CCINP Physique 1 PSI 2011

SESSION 2011 PSIP103

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et d la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 11 pages

Sources en mouvement et « murs d'ondes ». ..

Cette épreuve comporte quatre problèmes totalement indépendants et portant sur 
la physique
ondulatoire et les phénomènes qui se produisent quand la source de l'onde se 
déplace.

PROBLEME A : LE MUR DE LA CATENAIRE

Le TGV a battu son propre record du monde de vitesse sur rail le 3 avril 2007 : 
574,8 km/h.
La tentative officielle de record s'est déroulée sur la nouvelle ligne Est 
européenne entre Paris et
Strasbourg. Pour réaliser cet exploit, les ingénieurs de la SNCF ont dû tendre 
plus que d'habitude le
câble électrique qui est suspendu au dessus des voies ferrées et que l'on 
appelle caténaire.

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Equation de propagation d'une onde sur un câble

On considère un câble de masse linéique ,u tendu entre deux extrémités A et B 
sous une tension?"() .

Au repos, le câble est horizontal : on néglige la force de pesanteur devant la 
force de tension.
Un ébranlement y(x,t) se propage le long du câble àla célérité v que l'on se 
propose de calculer.

Pour cela, on isole une portion de câble de longueur ds comprise entre les 
points G et D
(d'abscisses x et x + dx). Cette portion est soumise aux forces de tensions -- 
Î(x,t) et Î(x + dx,t).
On appelle a(x,t) (resp. a(x+dx,t)) l'angle que fait la tension --Î (x, t) 
(resp. Î(x+dx,t)) par
rapport à l'horizontale (figure 1). La corde reste dans le plan vertical au 
cours du mouvement.

TÎÏ+dx,t)

y
/\ %"l'dX, î)

\!

x x+dx

Figure 1 : déformation du câble

A.1 Quelle est la masse, en fonction de dx notamment, du petit morceau de câble 
GD ? Sans
calcul, décrire le mouvement de ce petit morceau.

A.2 En projetant le principe fondamental de la dynamique (ou seconde loi de 
Newton) selon x et y,
et en supposant que la déformation est petite (l'angle a(x,t) est très petit 
devant l radian),

ÔZy Ôa(x,t)
2 : To _
Ôt Ôx

montrer que : "Î(x,t)" = HÎ(x+ dx, t)" = T0 et ,u

2 2
A.3 En déduire que Ê%--v2â--Ï=O. On précisera l'expression de v. Que représente
x

physiquement cette grandeur ? Montrer que l'expression est dimensionnellement 
correcte.
Tension d'une caténaire
Dans cette partie, le câble est au repos. Il s'agit d'étudier la manière dont 
on le tend.
A.4 Schématiquement, la caténaire est tendue entre deux poteaux par un ensemble 
de poids en
béton identiques (chacun de masse M) comme indiqué par la figure 2. Le câble 
est de masse

négligeable devant les masses M et il est inextensible. Les poulies sont de 
masse négligeable
et peuvent tourner sans frottement autour de leurs axes.

2/11

\

Figure 2 : schéma de principe de la tension d'une caténaire

Exprimer simplement la tension T0 de la caténaire en fonction de M et de 
l'accélération de la

pesanteur g .

En pratique, la tension est assez élevée : il faudrait des masses de béton 
élevées, ce qui coûte cher et
est très encombrant. Il faut donc utiliser un système de « démultiplication des 
forces >> à l'aide de
poulies.

A.5 On considère le dispositif de la figure 3. Les deux poulies sont de masse 
négligeable et tournent
sans frottement autour de leurs axes. La poulie n°1 est accrochée au support 
horizontal grâce à
une tige (en trait épais). La masse d'épreuve K est solidaire de la poulie n°2 
par l'intermédiaire
d'une tige de masse négligeable (en trait épais). La masse M est soutenue par 
un fil de masse
négligeable, inextensible, s'enroulant autour des deux poulies. Le système est 
à l'équilibre.

Calculer K en fonction de M pour qu'il en soit ainsi.
Définir le « facteur de démultiplication >> dans ce cas et donner sa valeur.

