CCINP Physique et Chimie PSI 2020

SESSION 2020 C PSI2PC

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

PHYSIQUE - CHIMIE

Lundi 4 mai :14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de six parties.

1/14
Machine à courant continu et Hacheur
Application au funiculaire
Chlore et eau de javel

Partie I - Conducteur ohmique

Conducteur ohmique cylindrique en régime stationnaire

On considère (figure 1) un conducteur ohmique cylindrique, de conductivité 
électrique 7, de section
Set de longueur } parcouru par un courant électrique constant et uniformément 
réparti de vecteur

densité volumique de courant : / -- Je...

A
v

Figure 1 - Conducteur cylindrique

Q1. Rappeler la formulation locale de la loi d'Ohm en faisant intervenir 
d'abord le champ

électrique Æ puis le potentiel électrique V. Donner un ordre de grandeur de la 
conductivité
électrique du cuivre à température ambiante.

Q2. Proposer simplement une loi analogue appartenant à un autre domaine de la 
physique et
préciser les unités de toutes les grandeurs qui interviennent.

Q3. Donner, en fonction de 7, j et des caractéristiques géométriques du 
conducteur, les
expressions du courant électrique J traversant ce conducteur et de la 
différence de potentiel U
aux bornes de ce conducteur.

Q4. En déduire en fonction de y et des caractéristiques géométriques, la 
résistance électrique Ra
de ce conducteur.

Conducteur ohmique parallélépipédique, semi-infini, en régime sinusoïdal et 
effet de peau

On considère (figure 2) un conducteur ohmique, parallélépipédique, semi-infini 
suivant EUR,, de

hauteur } suivant EUR, et d'épaisseur p suivant EUR,. On se place en régime 
quasi-permanent dans

lequel la densité de courant dépend de x et du temps : j(x,1)= j(x,t Je, . On 
admet alors que j(x,i)
éj(xt)_ YCt)

Gx" OI

vérifie l'équation : D

Q5. Comment nomme-t-on ce type d'équation ? Préciser l'unité de D.

2/14
= 2

' 7 . S X |
On admettra dans la suite de cette partie que : j(x,f)= j,e ° cos(æt 5 Jé,, où 
= |-- .

L7@

Z, est la splitéabilité magnétique du vide et © la pulsation imposée par le 
courant.

Q6.

Q7.

Figure 2 - Conducteur parallélépipédique semi-imfin1

Définir, à l'aide d'une intégrale double, l'expression de l'intensité 
instantanée 1(t) du courant
transporté par ce conducteur.

_u T
®cos(@t------) de la fonction

D,
V2 4 6

On donne une primitive: F(u)=--
f(u)=e""* cos(ot-u/6).

En déduire l'expression de la valeur efficace Z.y de ce courant en fonction de 
p, jo et à.
Rappeler l'expression de la puissance volumique instantanée dissipée par effet 
Joule dans un

conducteur ohmique. L'intégration de cette grandeur sur le volume du 
conducteur, non
demandée 1c1, permet de déterminer l'expression de la puissance moyenne 
dissipée par effet

. 2
hÔ
Joule dans ce conducteur : P,,,, = Je L .
4

Exprimer la résistance du conducteur en fonction de h, p, y et o et interpréter 
la dénomination
« épaisseur de peau » associée à la grandeur ©.

Dans les questions suivantes, on considère le conducteur parcouru par un 
courant sinusoïdal de
valeur efficace Ze fixée.

Q8.
Q9.

Que peut-on dire de Prute dans le cas d'une conductivité infinie ? D'une 
conductivité nulle ?

Comparer Poule à haute et à basse fréquences. La résistance du conducteur 
dépend de la

fréquence f suivant la loi: R(f)=R(f, p[£ , Où fo est une fréquence de référence

0

quelconque. Déterminer la valeur de l'exposant a.

3/14
Partie II - Machine à Courant Continu (M.C.C.)

