CCINP Physique et Chimie PSI 2024

SESSION 2024 PSI2PC

CONCOURS
COMMUN

NP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

|

PHYSIQUE - CHIMIE

Durée : 4 heures

NB. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le Signalera sur Sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

« _ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.

. Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre parties indépendantes.

Des données se trouvent en fin de sujet.

1/15
FORT BOYARD

Le fort Boyard est une ancienne fortification militaire située au large des 
côtes de La Rochelle entre
l'île d'Aix et l'île d'Oléron. La construction s'achève en 1857 avec pour 
objectif initial de défendre la
rade contre les anglais. Vite devenu inutile, il est transformé en prison avant 
d'être abandonné. En
1990, il retrouve une utilité grâce à l'émission Fort Boyard que l'on ne 
présente plus.

Ce sujet comprend quatre parties indépendantes, en lien avec l'émission Fort 
Boyard.

2115
Partie | - Mégagaf

Dans cette épreuve, après une démonstration de Mégagaf (Vincent Lagaffe), un 
des candidats doit
s'élever, à l'aide d'un flyboard, à environ cinq mètres de la surface de l'eau 
afin d'attraper la clé
suspendue dans les airs (figure 1).

1.1 - Présentation du système

Un flyboard est une plateforme sur laquelle les pieds d'un individu sont fixés 
et qui est composée :

e d'un tuyau de section S, amenant jusqu'au flyboard de l'eau pompée par un 
jetski situé plus
loin à la surface de l'eau ;

e de deux tuyères de section S; évacuant l'eau à grande vitesse vers le bas 
dans l'air extérieur
à la pression uniforme P, (indépendante de z).

Dans toute la suite, on adopte les notations et la géométrie simplifiée de la 
figure 2 sur laquelle le

tuyau central, beaucoup plus long si on respecte l'échelle, a été tronqué par 
aspect pratique, mais
il fait partie du système.

On ne s'intéresse pas au système de pompage (jetski) et on suppose que l'eau 
est propulsée depuis
la surface de l'eau (z = 0) à la vitesse v, et à la pression P..
L'eau est considérée comme un fluide parfait homogène incompressible de masse 
volumique y.

On note :
e M, la masse d'eau contenue dans le dispositif flyboard (ensemble des tuyaux) ;
e M=M. + My, la masse de l'ensemble {candidat + flyboard (sans l'eau qu'il 
contient); ;
e 1, = ||] la vitesse de l'eau à l'entrée du flyboard ;
e y, = |[7,|| la vitesse de l'eau à la sortie du flyboard.

3/15
. h EUR H
5 | RS Y
m|P, P [®
# 1
surface de l'eau [Sè F e[ve

Figure 2 - Schématisation du flyboard

1.2 - Vitesse d'expulsion nécessaire à l'équilibre

Q1. Peut-on appliquer le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de 
Newton) au
système {candidat + flyboard + eau qu'il contient} ? Justifier.

On désire effectuer un bilan de quantité de mouvement pour le système 2" = {eau 
contenue dans
le flyboard}, grisé et délimité par les pointillés dans la figure 2. Pour ce 
faire, on se place en régime
stationnaire et on suppose le candidat en équilibre à l'altitude À = 5 m.

Q2. Que signifie concrètement, pour les grandeurs v,, %, S, et S, le fait de se 
placer en régime
stationnaire ?

Q3. Définir le système fermé Z correspondant au système ouvert Z" en précisant 
sa composition
à l'instant f et à l'instant t + dt.

Q4. Rappeler la définition générale du débit volumique D, et justifier qu'il se 
conserve ici le long
de l'écoulement. En déduire deux expressions de D, en fonction de v,, v, S. et 
de Si.

Q5. Effectuer le bilan de quantité de mouvement en projection sur e,. En notant 
F e, la force
exercée par l'eau sur les parois intérieures du flyboard, montrer que :

F = ESe + 2PoSs - Meaug + uD$a

où « est une constante dont on déterminera l'expression en fonction de S, et de 
S..

