pression -- donc en phase liquide -- du fluide caloporteur (P = 155 bars). En tenant compte de toutes les informations utiles connues à ce . point, déterminer la valeur du rendement du premier cycle pl : qu/Pc , défini comme le rapport de la quantité de chaleur fournie par unité de temps du circuit primaire au secondaire dans le Générateur de Vapeur GV (q...), à celle fournie parle Coeur au primaire (Pc). Faites suivre la valeur littérale par l'application numérique correspondante. CIRCUIT SECONDAIRE : ÉCHANGES AU NIVEAU DU CONDENSEUR Dans le cas d'un cycle thermique à changement de phase, la chaleur latente de liquéfaction intervient dans le procédé. Dans le Condenseur d'une tranche 900 MW, le circuit secondaire passe, à température constante (32,7°C), d'une enthalpie de H.: 2228,76 kJ/kg à 136,9 kJ/kg (eau). En parallèle, la pression passe de 0,05 bars à 0,95 bars. La source froide produisant ce changement entre dans l'échangeur (Condenseur) à 13,0°C et en ressort à 23,0°C , en subissant une différence d'enthalpie AHF de 41,69 kJ/kg. ' Sachant que le débit massique du circuit secondaire à ce point est D2 : 830 kg/s, déterminer la puissance thermique qco évacuée par unité de temps, par la source froide, dans le Condenseur . A.4.b. Le fluide refroidissant est entraîné par une pompe (PSP) de 3,3 MW de puissance. A l'aide des résultats de la question précédente, déterminer le débit massique DF du fluide de refroidissement correspondant. Commentez. ' A.4.c. Donner, en vous justifiant, la relatiOn entre le titre x de la vapeur d'eau (% massique de vapeur) et les enthalpies de mélange (H,), de vapeur (Hm) et d'eau (H...), à une température et une pression données. A.4.d. En déduire l'expression du titre x. Appliquer au cas de la vapeur d'eau à l'entrée du Condenseur, sachant qu'à 32,7°C et à une pression de 0,05 bars, Hvap vaut 2561,26 kJ /kg. A.5. RENDEMENT THERMIQUE DU CIRCUIT SECONDAIRE SANS SOUTIRAGE Le circuit secondaire est composé d'un Générateur de Vapeur (GV, source chaude) d'un turboaltemateur, d'un Condenseur (CO, 'source froide) et d'une Pompe (P2). À la sortie du Condenseur, le fluide est comprimé en phase liquide de façon isentropique (à isentropie constante) vers le GV dans lequel il passe, à pression constante, sous forme de vapeur d'eau surchauffée (vapeur sèche) par échange thermique avec le circuit primaire. Il subit ensuite une détente isentropique dans la Turbine (T) du turboaltemateur et passe sous forme de mélange eau-vapeur à basse pression. Le Condenseur le ramène ensuite de façon isotherme et quasi-isobare en phase liquide. (A.5.a) (A.5 .f ) mlll:lllflll numul Fig. 3. - Vues schématiques des circuits secondaires considérés et diagrammes correspondants. A.5.a. Représenter, sur les diagrammes (P,V) et (T,S), fournis en Document--Réponse, le cycle décrit ci-dessus, correspondant à la partie haute de la Figure 3 (veillez à respecter les notations des points de mesure 1, 2, 3 et 4 du haut de la Figure 3, lors de leur report sur le papier). Notez que la courbe de saturation a été systématiquement représentée, que le point ( 1) [entrée Pompe secondaire P2] est indiqué sur les diagrammes (P,V) et que l'isobare correspondant au passage du Générateur de Vapeur (GV) est indiqué sur les diagrammes (T, S) fournis. Il est conseillé de procéder en étudiant les variations des couples (P, V) et (T, S) étape par étape. Il est rappelé que l'eau est incompressible et qu 'il existe une loi simple pour les gaz que l'on supposera parfaits. A.5.b. Expliquerl' intérêt technique de surchauffer la vapeur dans le Générateur de Vapeur (GV). A.5.c. Que représente l'aire délimitée par les courbes obtenues ? A.5.d.