\ \\ \\\\ \ \\\\\\\\\

W\
W >< k/ m M \J\J Figure 3 : palan à deux poulies Figure 4 : palan à six poulies 3/11 A.6 On considère maintenant le dispositif de la figure 4. Pour simplifier, on supposera que les brins de fil sont quasi verticaux (les angles par rapport à la verticale sont très petits). Calculer le facteur de démultiplication dans ce cas. On supposera que c'est ce type de palans qui est utilisé pour tendre la caténaire du TGV. Application à la caténaire du record de vitesse de 2007 Une caténaire de TGV est constituée d'un câble profilé de cuivre pur d'une section de 150 millimètres carrés, soutenu par un câble porteur en bronze. La densité du cuivre par rapport à l'eau est de 8,9. La tension du câble est de 2600 daN (decanewton). Le pantographe (dispositif situé au dessus de la locomotive) balaie la caténaire de façon à capter l'énergie électrique : il soulève la caténaire afin de créer un bon contact électrique. La caténaire adopte la forme d'un V renversé dont la pointe est soutenue par le pantographe. Lorsque le train se déplace, le V renversé se déforme et des ondulations sont transmises dans la caténaire. Cette dernière se soulève alors jusqu'à plus de 30 centimètres Les ingénieurs estiment que le TGV ne doit pas dépasser 97 % de la vitesse de propagation des ondes, pendant un court laps de temps, pour qu'il n'y ait pas de problèmes d'avarie. A.7 Calculer la valeur numérique de la masse linéique de la caténaire ainsi que la célérité des ondes transverses le long de la caténaire. A.8 Proposer deux solutions pratiques pour << repousser le mur de la caténaire >>.
Quelle est la plus simple à mettre en oeuvre ?

A.9 Pour réaliser le record de 2007, avec quelle tension minimale doit-on 
tendre la caténaire (tout
du moins au niveau des endroits où le record aura lieu) ? Sachant que la 
caténaire est tendue
par des palans à six poulies, quelle masse de béton a dû être rajoutée à 
l'extrémité de chaque

palan ? Pour l'application numérique on prendra pour simplifier g = 10 m - s'2 .

PROBLEME B : CÔNE DE MACH

B.] L'air est composé en première approximation de 20 % de dioxygène et de 80 % 
de diazote. La
masse molaire de l'oxygène est 16 g -mol'1 et la masse molaire de l'azote est 
14 g - mol'l.
Quelle est la masse molaire moyenne de l'air ?

B.2 La célérité du son dans un gaz parfait dépend de la températureT , de la 
masse molaire M et
de la constante R des gaz parfaits. Proposer, par analyse dimensionnelle, une 
relation

donnant la vitesse du son dans le gaz. On écrira la célérité du son sous la 
forme (: = T "M " Rd
où l'on précisera la valeur numérique des trois exposants a, b et d.

B.3 En fait, dans la relation de la célérité du son, on doit multiplier la 
constante R par le
coefficient numérique 1,4. Que représente ce coefficient numérique ? Pourquoi 
vaut-il 1,4 ?

B.4 Application numérique : calculer la célérité du son en km/h pour de l'air à 
une température de
-- 20°C. On rappelle que R = 8,31 ] - K"1 -mol'1

B.5 Considérons un avion de chasse volant à la vitesse mach 2 dans un air à 
-20°C. Cela signifie
qu'il vole à deux fois la vitesse du son. Quelle est sa vitesse en km/h ?

4/11

B.6 Ce même avion génère des ondes sonores. On va supposer que ces ondes sont 
émises de
manière isotrope dans le référentiel de l'avion et que l'avion est ponctuel. 
Ainsi tout se passe
comme si l'on avait une source sonore ponctuelle. L'air dans lequel se propage 
le son est
immobile. Comment peut-on qualifier géométriquement ces ondes ?

B.7 L'avion se déplace à la vitesse v le long de l'axe des x. On prendra 
l'origine des temps à
l'instant où l'avion passe par x = 0 . En quelle abscisse xr se trouvait 
l'avion à l'instant -- T ?

Quel est, à l'instant t> O, le rayon de la surface d'onde sonore émise à 
l'instant --Z' par
l'avion à l'abscisse xT . On exprimera ce rayon en fonction de T, t et de la 
célérité du son c .