Q6. Après avoir vérifié toutes les hypothèses nécessaires, appliquer le 
théorème de Bernoulli entre
deux points à préciser afin d'exprimer F, en fonction de P,, u, g, H, D,,, S, 
et de Sk.

Q7. Déduire des trois questions précédentes que :
F = PoC2Ss + Se) _ Meaug + ugHSe + uD£B

où £ est à expliciter en fonction de S, et de S..

La masse d'eau contenue dans le flyboard se décompose en deux parties :

e première partie : la masse d'eau contenue dans le tube d'alimentation de 
hauteur À et de
section S, ;

e deuxième partie : la masse d'eau contenue dans les tuyaux de la plateforme, à 
une
distance h sous les pieds du candidat.

Puisque l'on s'intéresse à un vol stationnaire à une altitude de cinq mètres, 
on a H > h et on néglige
donc la masse d'eau contenue dans cette deuxième partie.

Q8. Donner l'expression de M..,, en fonction de À. En déduire une expression 
simplifiée de F.

4/15
Q9. Appliquer le PFD, toujours en projection sur e,, au système {candidat + 
fl}board à vide (sans
l'eau quil contient)} considéré comme étant à l'équilibre à l'altitude À dans 
le référentiel
terrestre supposé galiléen. Montrer que le débit volumique D,., permettant cet 
équilibre
s'écrit :

_-- [Mg
Dyeq = LE
Q10. L'application numérique donne D,,e4 = 6,0:10* m°:s". En déduire les 
valeurs numériques de

v, et de v, à 0,1m-s" près, avec S, = 80 cm et S, = 25 cm°.

1.3 - Puissance de la pompe

L'eau de mer est poussée vers le flyboard à travers le tube d'alimentation par 
la pompe d'un jetski
qui pompe de l'eau à la surface de la mer (pression P,) et l'injecte à la base 
du tube, lui aussi à la
surface de la mer, à la pression F > Ps.

On néglige les variations d'énergie cinétique, d'énergie interne, et d'énergie 
potentielle de pesanteur
entre l'entrée et la sortie de la pompe.

On cherche à évaluer la puissance minimale de la pompe permettant la pratique 
du flyboard.

1.3.1 - Non prise en compte des pertes de charge dans le tuyau d'alimentation

Q11. En prenant g = 10m:s°, H = 5,0 m, u = 1,0:10* kg-m* et en reprenant les 
valeurs de la Q10
pour $, et S., déterminer par un calcul d'ordre de grandeur, la bonne valeur 
numérique pour
AP=F -P, parmi:

À P = 0,09 bar À P = 0,9 bar AP =9 bar.

1.3.2 - Prise en compte des pertes de charge dans le tuyau d'alimentation

Le tuyau d'amenée d'eau qui va du jetski au flyboard est cylindrique. On note £ 
sa longueur et

d son diamètre. Pour éviter que le tuyau ne soit tendu et retienne le sportif 
et pour laisser du mou
au conducteur du jetski, la longueur de ce tuyau est très supérieure à la 
hauteur maximale que peut
atteindre le flyboarder. En pratique £ = 20 met d = 10 cm.

L'eau, de viscosité dynamique n = 1,0-10* PI, y circule avec le même débit 
volumique qu'à la Q10,
D,, = 6,0:10* m°-s"1. La rugosité absolue du tuyau, quant à elle, vaut EUR = 
0,05 mm.

On admet que la viscosité de l'eau implique une perte de charge AF. telle que 
la pression en entrée
du tuyau est en fait P, + AF. > P, avec:

vabel . . ,
AF. = ir avec a, b EUR Q et K un coefficient adimensionné.
Q12. Par analyse dimensionnelle, établir les valeurs numériques de a et de b.

Q13. En admettant que la puissance F,ompe fournie par la pompe est égale à la 
puissance des
forces de pressions, exprimer F,ompe EURn fonction de la rehausse de pression 
totale qu'elle
procure F, + AFC - PF. On admet que l'application numérique donne F,5mpe = 12 
KW.

Commenter la faiblesse de la valeur obtenue sachant que la gamme de puissance 
recommandée
pour le jetski pilotant le flyboard est de 75 KW - 125 KW.