-- Établissez l'expression littérale du rendement p2=Pe1/PGV de ce circuit secondaire en fonction des enthalpies H, mesurées aux différents points (i) du circuit et du débit massique D; du circuit secondaire, avec Pel la puissance électrique fournie au réseau. Il est rappelé que, comme nous l'avons vu, une partie de l'électricité produite sert au fonctionnement du procédé. (on donne: H;=136,90 kJ/kg , H2=357,91kJ/kg , H3=2686,60 kJ/kg , I--h=1756,97 kJ/kg et D2=0,83 tonnes/s). A.5.e. Quel est le rendement global d'une telle installation ? Le titre de la vapeur changeant dans le turboaltemateur, il est plus intéressant de séparer la partie génération de travail en deux turboaltemateurs, un Corps Haute Pression (CHF) et un Corps Basse Pression (CEP). Il est ainsi possible d'introduire entre ces deux turbines un Groupe Sécheur Surchauffeur (GSS) qui sépare l'eau du gaz et qui resurchauffe le gaz à la sortie du CBP de façon isobare. Il joue donc, à l'entrée de CEP, le même rôle que la surchauffe du GVà l'entrée de CHP. Le circuit ainsi réalisé est représenté au bas de la Figure 3. La surchauffe est produite' a l'aide de fluide prélevé' a la sortie du GV. Il conduit' a une variation d'enthalpie AHgss : H6 -- Hs que l'on supposera directement prélevée au niveau du GV. Ce fluide n'ayant pas cédé toute son énergie dans GSS, on le fait interagir au niveau du réchauffeur (R) à la sortie de P2. On chauffe ainsi l'eau d'injection du GV par échange thermique, de façon isobare. La variation d'enthalpie AHR : H3 -- Hz sera supposée directement prélevée au GV. Cette eau est ensuite réinjectée dans le GV. A.5.f. Représenter, sur les diagrammes (P,V) et (T,S) fournis en Document-Réponse, le cycle décrit ci--dessus, correspondant à la partiebasse de la Figure 3 (veillez à respecter les notations des points de mesure 1 à 7 du haut de cette Figure). Notez que la courbe de saturation a été systématiquement représentée, que le point (1) [entrée Pompe secondaire P2] eSt indiqué sur les diagrammes (P,V) et que l'isobare correspondant au passage du Générateur de Vapeur (GV) est indiqué sur les diagrammes (T,S) fournis. Aidez-vous des résultats de A.5.a. A.5.g. Quel est l'intérêt, pour le cycle principal, de la réchauffe ainsi obtenue àla sortie de P2 ? A.5.b. Établissez l'expression littérale du rendement p'2= PCI/POV de ce circuit en fonction des enthalpies H', mesurées aux différents points (i) du circuit, et du débit massique D' 2 du circuit secondaire. (on donne : H'1=136,90 kJ/kg , H'2=357,91 kJ/kg , H'3=510,36 kJ/kg , H'4=2716,60 kJ/kg , H'5=2186,78 kJ/kg , H'6=2279,47 kJ/kg , H'7=1756,97 kJ/kg et D'2=0,81 tonnes/s) A.5.i. Quel est le rendement global d'une telle installation ? A.6. RENDEMENT THERMIQUE DU CIRCUIT SECONDAIRE AVEC SOUTIRAGE Pour augmenter l'efficacité de réchauffement, on procède à des soutirages dans chaque turbine. Le fluide ainsi extrait n'a pas fourni toute son énergie sous forme mécanique et peut donc la rendre sous forme thermique au sein de réchauffeurs. Comme on peut le voir sur la Figure 4, on a, outre le circuit déjà présenté dans la Figure 3, détaillé le groupe sécheur surchauffeur (GSS). On constate que l'on a découpé l'étage de pompage en deux et que l'on incorpore également aux réchauffeurs les résidus du GSS. On a reporté dans le tableau les grandeurs thermodynamiques relevées en différents points du circuit, repérés par un numéro. «---w '_ :) 118113 AR)7 ' ,__: 13ç4_1 997,5__ ___0,95: 32,7___ \Î Surchauffeur 7:- _---_--...- .....- .... _ ...... -..... -... _%éCh9ug_ .; : 2 1____ ___]_6_Z,_6__:14340 66,2_ _:__ __1__8_Q,4_ __ ......3....l. 2316 LL4Â'YQ... ....i_ 63.!- -î...-2_1.-7-!... 4 2786,6 1434,0 5_2_,_2_ __266,6 --.-- --.-------l-.. ...... --' _- ...- ...- -- ...-...- .-- 5 25610 12170 110 1841 .-.'....._.. -..... .-.--..