B.8 Le système possède une invariance par rotation autour de l'axe (Ox), il est 
donc intéressant
d'utiliser les coordonnées cylindriques p,<9,x. Déduire de la question B.7 l'équation cartésienne de cette même surface d'onde. On mettra l'équation sous la forme p = f (x,t,r) de cette même surface d'onde. B.9 Si la vitesse v de l'avion est supérieure à la célérité c du son, l'énergie sonore va s'accumuler sur la surface enveloppe des surfaces d'onde décrites ci-dessus (voir la figure 5). Sphère émise à l'instant -t p/\ % v>< Avion à l'instant { Figure 5 : cône de Mach On admettra que la surface enveloppe doit vérifier le système d'équations suivant : f(xaïJ)=,0 (1) Ôf(x,t,r) : 0 (2) ÔZ' A partir de l'équation (2), exprimer ? en fonction de v, 6, x, [. Injecter cette relation dans l'équation (l) et montrer que, si v > c , alors l'équation de la surface 
enveloppe est:
p = l// -- (vt -- x) où l'on donnera l// en fonction de v et c .

B.10 En déduire que, si v > c , l'énergie sonore se concentre sur un cône de 
demi--angle au sommet
,6 dont on exprimera le sinus en fonction de v et c.

B.11 Avec les valeurs numériques de la question B.4, calculer numériquement 
l'angle ,6 .

5/11

B.12 L'avion vole a la vitesse v a une altitude h. Un observateur P est sur la 
surface de la terre.
Donner la relation reliant l'intervalle de temps At qui sépare les deux 
événements EUR] et 632
suivants :

EUR] : l'avion passe au dessus de la tête de P,
632 : P entend le «bang » du mur du son.

On exprimera l'intervalle At en fonction de h , v et c.

PROBLEME C : LE SILLAGE DE LORD KELVIN

Curieusement, un canard et un pétrolier créent un sillage de même forme dans 
l'eau (figure 6). De
plus, l'angle de ce sillage ne dépend pas de la vitesse de l'objet qui se 
déplace.

Figure 6 : photographie aérienne du sillage d'un pétrolier

Ondes de gravité

On rappelle l'équation d'Euler pour un fluide de masse volumique ,0 et non 
visqueux :

p£Ê--î + (17 - grad)Ü) = pg -- gradP

A l'équilibre, la surface libre d'une étendue d'eau, plane et horizontale 
(formant le plan 2 = O)
sépare l'atmosphère (région 2 > 0 où la pression est uniforme et vaut PO) et 
l'eau, liquide supposé
parfait et incompressible de masse volumique ,0 . L'étendue d'eau est très 
profonde (profondeur H

très grande devant la longueur d'onde des ondes de gravité). On se propose 
d'étudier la propagation
suivant la direction Ox d'une onde de gravité d'amplitude a très inférieure à 
la longueur d'onde/1 .
La surface libre de l'eau est déformée par rapport a la surface à l'équilibre : 
cette surface a pour
équation z = 5(x,t) (voir la figure 7).

6/11

Le champ de vitesse est à l'instant t dans le référentiel lié au fond du bassin 
:
17 = vx (x, Z, t)êx + VZ (x, Z, t)êz

La pression au sein du liquide est P(x,z,t) = Pe(z) + fi(x,z,t) où Pe(z) est la 
pression du liquide à
l'équilibre en l'absence de vagues et fi(x,z,t) désigne la perturbation de la 
pression par rapport à
l'équilibre.

Pour terminer, le champ de pesanteur est supposé uniforme : g = --gêz .

"Z ë(Xfi)

0 /\ >x
\/ \/

Figure 7 : ondes de gravité

_»

C.] A quelles conditions le terme (17- grad )17 est-il négligeable devant le 
terme ÔÔ--î ? On

supposera ces conditions vérifiées pour la suite du problème.

C.2 Que devient l'équation d'Euler dans le cas où le fluide est à l'équilibre ? 
En déduire le champ
de pression Fe (2) .

On se limite aux perturbations sinusoïdales du système. On utilise alors la 
notation complexe :

È = f(z)efW_kxl , Q = Ü(z)ej(wt_kx), Ë(x,t) = aef(""_'") avec j2 = --1.