9/15
Partie Il - Milieu marin

Le principal sel neutre dissous dans l'eau de mer est le chlorure de sodium. Il 
s'agit d'un composé
chimique ionique de formule NaClI. Il est notamment un facteur aggravant de la 
corrosion qui touche
toutes les infrastructures construites en bord de mer ou pire, en pleine mer, 
comme le fort Boyard.

1.1 - Structure cristallographique du chlorure de sodium

Le chlorure de sodium NaCl est un cristal ionique dans lequel les ions Na° 
forment un réseau de
type cubique face centrée (cfc) de paramètre de maille a, représenté figure 3. 
Les ions CF, quant
à eux, se logent dans les sites octaédriques.

On note r le rayon d'un cation Na° et À le rayon d'un anion CF.

a

Figure 3 - Structure de type cubique face centrée

Q14. Combien y a-t-il d'ions sodium par maille ?

Q15. Préciser la position des centres des sites octaédriques. Combien y en 
a-t-il par maille 7?
Sont-ils tous occupés par les atomes de chlore ?

On donne r = 97 pm, À = 181 pm et a = 556 pm. On admet que av2 = 786 pm et av3 
= 963 pm.

Q16. Préciser si les ions Na* sont tangents entre eux et si oui, préciser 
suivant quel alignement.
Préciser si les ions Na* et Cl sont tangents entre eux et si oui, préciser 
suivant quel
alignement.

Q17. Exprimer, en fonction de r et de À, la compacité du cristal de NaCI.

Q18. Exprimer la masse volumique pnaa du chlorure de sodium en fonction de r et 
de À ainsi que
des masses molaires M(Na) et M(CI). Indiquer ensuite la valeur numérique 
correcte parmi les
valeurs suivantes :

PNaci = 2,16 gcmM* ; Pac = 216 g-dmM* ; Pnaci = 21,6 Kgm*.

6/15
11.2 - Enthalpie de dissolution du chlorure de sodium dans l'eau

Expérience 1

On place dans un calorimètre une masse m, = 300 g d'eau ainsi qu'un thermomètre 
et un barreau
aimanté. L'ensemble est à température ambiante T;, = 20 °C. On ajoute 
rapidement une quantité
m; = 200 g d'eau à T, = 60 °C. À l'équilibre, on relève une température T; = 35 
°C.

Expérience 2

On introduit dans le même calorimètre, toujours équipé d'un thermomètre et d'un 
barreau aimanté,
une masse m3 = 500 g d'eau. Le tout est à température ambiante T, = 20 °C.

Puis on introduit rapidement une masse m, = 50 g de chlorure de sodium 
initialement à la
température ambiante T;, = 20 °C.

On mesure alors une baisse brutale de température AT = -1,5 °C.

On note c, la capacité calorifique massique de l'eau à pression constante, 
supposée indépendante
de la température. De plus, la capacité calorifique d'une solution sera 
assimilée à celle de l'eau pure
qu'elle contient.

Q19. Exprimer la capacité thermique C du calorimètre équipé de ses accessoires 
(thermomètre +
barreau aimanté) en fonction de c,;, M1, M, T, 1, et de T3.

Q20. Exprimer l'enthalpie massique de dissolution de NaCI dans l'eau, notée Ah, 
en fonction de
Ce, C, M3, m, et de AT.

Q21. Quel est l'effet d'une augmentation de température, à pression constante, 
sur la solubilité du
chlorure de sodium dans l'eau pure ? Justifier.

11.3 - Phénomène de corrosion

Lorsqu'une goutte d'eau stagne à la surface d'un métal, noté M, on observe 
qu'un phénomène de
corrosion se développe principalement au centre de la goutte (figure 4).

O> ca TT
Æ H20 ou OH A |
Métal M
* LE

Goutte d'eau

Figure 4 - Corrosion d'un métal par une goutte d'eau

Le métal est oxydé au centre en ions M. Les électrons libérés circulent dans le 
métal. Ils sont
récupérés par le dioxygène, plus concentré en périphérie, qui se réduit.

Q22. Quels sont les porteurs de charge qui assurent le rebouclage du courant 
électrique dans la
goutte ? Pourquoi le phénomène de corrosion est-il plus prononcé en milieu 
marin que dans
les terres ?