-La... 6 â"'2942,7 9975 103 _2__50,4 :... :"""22288 8045 005 3.2.7- 8 °â"""'27866 ;" 1113 52,2 266,6 9r___ëî27866 13227 522 2666 10 : 2561,0 11090 _'-__ 110 1841 11 :""27597 ? 9975 : 11,0 . 184,1 ....._.----.L.-...- g____1-2_-1-...Ë69_9L;... !93 Z-- -__,-- 2-4-Z :... 2.23 3 13 :___25610 _: 1080 11_0___3 __1_84,1__ 14 7814î _ __ 11,0____:__1_8_4,1_ : 15 1138,8 111,3 i--...475....1-Z_69Z- 16__1f_23280_; 193,0 _-___093___; _97_,65__ _____11 _;f" 785,7_":_ 217,6 _ 15,9 _:__185"6 18"":ä ' 765,5 14340 353 1784 ' 19___ 7810 { 4365 '?'__"_'353 178,4" ""'20 __: "7_5Ï_7,1"5'_Ï9975 ' "_3_5_3""_:__"'178Ï4 "21"; "771,7?"4365 "105" 182,0 """22'"'ï"'"'563,2"5"""3975"'î' 36,4" ; ' 132, 7 23 :"""""1'8'5','3î" 1930 05 "56,6 "'2'4""' """""'142Ç5' 997, 5 "43",'7""î"""33Ï1 Fig. 4. -- Vue simplifiée des soutirages du circuit secondaire. A.6.a. Lorsqu'en un point d'un circuit, un fluide A, caractérisé par (HA et DA), se mélange à un fluide B, caractérisé par (HB et DB), quelle est l'enthalpie du mélange Sortant ? Justifier votre réponse. Appliquer au point 25 de la Figure 4.-- A.6.h. Déterminer l'expression de la puissance extraite par les turbines CHF et GBP. Faites l'application numérique. A.6.c. Déterminer la puissance nécessaire au sécheur. A.6.d. Même question pour l'ensemble des Pompes. A.6.c. Quelle est la quantité de chaleur échangée par unité de temps dans le surchauffeur ? A.6.f. Même question pour le réchauffeur R3. A.6.g. Déterminer le débit massique D 14 à l'extraction du sécheur. A.6.h. Déterminer le rendement de cette version du circuit secondaire. On tiendra également compte de la Pompe du circuit P2" de refroidissement (PPSF= 3,3 MW,:). A.6.i. Déterminer le rendement global P...," d'une telle installation. FIN DU PREMIER PROBLÈME PROBLÈME B : ECOULEMENT D'EAU DANS UN CANAL RECTILlGNE Ce problème comporte de nombreuses questions indépendantes. Nota Bene : dans tout ce problème, l'eau est traitée comme un fluide parfait et incompressîble. B.1 MESURE DE DÉBIT Soit un canal horizontal à section rectangulaire de côté L = 4 m, parcouru par de l'eau de masse volumique p, avec une vitesse v uniforme et constante sur toute une section droite du canal. La hauteur de l'eau est notée h, supposée constante dans un premier temps. B.1.a Rappeler, sans démonstration, l'équation locale de conservation de la masse dans le cas d'un fluide quelconque. ' B.1.b Que peut--on en déduire concernant le champ de vitesse pour l'eau '? Que dire aussi du débit volumique Q ? B.1.c Donner alors l'expression du débit volumique Q en fonction des variables du problème. On place un tube de verre coudé dans l'eau comme suit : Fig. 1. -- Géométrie de l'écoulement. On appelle z la hauteur de la colonne d'eau dans le tube par rapport à la surface libre du canal B.1.d Rappeler l'énoncé du théorème de Bernoulli avec les hypothèses sous--jacentes. B.1.c Exprimer alors la vitesse v du courant en fonction de z et de g, accélération de la pesanteur. B.1.f On mesure une hauteur z = 10 cm. La hauteur d'eau h vaut 3 m. Calculer alors numériquement le débit volumique de ce canal. On prendra g = 10 ms"2 . B.2 B.2.a B.2.b B.2.c B.2.d ' B.2.e B.2.f B.2.g B.3 RÉGIMES D'ÉCOULEMENT DANS LE CANAL La hauteur h de l'eau circulant dans le canal n'est plus constante maintenant. Que dire de la quantité e définie par e : gh+v2/2 sur tout le long du canal '? Justifier votre réponse. Quelle signification physique voyez--vous pour la quantité e ? Donner la valeur numérique de e en prenant les valeurs numériques prises précédemment dans la question B.l.f. Exprimer le débit Q en fonction de la largeur du canal L, de h, e et g. Représenter, sur la copie, l'allure de la courbe du débit en fonction de h, et montrer que, pour un débit donné, il y a deux profondeurs hr et hp > hT possibles. On ne 
cherchera pas à

