CCINP Physique 2 PSI 2002

 

SESSION 2002 A PSIP209

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

***

L'épreuve comporte un problème de physique et un problème de chimie. Les 
candidats traiteront les
deux problèmes dans l'ordre de leur choix et les rédigeront de façon séparée.

Durées approximatives : physique - 2 heures
chimie - 2 heures

PROBLEME DE PHYSIQUE
QUELQUES APPLICATIONS DU FERROMAGNETISME ET DE L'INDUCTION

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. On pourra répondre à 
certaines questions
des différentes parties sans avoir répondu aux questions qui les précèdent.

Rappel : splitéabilité magnétique du vide : ...) = 4712 .10'7 8.1.

PREMIERE PARTIE
CYCLE D'HYSTERESIS D'UN CIRCUIT MAGNETIQUE TORIQUE

Dans toute cette partie, on se place dans l'approximation des régimes 
quasi--permanents (A.R.Q.P.)

dans lequel le courant de déplacement sera négligé.

_

1.1. Dans un milieu aimanté, on définit le vecteur aimantation M : drî1/dt , 
dñä représentant le
moment magnétique porté par le petit élément de volume dT. On utilise, pour 
expliquer le
comportement des milieux aimantés, la densité volumique de courant 
d'aimantation jm telle

que Îm : rot lÏ/I .

Tournez la page S.V.P.

_.

1.1.1. En considérant que, dans l'A.R.Q.P., le champ magnétique B est dû à la 
fois aux

_.

courants libres (de conduction) et aux courants liés (d'aimantation), exprimer 
rot B.

1.1.2. Définir le vecteur excitation magnétique Ü relié à 13 et à M. Donner les 
expressions de

_ _.

rot Ü (équation de Maxwell--Ampère) et de la circulation de H sur un contour 
fermé
(théorème d'Ampère). '

1.2. Un matériau ferromagnétique est destiné à réaliser la carcasse d'un 
transformateur. On se
propose de visualiser le cycle d'hystérésis de ce matériau sur un écran 
d'oscilloscope c'est à dire

la courbe B(H) où B et H représentent les valeurs algébriques de É et Ë. Pour 
cela, on réalise le
montage de la figure 1.

tore ferromagnétique
de section S

\

circonférence

moyenne Ê

figure 1

Sur le noyau ferromagnétique de forme torique, de section S, de circonférence 
moyenne EUR (avec

EUR 2 >> S), on enroule nl spires constituant l'enroulement primaire et n2 
spires constituant

l'enroulement secondaire.
Le générateur de f.é.m. e(t) est une source de tension sinusoïdale (e(t) = 
E.cosoet) de fréquence
f = 50 Hz.

La résistance R = 100 kEUR) est telle que le produit n2.i2 est négligeable 
devant le produit nl .i1 .

1.2.1. Pourquoi est--il judicieux :
- de choisir un tore ?

-- de choisir EUR 2 >> S '?

1.2.2. Dans ce montage, le circuit RC (entrée u2, sortie Vy) fonctionne en 
intégrateur. Quelle

condition la capacité C doit--elle satisfaire pour cela ?
Quelle(s) valeur(s) peut-on choisir pour C parmi les valeurs usuelles 
suivantes: 10 nF,

47nF, 100 nF, 470 nF, luF et 4,7 uF '?

1.2.3. Exprimer H en fonction de vx puis B en fonction de VY et expliquer 
pourquoi le montage
permet de visualiser le cycle d'hystérésis.

1.2.4. Applications numériques :
EUR= SOcm ,sf-= 20cm2 ,C= ...? ,RO= SQ ,n1= 250 ,n2= 250.
Donner, en précisant les unités, les expressions de H en fonction de vx puis de 
B en
fonction de VY.

1.2.5. On obtient l'oscillogramme de la figure 2.
vy est en ordonnée (l graduation représente 2 volts ).
vX est en abscisse (l graduation représente 1 volt).

Vx'en volts

figure 2

Déduire de cet oscillogramme les valeurs approximatives (à 20% près) du champ
magnétique rémanent B,, de l'aimantation rémanente Mr et celle du champ 
coercitif HC.

1.3. Pertes par hystérésis

Dans le montage de la figure 1, on peut raisonnablement négliger la puissance 
dissipée par effet
Joule dans les enroulements primaire et secondaire. Pour simplifier, on suppose 
également
négligeables les pertes dues aux courants de Foucault dans le tore. Dans ces 
conditions, la

puissance pH = u1.i1 dissipée est uniquement due aux propriétés 
ferromagnétiques du noyau. Il
s'agit des pertes par hystérésis.