Q23. On considère le phénomène d'oxydation par une goutte d'eau d'un ensemble 
constitué d'une
pièce de ferronnerie (assimilable à du fer) reliée électriquement à une autre 
pièce en zinc.
Écrire l'équation chimique de la réaction d'oxydo-réduction qui a lieu. Comment 
se nomme ce
type de protection ?

715
Q24. On note m, la masse de la pièce de zinc, M, la masse molaire du zinc, F la 
constante de
Faraday et 1 le courant de corrosion. Exprimer la durée de protection At de la 
pièce de
ferronnerie en fonction de mzr, M2», F et de 1.

Partie III - Le Conseil

Après avoir récupéré suffisamment de clés, les candidats se rendent au Conseil 
pour y affronter les
Maîtres du temps dans plusieurs duels afin de récupérer un maximum de temps 
dans la salle du
trésor. L'un de ces duels est baptisé l'aquarium (figure 5).

Figure 5 - Duel de l'aquarium

Dans ce duel, le candidat et le Maître du temps ajoutent chacun à leur tour un 
boyard (une pièce)
dans un verre, initialement vide, flottant dans un aquarium. Le premier à faire 
couler le verre a perdu.

On suppose que :

le bocal est suffisamment profond pour que le verre puisse couler intégralement 
;

le verre reste au centre du bocal et ne touche jamais les bords ;

le verre, de masse VW, est cylindrique de hauteur h ef de base circulaire 
d'aire S ;

le fond du verre reste toujours horizontal (il ne peut pas s'incliner comme sur 
la figure 5) ;
les pièces ont une masse m et sont toutes horizontales, empilées les unes sur 
les autres au
fond du verre, bien alignées (pas comme sur la figure 5).

Le système ainsi modélisé est représenté figure 6 (avec n = 3 pièces).
Données numériques :

masse du verre : M = 125 g;

surface de la base du verre : S = 2,0-10% m° ;
hauteur du verre : h = 10 cm;

masse d'une pièce : m=10g;

épaisseur d'une pièce : e = 2,0 mm;

masse volumique de l'eau : u = 1,0:10*° kg-m*.

8/15
Q25. Sachant que le Maître du temps joue en premier, qui remporte le duel ? 
S'agissant d'une
question de type "résolution de problème ", un raisonnement détaillé et 
rigoureux est attendu.
Tout élément de raisonnement correct, même partiel, sera récompensé.

Q26. Exprimer, puis calculer la variation d'altitude Az du sommet de la pile de 
pièce par rapport à
la surface de l'eau lors de l'ajout d'une pièce. Le sommet de la pile est-il 
monté ou descendu ?

VEILTE

pièces

bocal rempli d'eau

Figure 6 - Schéma du système avec 3 pièces

9/15
Partie IV - L'épreuve de la caserne

L'épreuve de la caserne (figure 7) utilise un tapis roulant motorisé par une 
machine asynchrone.
Nous nous proposons ici d'en décrire le fonctionnement en régime permanent. 
Aucune
connaissance préalable sur la machine asynchrone n'est requise.

Figure 7 - Épreuve de la caserne

[V.1 - Présentation de la machine asynchrone

La machine asynchrone est constituée d'un rotor et d'un stator tous deux en fer 
feuilleté. Le rotor et
le stator sont séparés par un entrefer de très faible largeur.

Dans la machine asynchrone diphasée, le stator est analogue au stator de la 
machine synchrone
diphasée. Il se compose de deux enroulements décalés spatialement d'un angle de 
x/2 et alimenté
par des courants sinusoïdaux en quadrature de phase. Ces enroulements seront 
identifiés, dans
toute la suite du problème, par les dénominations S, et S;.

Le rotor se compose également de deux enroulements, décalés spatialement d'un 
angle de x/2.
Is ne sont reliés à aucune alimentation mais refermés sur eux-mêmes et donc en 
court-circuit. Ces
enroulements seront identifiés dans toute la suite du problème par les 
dénominations R, et R,.