Dans les machines électriques, le principe de la conversion d'énergie 
électromécanique repose sur
l'interaction entre le champ magnétique créé par l'inducteur et le courant 
électrique circulant dans
l'induit.

Le circuit magnétique en fer amplifie et canalise les lignes de champs 
magnétiques. Il comporte un
entrefer séparant la partie statique (le stator) de la partie en rotation (le 
rotor).

Dans une M.C.C. à stator bobiné, l'inducteur comporte un grand nombre de spires 
en série,
alimentées par un courant continu de faible intensité, notée iex. Par 
l'intermédiaire de pièces
polaires, ce courant crée un champ radial dans l'entrefer.

Le rotor ou induit est constitué de plusieurs spires plates, connectées en 
parallèle les unes avec les
autres. Il est alimenté par une source de tension continue qui délivre un 
courant d'intensité I
importante.

On recherche dans cette partie à identifier la constante de temps électrique % 
de l'induit d'une
M.C.C..

Le bornier de la machine (figure 3) fait apparaître deux couples de bornes, 
l'un correspondant à
l'induit et l'autre à l'inducteur. Ils sont dénommés couple A et couple B.

+ = --
© O © ©
Couple A Couple B

Figure 3 - Bornier de la M.C.C.

Dans une première expérience, on mesure pour deux fréquences différentes, à 
l'aide d'un
impédance-mètre, à la fois la résistance R et l'inductance Z des deux 
enroulements de la M.C.C..
Les mesures sont regroupées dans le tableau 1.

Couple A Couple B
{= 120 Hz R4 = 4,61 Q ; La = 3,30 mH Rg = 160 Q ; Le = 822 mH
f= 1 kHz Ra = 8,82 Q ; La = 3,07 mH Rg = 920 Q ; Le = 568 mH

Tableau 1 - Mesures de résistances et d'inductances

Q10. Quel couple de bornes À ou B correspond a priori aux enroulements de 
l'induit ? Aux
enroulements de l'inducteur ?

Q11. Comment expliquez-vous que les résistances puissent augmenter avec la 
fréquence ? En
électromagnétisme, rappeler l'équation locale de Maxwell-Faraday ainsi que la 
loi de Lenz.
Comment expliquez-vous que les inductances puissent diminuer avec la fréquence ?

Dans une seconde expérience, on a bloqué le rotor de la machine. On a ensuite 
imposé entre Îles
deux bornes du couple À, un échelon de tension d'amplitude Vo = 10 V, à l'aide 
d'une alimentation
extérieure. On a relevé (figure 4), à l'aide d'un capteur à effet Hall, le 
courant Z4(t) circulant dans
l'enroulement correspondant au couple de bornes A.

4/14

2.5

Intensite en À

oo 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
Temps en $s

Figure 4 - Réponse à un échelon de tension, rotor bloqué

Q12. Justifier la nécessité de bloquer le rotor de la M.C.C..
Évaluer alors les valeurs de la résistance À, de l'inductance ZL et de la 
constante de temps
électrique 7° de l'association alimentation-M.C.C..
Ces valeurs sont-elles compatibles avec les relevés de la première expérience ?

Partie III - Commande de la machine

Dans une M.C.C., la force électromotrice (f.e.m.) induite est proportionnelle à 
la vitesse de rotation
de la machine. La source d'énergie est généralement une source de tension 
constante notée Uo.

Il convient donc de l'associer à un convertisseur statique pour pouvoir faire 
varier la vitesse de
rotation de la machine.

Q13. Un étudiant El propose d'intercaler, entre la source de tension continue 
Us et la M.C.C., un

pont diviseur de tension résistif composé d'une résistance R et d'une 
résistance R2 variable
(figure 5).

R; |

CO

Figure 5 - Pont diviseur résistif

M.C.C.

Vucc

Exprimer, en supposant l'impédance de la M.C.C. grande devant la résistance R2, 
la tension
Vu.c.c., aux bornes de la M.C.C., en fonction de Uo, de R1 et de R2.