1.3.1. Etablir la relation liant PH , valeur moyenne de pH , à l'aire du cycle 
d'hystérésis
représentant l'évolution de B en fonction de H (on notera A l'aire du cycle).

1.3.2. Sur l'oscillogramme de la figure 2, on évalue l'aire du cycle à 6 
carreaux.
En déduire, en utilisant les valeurs numériques de la question 1.2., la valeur 
de la puissance

moyenne PH dissipée à cause du phénomène d'hystérésis dans l'ensemble du tore 
dans
l'essai réalisé.

Tournez la page S.V.P.

1.4. A--t-on intérêt pour la fabrication des transformateurs à utiliser un 
matériau ferromagnétique
ayant un champ coercitif important ou faible au contraire ? Justifier.

DEUXIEME PARTIE
COURANTS DE FOUCAULT DANS DES CONDUCTEURS CYLINDRIQUES

On place un cylindre conducteur d'axe Oz (figure 3), de section SO = 71:R2 , de 
longueur L et de
conductivité y dans un champ magnétique uniforme (créé par des sources 
extérieures) colinéaire à

l'axe Oz : B = Bo.cosoet üZ.

Oz

On se propose de calculer les courants induits et la

puissance dissipée par effet J oule dans le conducteur section S
dans l'approximation où le champ magpétigue reste
identique au champ B extérieur appliqué, puis
, . . . , . -->
(1 exam1ner la val1d1te de cette hypothese. Bo L

On note r, 9 et 2 les coordonnées cylindriques et on
rappelle les formules du rotationnel et de la

divergence d'un vecteur A en coordonnées

cylindriques : figure 3
------ _ l 6A 6A 6A 6A 1 ôrA ôA
rotA= --[ Z)--- 9 ür+( r-- Z) ü9 + --(( 9)--- r) üz
r 66 52 52 ôr r ôr 69
_ 1 8 rA l ôA ôA
div A = -- ( r) + -- --9-- + Z

2.1. On admet que Ë(P) est perpendiculaire à üz : Ez = O.
Justifier clairement que le champ électrique en tout point P du cylindre est de 
la forme :
Ê(P) = E() (r) %

où r, 9 et 2 représentent les coordonnées cylindriques de P.

_ oe.B0.sinoet.r _
2.2. Montrer que E(P) : ---- ue .

2

2.3. Puissance perdue par effet J oule
On rappelle que la densité de courant induit Î(P) est reliée à Ë(P) par la 
relation :

Î(P) : y Ë(p) et que la puissance volumique dpj /dT dissipée par effet J oule 
dans le matériau
s'écrit :
--: ---- 2
dpj /dr = J(P).E(p) = y.E (P).

2.3.1. Exprimer la puissance moyenne Pj (moyenne temporelle) dissipée par effet 
J oule dans le
cylindre (on fera apparaître dans cette expression les termes SO et f = oe/27t 
, fréquence de

variation de Ë ).

2.3.2. Application numérique :
6

Ondonne: BO= 0,1T, y= 2.10 mm", L= 0,5m, s0= 20cm2, f= 50Hz.

Calculer Pj .

2.4. Les courants induits (tels que nous les avons calculés) créent un champ 
magnétique Bi qui se
superpose à celui des sources extérieures.

2.4.1. On néglige le courant de déplacement par rapport au courant induit de 
densité Î(P)
Pourquoi cette hypothèse est-elle tout à fait justifiée ?

2.4.2. Exprimer Ëi (on admettra que Ëi est orienté suivant fil et que Ëi est 
nul à l'extérieur
du cylindre).

2.4.3. A quelle condition, portant sur R, rayon du cylindre, l'hypothèse 
initiale (le champ
magnétique reste identique au champ Ë extérieur appliqué) est-elle vérifiée 
(autrement
dit, à quelle condition le module de Ëi reste-t--il négligeable devant BO) ?

2.4.4. Cette condition est--elle vérifiée avec les valeurs numériques du 2.3.2. 
?

2.5. Limitation de la puissance dissipée par les courants induits (on se place 
toujours dans
l'hypothèse "champ magnétique identique au champ Ë extérieur appliqué").

2.5.1. Que devient la puissance Pj (question 2.3.1.) si au lieu d'un seul 
conducteur
cylindrique, on utilisenconducteurs cylindriques identiques de section S'O = 
SO/ 11?

2.5.2. Comment tire--t-on parti du résultat obtenu à la question précédente 
dans la réalisation
des transformateurs pour limiter les pertes par courants de Foucault '?

Tournez la page S.V.P.

2.6. Dans un transformateur réel, la puissance
perdue par hystérésis et par courants de Foucault
constituent les pertes fer.