On définit la base (e,,e,, e;) liée au référentiel fixe, donc au stator. Le 
vecteur e,; est normal à
l'enroulement S.. Le vecteur e, coïncide avec l'axe longitudinal de la machine.

10/15
IV.2 - Étude du stator

On s'intéresse d'abord au seul enroulement S, du stator.

On a représenté (figure 8) les lignes de champ magnétique créées par la spire 
centrale de
l'enroulement S, du stator, de vecteur normal e,, parcourue par un courant is, 
(t). Cette spire
centrale est représentée en coupe par son conducteur "aller ", orienté suivant 
le vecteur e,, et son
conducteur " retour ", orienté suivant -- e,.

Figure 8 - Champ magnétique créé par la spire centrale de l'enroulement S, du 
stator.

On définit la base (e,, eo, e,) des coordonnées cylindriques (figure 9), où e, 
coïncide avec l'axe
longitudinal de la machine. Un point M de l'entrefer est repéré par ses 
coordonnées (r,0,z). On a

ainsi OM = re,.

Figure 9 - Repérage d'un point de l'entrefer

Dans un modèle simple, on considère que la norme du champ magnétique est 
uniforme dans
l'entrefer.

On désigne par Bpire(@, t) = Bipire(0, t) EUR, le champ magnétique créé par 
cette spire centrale de
lenroulement S, en un point M(r, 0) de l'entrefer.

On donne figure 10 la représentation graphique de la fonction B,,;.-(0,t) pour 
is >0et0 E [--x, x].

\ Bspire (0, t)

--TT -- 1/2 TT /2 TT

Figure 10 - Modélisation simplifiée du champ créé par une seule spire de S, 
dans l'entrefer

11/15
L'enroulement S; du stator, parcouru par le courant 1, (t), n'est pas constitué 
d'une seule spire
mais de n spires décalées les unes par rapport aux autres. Le champ magnétique 
créé par
l'ensemble des spires de l'enroulement S, du stator est noté Be, (8,t) = 
Bs,(6,t)e,.

On donne figure 11 la représentation de la fonction Bs (6,t) pour is, > 0 et 
pour 0 EUR [--7, x].

© Bs,(6,EUR)

[ |
| | > 6
--T [| --nr/2 0 T/2-- TT
E |

Figure 11 - Modélisation simplifiée du champ créé par l'ensemble des spires de 
l'enroulement S;
dans l'entrefer

Q27. Préciser le nombre n de spires de l'enroulement S.,, décalées les unes par 
rapport aux autres,
qui permettent de créer le champ magnétique B:.(6, t) de la figure 11.

Dans la suite du problème, on admettra que les enroulements S, et S, du stator 
créent dans
l'entrefer les champs magnétiques :

Es ë) = Ksis, (#) cos(O)er

Bs, (0, EUR) = Ksis, (t) sin(6)e;

Par ailleurs, une alimentation électrique impose les courants :
Fe -- ÎsmaxCOS (@st)
is, (EUR) = IsmaxSin (st)

Q28. Déterminer l'expression du champ magnétique Bs créé par l'ensemble des 
deux enroulements
S, et S> du stator dans l'entrefer. On posera Bso = Kslsmax. JUStifier que ce 
champ
magnétique est un champ tournant dans le référentiel du stator à une vitesse 
angulaire w que
l'on précisera.

Le rotor est repéré par sa position angulaire 8,. La position 8, = 0 correspond 
à l'alignement des
enroulements S. du stator et À, du rotor.

On définit la base (e,,, e,, e,) liée au référentiel tournant du rotor (figure 
12). Le vecteur e, coïncide
avec l'axe longitudinal de la machine. L'enroulement R, est orienté par le 
vecteur normal e,,,
l'enroulement R, est orienté par le vecteur normal e,,. Par souci de clarté, 
seules les spires centrales
des enroulements S, et À, sont représentées sur la figure 12.