5/14
Q14. Un étudiant E2 suggère au contraire d'utiliser un pont diviseur de tension 
capacitif, dont la
capacité du condensateur 2 est réglable (figure 6).

D

Figure 6 - Pont diviseur capacitif

:
e 2 = M.C.C.
>

Exprimer, en supposant l'impédance de la M.C.C. grande devant celles des 
capacités, la
tension V''c.c., aux bornes de la M.C.C.. en fonction de Uo, de C7 et de C2.

Q15. Un étudiant E3 suggère d'utiliser un amplificateur linéaire qui fonctionne 
en comparateur, de

façon à délivrer sur une période T de hachage (figure 7) une tension hachée U 
d'amplitude
+Wsa pour 1e[0;aT] et d'amplitude -Viarpour re[aT;T].

Tension
A

+ Va

v
un

ar T

F sat

Figure 7 - Tension hachée Ur
Déterminer en fonction de « et de Vs, la valeur moyenne V0 de la tension hachée 
Ur.

Q16. Présenter les avantages et les inconvémients de ces trois propositions en 
une dizaine de lignes
au maximum.

Industriellement, la source de tension continue d'amplitude Uo est connectée à 
la M.C.C. par
l'intermédiaire d'un hacheur. On considère 1c1 un hacheur série (figure 8), 
comprenant deux
composants de puissance : un transistor T et une diode D.

Nr
1
T

Uo D M.CC.

ÜUmc.c.

Figure 8 - Montage avec hacheur série

6/14
Le transistor est utilisé en commutation par l'intermédiaire d'une tension de 
commande Von. On
désire obtenir la tension hachée U,, représentée sur la figure 9. On note & le 
rapport cyclique du

hacheur et ; la fréquence de hachage ( f, = -- ).
h

U
MCC. à

Uo ----

X'Th T1}

Figure 9 - Tension hachée U

Pour faire simple, on admettra que le transistor est passant lorsque Vcom = +15 
V et qu'il est bloqué
lorsque Vcom = -15 V.

On s'intéresse 1c1 au circuit électronique qui permet de générer la tension de 
commande Vcom du
hacheur série.

Dans tout le sujet, les amplificateurs linéaires (A.L1.) sont supposés 
d'impédance d'entrée infinie et
d'impédance de sortie nulle. En mode linéaire, leur gain est considéré comme 
infini. On note +Wsur
leur tension de saturation, avec Pix = 15 V.

On considère le circuit de commande de la figure 10. La résistance R3 est une 
résistance variable,
les deux autres résistances sont de valeurs fixes.

4
1 R5
Ke _ A.L1.1 A |
7 R4 + A.L1.2
+
V4 _ Ve
[TIT7 / [7777

Figure 10 - Circuit de commande du hacheur

Q17. Préciser pour chacun des amplificateurs linéaires, s'il fonctionne, a 
priori, en régime linéaire
ou saturé.