calculer ces profondeurs !

Calculer la hauteur critique hc du canal qui correspond à un débit maximal. On 
expfimera
cette hauteur critique en fonction de e et g. Faire l'application numérique.

En déduire la vitesse vc de l'écoulement quand la hauteur du canal est égale à 
hc.

Les profondeurs hr et hp correspondent à deux régimes d'écoulement dans le 
canal.
Caractérisez ces deux régimes. Quels noms peut--on leur donner '?

GÉNÉRATION D'UNE ONDE DE RESSAUT

A un instant donné, le canal est obturé à un endroit par une paroi verticale. 
Une vague
remonte alors le canal àla vitesse w mesurée dans le référentiel terrestre.

La hauteur d'eau en amont du ressaut est h, et la vitesse du courant est v. En 
aval du
ressaut, la hauteur d'eau est h" constante. _
On étudie dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, le système fermé (S) 
de fluide
délimité par les sections (en pointillés sur le dessin) amont S, et 52. On 
supposera que l'on
peut encore calculer les forces de pression dues à la colonne d'eau comprise 
entre 82 et la
paroi. Pour simplifier, on supposera que le front de la vague est vertical.

Fig. 2. -- Génération d'une onde de ressaut.

B.3.a

B.3.b

B.3.c

B.3.d

B.3.e

B.3.f

B.3.g

En traduisant la conservation de la masse du système (S), établir une relation 
entre v, w, h et
h'.

Faire, sur la copie, un dessin du système (S) à l'instant t et à l'instant 
t+dt. On pourra griser
ou hachurer le fluide déplacé. En déduire la variation de la composante 
horizontale de la

quantité de mouvement du système (S) pendant la durée dt. On montrera qu'elle 
s'écrit sous
dPx

dt
On supposera que la vitesse v du fluide est nulle en 82.

=--pLh x g(v,w) où g(v,w) est une fonction de v et w que l'on explicitera.

la forme

La pression étant P° sur la surface de l'eau en écoulement, calculer, en 
fonction de la
profondeur, la pression qui règne dans l'eau, en appliquant la relation 
fondamentale de la

statique des fluides.

Soit une paroi rectangulaire plongée dans l'eau, de largeur L et de hauteur h. 
Calculer la
résultante des forces de pression s'exerçant sur cette paroi. Exprimer le 
résultat en fonction

de L, h, ,a, P0 et g. On pourra introduire un vecteur ñ normal à la paroi que 
l'on exprimera
en fonction du vecteur unitaire êx de l'axe (Ox).

Que vaut la résultante des forces de pression sur la section gauche S, de (S) ? 
Même

question pour la section droite S; de (S) et pour le front de vague qui est 
supposé vertical.
En déduire l'expression de la résultante des forces extérieures s'appliquant 
sur (S), en

fonction de ,a, g, L, h et h'.
En déduire alors que h(v+w)v : g/2Xf(h',h), où f est une fonction de h et h' 
que l'on
précisera.

Déduire des relations obtenues en B.3.a et B.3.f la célérité w de la vague en 
fonction de g, h
et h '. '

B.3.h Si on fait h 3 h', que retrouve-t-on ?

FIN DU DEUXIÈME PROBLÈME

...

Document-Ré anse

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