12/15
Figure 12 - Repérage de la position 8, du rotor
On note :
e À et L, la résistance et l'inductance propre de chaque enroulement du stator ;
e  kRR et LR la résistance et l'inductance propre de chaque enroulement du 
rotor ;

o Msr,= MsRcos(BR) (avec MR Une constante) l'inductance mutuelle entre les 
enroulements
S. du stator et À. du rotor ;

© Ms,r,= MsrSin(62) l'inductance mutuelle entre les enroulements S; du stator 
et R; du rotor.

Q29. Que vaut l'inductance mutuelle M, entre les enroulements S; et S, du 
stator ? Que vaut la
mutuelle M} R, entre les enroulements À, et R, du rotor ?

Q30. Exprimer l'inductance mutuelle Ms À, entre les enroulements S; du stator 
et R, du rotor en
fonction de M,R et de 0}, ainsi que la mutuelle Ms,R, entre les enroulements S, 
du stator et
R; du rotor.

On se propose d'écrire l'équation électrique qui définit le courant ik, (t) 
associé à l'enroulement R;
du rotor.

Q31. Comment peut-on expliquer qu'un courant i}. (t) circule dans l'enroulement 
R, alors qu'il n'est
relié à aucune alimentation ?
Q32. On note respectivement sr, et Ds,r, les flux créés dans l'enroulement R; 
du rotor par les

enroulements S; et S, du stator. Exprimer le flux sk, en fonction de Mk, 0R et 
du courant
is, (t). De même, exprimer le flux Ds,Rr, en fonction de MR, 0R et du courant 
is, (+).

On suppose que le rotor tourne à la vitesse angulaire constante Q = Q e, avec 0 
< { < w. On suppose également qu'à t = 0, 08,(0) = 0 de sorte que 0,(t) = Qt. Q33. En remarquant que 0, et is. dépendent du temps, exprimer en fonction de Msx, is, Q et det la force électromotrice (fem) es Rk, induite par S; dans R;. Faire de même pour la fem es, r, induite par S, dans R;. On ne développera pas les expressions de is, (t), is,(t) et de leur dérivée dans cette réponse. Q34. En déduire l'équation différentielle vérifiée par le courant i, (t) en fonction de Re, Le, Msr, (,tetde is (t), is, (t) et de leur dérivée. Cette équation différentielle peut être écrite sous la forme : dir: dt Préciser les expressions de À et de w en fonction de Msp, lomax ; ©$ et de (1. LR +RkRir, -- A sin(wt) 13/15 En régime permanent, le courant ik (t) est sinusoïdal ; on note w} sa pulsation et J2:54x Son amplitude maximale. Q35. On rappelle que w$ > (1. Exprimer w, en fonction de w, et de {).
Q36. Exprimer /22% en fonction de R2, Lr, Msp, Ismax, © et de (1.

Que peut-on dire de 1»5:% Pour ws = (A ?

Justifier alors le qualificatif de machine asynchrone.

On suppose que les courants ik. (t) et ik, (t) sont de la forme :

qe (t) -- IRmaxSiN(wRt = p)
LR, (t) = -- IrmaxCOS(wRt -- D)

LROR
avec @ = arctan R
R

Les enroulements À, et À, du rotor créent respectivement, dans l'entrefer, des 
champs exprimés
dans le référentiel fixe (celui du stator) de la forme :

Por t) = Kpip, (©) cos(0 -- Or) EUR;
B,(0,t) = Kpir,(t) sin(8 -- Or) EUR;

Q37. Dans le référentiel fixe (lié au stator), à quelle vitesse angulaire 
tourne le champ créé par le
rotor ? Commenter.

Q38. Dans une machine à courant continu, le champ statorique est stationnaire. 
Les champs
statorique et rotorique sont-ils synchrones quelle que soit la vitesse de 
rotation du rotor ? Si
oui, expliquer brièvement comment est assurée cette synchronisation.

Le couple délivré par la machine est de la forme l = F,e,, avec :

- °Msirs : i + MS1R2 : i + MS2R1 : je + OMSzR : -
Z 008 Si R: 068 Si R)> 068 S2 R: 068 S2 R)

Le calcul étant fastidieux, on admettra pour la suite que :

2 r2
_ MRslSmaxRR(Os=A)
R£+LE(oeos-Q)2

lz

On définit le glissement de la machine par :

OS
g = avec D