y
Q18. Déterminer, en fonction de R3 et C, la fonction de transfert Æ( jæoe) = 
--< du montage lié à B l'amplificateur linéaire A.L1.1. Quelle est la fonction réalisée par cette partie du montage ? Q19. Quelle fonction réalise le montage lié à l'amplificateur linéaire A.L1.2. ? RV Le de Q20. On suppose que V,((--=0)=--%, En veillant à indiquer toutes les informations nécessaires, 5 tracer sur un même graphe, l'allure des deux tensions V4 et Vs en fonction du temps. Comment sont modifiées ces tensions lorsqu'on augmente la résistance R3 ? 7/14 Dans la suite du sujet, on suppose R5 = 2R4. Q21. On connecte le point A du circuit précédent (figure 10) au point C du circuit décrit sur la figure 11. Un potentiomètre relié à un ensemble de deux condensateurs et une source de tension constante Vn -- 15 V, permettent d'imposer le potentiel de l'entrée non inverseuse de l'amplificateur linéaire A.L1.3. On a ainsi : PV" = BV. CC ------ - A.L1.3 D P + PV --_-- Potentiomètre VD = Vcom HE [D y v Vn = 15 V Figure 11 - Circuit supplémentaire Sur quel intervalle varie la grandeur £ ? Dessiner l'allure de la tension Vp(t) dans les deux cas correspondant à = 1/3 et = -1/3. Q22. La tension Vp(t) est utilisée pour commander le transistor du hacheur série qui alimente la M.C.C., on a ainsi : Vcom(t) -- Vp(t). Préciser les relations qui relient la fréquence de hachage fr et le rapport cyclique &' du hacheur aux différents éléments présents dans les circuits électroniques représentés sur les figures 10 et 11. Partie IV - Aspects thermiques En cours de fonctionnement, un transistor dissipe de l'énergie, 1l se comporte comme une source de chaleur de puissance P.(t). Il est encapsulé dans un boîtier (figure12) que l'on supposera 1c1 en contact avec le milieu atmosphérique. On note C: la capacité thermique du transistor et C? celle du boîtier. La conductance thermique transistor-boîtier est notée G# et celle du boîtier-extérieur est notée Gr. Les températures du transistor et du boîtier sont respectivement notées 7{(t) et Ti(t). La température de l'extérieur notée Lext est constante. Boîtier Transistor Figure 12 - Transistor et boîtier 8/14 Q23. Rappeler brièvement le lien qui existe entre une résistance thermique et une conductance thermique. Préciser l'unité d'une conductance thermique. Q24. En faisant un bilan thermique sur le transistor, écrire l'équation différentielle reliant P;(t), T{t), Th(t), C: et Gb. Q25. En faisant un bilan thermique sur le boîtier, écrire l'équation différentielle reliant 75(t), Texr, Ch, Gib et Gbe. Q26. Une analogie thermique-électrique permet de construire le schéma électrique équivalent suivant (figure13). nr NS £ P( D LC Ce >) Cu)
(LD) .

[1177

Figure 13 - Schéma électrique équivalent

Remplacer les bulles B:1, B2 et B3 par les éléments électrocinétiques adéquats. 
Préciser à quoi
correspondent les potentiels V7, V2 et V3.

Pour favoriser les échanges thermiques avec le milieu extérieur, les différents 
composants de

l'électronique de puissance (diodes, transistors) sont généralement montés sur 
des radiateurs
(figure 14).

Figure 14 - Composants et radiateurs

9/14
On se propose ici de dimensionner la taille d'une ailette de refroidissement 
appartenant à l'un de
ces radiateurs. L'ailette (figure 15) est assimilée à un parallélépipède 
d'épaisseur e -- 2 mm, de
largeur b = 10 cm >> e et de longueur a = 20 cm.

dx
Hé *
LAS 2
0 | CT 7 + > x

D | D.
_ D

Figure 15 - Aïlette de refroidissement

On se place en régime stationnaire, la température sur la face de l'arlette 
située en x = 0 est 70 -- 65 °C,
la température de l'air ambiant est 74 = 15 °C.

Le transfert thermique conductif est supposé unidimensionnel dans la direction 
de l'axe Ox. Il obéit
à la loi de Fourier. La conductivité thermique de l'ailette est: 4 = 16 
W-m'!-K-!. Le transfert
thermique de l'ailette vers l'air ambiant est tel que la puissance thermique 
échangée par la surface
latérale dS d'un élément de longueur dx est de la forme : dP = h(T{(x)-T:)dS où 
h une est constante
de valeur numérique : 160 SLI.

Q27. Quelle est l'unité de h ? Pourquoi est-1l nécessaire, pour notre étude, de 
décomposer le
transfert thermique entre l'ailette et l'air ambiant en éléments infinitésimaux 
de longueur dx ?