C.3 En utilisant l'équation d'Euler et l'équation différentielle de 
conservation de la masse, montrer

--> 2
que pÔ--L) = --gmdfi puis que LEZ)
Ôt _ dz

-- fl2f(z) = 0 où ,8 est un paramètre à exprimer en

fonction de k (vecteur d'onde).

C.4 Montrer alors que la perturbation de la pression réelle s'écrit ñ(x, z, t) 
= plekz cos (cat -- kx) où

l'on ne cherchera pas à déterminer la constante p1 .

C.5 En traduisant la continuité de la pression de part et d'autre de 
l'interface eau/air déformée et
pl

dans l'hypothèse où eka % l , montrer que a = .
P g

7/11

_»

C.6 En reprenant l'équation p% = --gradfi , montrer que la composante selon 2 
du champ de
t _

. 1 ' a) -- x \ . . .
v1tesse vaut 122 = --_--h(z)ef< t k ) ou l'on exphc1tera h(z) en fonction de z, p1,k. _ ] 50,0 C.7 Quelle est la relation entre ê(x,t) et la composante selon 2 du gradient de champ de pression , . . , . a . , . , . a l'interface eau/air ? En dedu1re que a) = (g - k) ou l'on prec1sera la valeur numerique de a . C.8 Par analyse dimensionnelle, retrouver l'expression précédente w=(g-k)a en précisant la valeur numérique de oc. C.9 Exprimer la vitesse de phase et la vitesse de groupe des ondes de gravité en fonction de g et du vecteur d'onde k. Quelle est la relation simple qui relie la vitesse de phase à la vitesse de groupe ? Calcul de Lord Kelvin Intéressons-nous à un canard naviguant sur une eau très profonde à la vitesse v supérieure à la vitesse de phase des ondes de gravité. Un sillage en V apparait et suit le canard. L'animal se déplace le long de l'axe des x . C.10 A partir de la photographie de la figure 6, évaluer la mesure de l'angle du sillage en V. On expliquera la démarche suivie. C.11 Comment peut-on qualifier le sillage dans le référentiel qui suit le canard ? A l'instantr , une onde de pulsation a) arbitraire est émise par le canard au point A . On définit le point M comme étant le point où la «surface» de l'onde sera à l'instant t dans la direction de propagation Ë pour laquelle cette onde contribue au sillage en V. Il en résulte que a) = Ë -17 où 17 est le vecteur vitesse du canard dans le référentiel de la berge. C.12 Sachant alors que le canard est au point A à l'instant t et au point B à l'instant t > T (figure 8)

--» lEUR . Aîâ -- . . -- -
montrer alors que AM = £--)k . On se serv1ra de la relation a) = k -v , que 
l'on admettra.

_.2

k

. M
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
/ -
-

Figure 8 : construction de Kelvin

En déduire le lieu des points M lorsque l'on fait varier a) .

8/11

C.13 Une vaguelette est formée d'un paquet d'ondes. Au cours de sa propagation, 
la vaguelette se
déforme car toutes les ondes ne progressent pas à la même vitesse. A quelle 
vitesse se déplace
alors le maximum de la vaguelette ? On rappelle que dans la question C.9 on a 
montré que la
vitesse de groupe est proportionnelle à la vitesse de phase avec un facteur 
numérique inférieur
à l'unité.

En déduire alors que le lieu des points N correspondant au maximum du paquet 
d'ondes, de
pulsation centrée en 00 arbitrairement choisie, émis en A à l'instant t et dans 
la direction de

propagation Ë est un cercle de diamètre AB/2 et passant par le point A. On 
appellera FT ce

cercle pour la suite.

C.14 Si le canard est à l'abscisse vt à l'instant [, quels sont les rayon et 
abscisse du centre du