Q28. Établir l'équation différentielle vérifiée par 7{x) en faisant apparaître 
une longueur
caractéristique L qui s'exprime en fonction de 2, e et h. Calculer puis 
comparer les valeurs de
L et a.

Q29. Expliquer pourquoi on peut considérer a comme infinie, puis déterminer le 
profil de
température 7(x).

Q30. Exprimer en fonction de 79, Ta, b, h, À et e la puissance thermique totale 
évacuée par l'ailette.
Peut-on réduire la longueur de l'ailette sans diminuer sensiblement son 
efficacité ? Si oui,
proposer une nouvelle longueur notée a". Commenter la forme des radiateurs 
apparaissant sur
la figure 14.

10/14
Partie V - Le funiculaire

Un funiculaire (figure 16) est un moyen de transport en site propre. Il se 
compose généralement de
deux rames circulant sur des rails en pente et dont la traction est assurée par 
un câble pour
s'affranchir de la déclivité du terrain. Il est utilisé comme transport en 
commun, notamment en
milieu urbain, pour la desserte d'un territoire communal au relief difficile. 
On le retrouve
également dans certaines stations de montagne.

Figure 16 - Funiculaire

Les rames sont reliées par un ou plusieurs câbles. Le travail du poids de la 
rame descendante
compense tout ou partie du travail du poids de la rame montante. L'énergie à 
fournir pour la
traction reste ainsi relativement faible. Le moteur électrique actionnant le 
câble permet de fournir
la puissance perdue par le frottement des roues sur les rails, celle perdue 
dans le système poulie-
câble ainsi que celle, éventuellement nécessaire, pour vaincre la différence de 
poids entre les deux rames.

On considère un funiculaire motorisé par une M.C.C. dont les caractéristiques 
principales
techniques sont regroupées dans le tableau 2.

Dénivelé : 250 m

Pente* maximale : 30 %

Longueur développée : | 1 000 m

Débit de montée : 1 500 personnes par heure
Vitesse d'exploitation : | 2m:s'!

Tableau 2 - Caractéristiques du funiculaire

* La pente est définie comme le rapport = , Où d] correspond à une petite 
longueur de voie et dh la
petite différence d'altitude correspondante.

Les puissances électriques consommées lorsque les deux rames sont toutes les 
deux pleines ou toutes
les deux vides sont très peu différentes et considérées toutes les deux égales 
à 4 kW.

Q31. Estimer, en prenant les initiatives qu1 s'imposent, la puissance 
électrique consommée lorsque
la rame de montée est pleine et la rame de descente demi-pleine.

Q32. Que pensez-vous de l'utilisation d'un hacheur série pour alimenter la 
M.C.C. du funiculaire ?
Vous expliciterez en particulier le cas où la rame de descente est pleine et la 
rame de montée
peu chargée et vous proposerez une ou des solution(s) pour récupérer l'énergie 
dans cette
configuration.

11/14
Partie VI - Chlore et eau de Javel

Classification périodique des éléments

Q33. À quelle période et quelle colonne appartiennent les éléments Na et **CI ?

Préciser la configuration électronique du chlore dans son état fondamental.

Q34. À quelle famille ou groupe appartient le sodium ? Le chlore ? Citer deux 
autres éléments
appartenant à la même famille que le chlore.

Solubilité du chlorure de sodium en solution aqueuse

On appelle solubilité d'une espèce la quantité maximale de cette espèce 
initialement solide qu'on
peut dissoudre dans un litre d'eau. Cette quantité est maximale lorsqu'il reste 
à l'équilibre une
partie du solide non dissoute. La solubilité est notée s et s'exprime 
usuellement en mol-L'|.

On se propose de déterminer expérimentalement la solubilité du chlorure de 
sodium en solution
aqueuse à température ambiante.

Dans un bécher contenant 100 mL d'eau, on ajoute environ 60 g de chlorure de 
sodium. Bien qu'on
agite suffisamment longtemps, 1l reste une partie du solide qui ne s'est pas 
dissout. On filtre et on

récupère le filtrat qu'on dilue au millième. La mesure de la conductance de 
cette solution diluée
donne G = 780 LS.