cercle F émis à l'instant T < t . On rappelle que le canard avance àla vitesse v. T C.15 Le sillage est donc formé par l'enveloppe des cercles F émis à des instants ? différents. T (voir la figure 9 ci-après). Cercle FT émis à l'instant T )] l\ \, Canard à l'instant { \\\ 4.-- \ \ ' \ g \ | \. . ' .".l ( V, : "'. ' .." X B .' . . . . . ç . . . . o' . V %v (t-ï) Figure 9 : sillage de Kelvin Le sillage de Kelvin est donc un V qui avance àla vitesse du canard. Exprimer alors sin(%) . a l . . . , . , . , . sous la forme sm(î) = ; ou F est un entier a determiner. En déduire la valeur numerique de l'angle & . Comparer avec l'estimation de la question C.10. 9/11 PROBLEME D : EFFET DOPPLER Un réseau plan par transmission est formé de traits fins parallèles séparés d'une distance a. Le faisceau lumineux incident a une direction fixe et fait l'angle variable «90 avec la normale au réseau. Le réseau peut tourner autour d'un axe parallèle aux traits. Questions expérimentales D.] A partir d'une source lumineuse utilisée en TP (lampe à sodium par exemple), comment peut-on D.2 D.3 D.4 D.5 obtenir un faisceau de lumière parallèle ? On fera un schéma. Comment s'appelle le dispositif expérimental sur lequel on pose le réseau et permettant de mesurer des angles avec une grande précision ? Au travers de quel instrument d'optique peut-on observer directement le faisceau de lumière diffracté par le réseau ? On donnera un schéma de principe de cet instrument d'optique en précisant bien la disposition des lentilles entre elles. Tracer aussi la marche d'un rayon quelconque frappant la face d'entrée de la première lentille. On supposera les conditions de Gauss vérifiées. Le grossissement angulaire de l'instrument d'optique utilisé dans la question précédente est ! , . a . , . , . . , defin1 par G = -- ou a est l angle sous lequel on observe a l oe1l nu les rayons d1ffractes et a a' l'angle sous lequel on observe les rayons après traversée de l'instrument. Exprimer ce grossissement en fonction des distances focales des lentilles utilisées. On supposera les conditions de Gauss toujours vérifiées La mesure des angles sur le dispositif de D.2 s'effectue avec un vemier angulaire précis à la minute. On rappelle que 1 minute (notation : 1') correspond à 1/60°. La figure 10 présente une situation de mesure d'angle avec un vemier. Donner la mesure de l'angle à la minute près. Vernier O' 49 -" lO' l/l/\... / _ÿ/ /////?///ÿ/ÿ/////ÜW/ OO 100 20° Figure 10 : vemier angulaire, la coïncidence des graduations est indiquée sur la valeur 4' 10/11 Diffraction par un réseau en transmission D.6 On appelle «9k l'angle correspondant au maximum principal d'ordre k pour la longueur d'onde dans le vide xl . Etablir la relation entre «90, «9k , k , xl et a. On justifiera ce résultat en s'appuyant sur un schéma clair précisant les différents chemins optiques. D.7 On appelle Dk la déviation entre le rayon émergent et le rayon incident. Exprimer Dk en fonction de «90 et «9k. Effet Doppler en astrophysique : le décalage vers le rouge « red-shift » Lorsqu'une source lumineuse est en mouvement par rapport à un observateur, il y a alors une variation de la longueur d'onde perçue par l'observateur. Le décalage est appelé effet Doppler. On appelle xle la longueur d'onde émise et À, la longueur d'onde reçue sur Terre. Si (: est la vitesse de la lumière dans le vide et v est la vitesse radiale d'éloignement de la source par rapport à la Terre, 1+V/C . On donne 6 = 299792458 m-s_1. \/1--vZ/c2 on montre que : xl, = /le  -- . . D.8 On pose 5 = '" EUR . Cette quant1té représente l'écart relat1f en longueur d'onde. Dans le cas 6 . . . v . , ou v << (: , expr1mer au prem1er ordre en -- la quant1te 6 . (: D.9 Une lampe à hydrogène émet, dans le visible, les radiations de longueurs d'onde dans le vide données en nanomètres dans le tableau ci-dessous : Radiation H H H Ha & 5 7 }. (nm) 656,3 486,1 434,0 410,2 A quelles couleurs correspondent ces différentes radiations ? D.10 On s'intéresse à une nébuleuse formée principalement d'atomes d'hydrogène. Combien de traits du réseau doivent être éclairés pour pouvoir détecter un écart À, --Àe = 10_2 nm dans l'ordre 1 pour la radiation H fl ? A quelle vitesse se déplace cette nébuleuse par rapport à nous ? On rappelle la formule du pouvoir de résolution d'un réseau dans l'ordre k: À , . , . , -- = k - N ou N est le nombre de tra1ts ecla1res. A Fin de l'énoncé 11/11