On a réalisé par ailleurs la courbe d'étalonnage G = f(C) pour différentes 
solutions de chlorure de
sodium (figure 17), avec C la concentration exprimée en mmol-L'|.

G(US) 900 -
800 - o
700 -
600 -
500 -
400 - o
300 -
200 -
100 -

0 © I I Ï I I Ï |
0 Ï 2 3 = 5 6 7

Concentration (mmol-L:})

Figure 17 - Courbe d'étalonnage
Q35. De quoi dépend la conductivité électrique d'une solution ? Laquelle des 
deux cellules A ou B,

photographiée (figure 18) est associée au conductimètre ? À quel type de mesure 
peut servir
l'autre cellule ?

12/14

Cellule A Cellule B

Figure 18 - Cellules
Q36. Déterminer la solubilité s du chlorure de sodium à température ambiante.
Diagramme potentiel -pH (E-pH) du chlore et de l'iode
Les espèces prises en compte dans les diagrammes E-pH du chlore et de l'iode 
(figure 19)

sont respectivement HCIO, CF, CIO", Clzaa et I2(ag), 103', F°.
Ces diagrammes sont construits pour une concentration totale en espèce dissoute 
de 0,1 mol-L|.

---- diagramme E-pH du chlore

__ diagramme E-pH de l'iode

Efv}

05

CT
co
are
FJ
=
Le

L " # Î FF LL: LI Fe L. ni Î F
0 2 à GE
uH

Figure 19 - Diagrammes E-pH du chlore et de l'iode

Q37. Préciser le nombre d'oxydation du chlore dans chacune des espèces 
considérées. Associer à
chacun des domaines (A, B, C, D) une espèce chimique du chlore.

Dosage d'une eau de Javel

Une eau de Javel est une solution basique supposée équimolaire de CT et de 
CIO". On désire
vérifier, à l'aide d'un dosage, la concentration Co en CIO" ou CT d'un produit 
commercial.

13/14
Rappels

On rappelle que le diode est soluble dans l'eau en présence d'une quantité 
suffisante d'iodure de
potassium et prend alors une couleur jaune brunâtre. Il forme en présence 
d'empois d'amidon un
complexe de couleur bleue.

Attention le dichlore gazeux est un produit dangereux.

Protocole

Étape 1 : on dilue d'un facteur 100 le produit commercial. On prélève ensuite 
un volume Vi de
solution diluée.

Étape 2 : on ajoute de l'iodure de potassium (K*, [°) en excès.

Étape 3 : on acidifie la solution en ajoutant quelques gouttes d'une solution 
d'acide chlorhydrique
concentrée. La solution prend alors une couleur jaune brunâtre.

Étape 4 : on ajoute une faible quantité d'empois d'amidon pour que le dosage ne 
soit pas perturbé.
La solution est alors de couleur bleue intense.

Étape 5 : on dose alors la solution par une solution de thiosulfate de sodium 
(2Na', S203°) de
concentration connue C7. On note V4 le volume de thiosulfate versé à 
l'équivalence, repéré par le
changement de couleur.

Q38. Écrire l'équation bilan de la réaction chimique qui s'est produite lors de 
l'étape 2.
Pourquoi faut-il mettre de l'iodure de potassium en excès ?

Q39. Écrire l'équation bilan de la réaction chimique qui s'est produite lors de 
l'étape 3. Quel nom
porte cette équation d'oxydo-réduction ?

Q40. Pourquoi ne fallait-1l pas acidifier la solution avant l'ajout de l'iodure 
de potassium ?
Q41. Écrire l'équation bilan de la réaction qui a lieu avec le thiosulfate de 
sodium.

Q42. Déterminer la concentration Co en fonction de Vin, Vega et C1.

FIN

14/14