Pour mesurer les pertes fer correspondant à un

essai en charge (i2 # O) donné, on réalise un

essai à vide (figure 4: enroulement secondaire
non connecté : i2 = O) et on mesure la puissance

moyenne P1 = < u1.i1 > consommée par le
transformateur soumis à la même tension u, que figure 4

dans l'essai en charge. On considère alors que P1

est approximativement égale aux pertes fer.
Justifier cette approximation.

TROISIEME PARTIE
COUPLAGE MAGNETIQUE ENTRE DEUX CIRCUITS OSCILLAN TS

<--Y-l--- M i] [\] 12 C1 figure 5 On considère le montage de la figure 5. Les résistances des deux bobines (circuits rigides et immobiles) sont supposées négligeables. On appelle L1 et L2 les inductances propres des deux bobines et M l'inductance mutuelle des deux circuits (M dépend de la position relative des deux bobines). On note il et i2 les intensités des courants circulant dans chaque circuit. On rappelle que le flux du champ magnétique Ë1 créé par le circuit (1) à travers le circuit (2) est donné par CD12 = M il . De même, le flux du champ magnétique Ë2 créé par le circuit (2) à travers le circuit (1) est donné par CD21 = M i2 . 3.1. Aspect énergétique : exprimer l'énergie magnétique du système des deux bobines (en l'absence d'autres sources de champ magnétique). En déduire que M2 < L1L2. 3.2. On s'intéresse d'abord à l'effet du couplage sur le comportement de deux circuits oscillants dans le cas du régime libre (cas où e(t) = 0 ). 3.2.1. Sans faire de calculs, donner l'allure la plus générale du spectre fréquentiel de la tension vl aux homes du condensateur C1. 3.2.2. Comment évolue ce spectre si le couplage augmente, c'est-à--dire si M augmente (on ne demande ni calcul ni justification) ? -- . , , . am litude 3.2.3. Peut-on obtenu, meme dans le cas general ou p l'effet du couplage ne peut pas être négligé, un spectre fréquentiel de V] ayant l'allure de la figure 6 '? Si oui, comment '? Sinon, pourquoi '? 0 fo fréquence figure 6 Dans tout ce qui suit, on supposera que L1 = L2 = L et que C1 et C2 sont deux condensateurs identiques de capacité C. 3.2.4. Mise en équation. 3.2.4.]. Ecrire le couple d'équations différentielles auxquelles obéissent les tensions V] et v2. 3.2.4.2. Exprimer les solutions générales v](t) et v2(t) du régime libre (e(t) = 0 ) . 3.2.5. On charge le condensateur C1 (C2 étant déchargé). On réalise le montage de la figure 7 et on ferme l'interrupteur K à l'instant t = 0. Les conditions initiales sur VI et v2 sont donc : v1(0) = vo et v2(0) = 0 . V 1 M e-- il [\] l'2 interrupteur C1 K L1 L2 C 2 \LV2 figure 7 3.2.5.]. Etablir les expressions vl (t) et v2 (t). Tournez la page S.V.P. 3.2.5.2. On se place dans le cas d'un couplage faible (M << L). 3.2.5.2.a ) Représenter les allures des courbes v1(t) et v2(t). 3.2.5.2.b) Quelle seraient les allures de ces courbes si on tenait compte des résistances des bobines d'inductance L (on ne demande aucun calcul). 3.3. On suppose maintenant que la source de tension e(t) est sinusoïdale : e(t) = E.cosoet . Exprimer V] (t) et v2(t) en régime permanent sinusoïdal. Fin du problème de physique PROBLÈME DE CHIMIE ECHAPPEMENT AUTOMOBILE ET PROTECTION DE L'ENVIRONNEMENT Les constructeurs automobiles équipent aujourd'hui l'ensemble de leur gamme avec des pots d'échappement catalytiques. Ceux--ci ont pour objet de réduire les émissions polluantes produites par les moteurs à explosion, les principales étant les suies, le monooxyde de carbone CO, les oxydes d'azote NO et N02, couramment désignés par NO... le dioxyde de soufre 802 et l'ozone O3. 1. COMBUSTION COMPLETE, COMBUSTION INCOMPLÈTE, PRODUCTION DE SUIES ET DE NOx 1.1. Combustion complète Les supercarburants sont constitués d'un mélange complexe d'alcanes linéaires et ramifiés. Ils sont classés selon leur «indice d'octane ». Question 1 (Ql) : Quelle est la formule brute de l'octane ? L'indice d'octane d'un carburant est défini par la fraction d'isooctane dans un mélange heptane--isooctane qui produit un niveau de cliquetis du moteur identique à celui du carburant testé. La formule semi-développée de l'isooctane est donnée sur la Figure 1. Q2 : Quel est le nom de ce composé en nomenclature systématique ? Q3 : Combien existe--t--il d'isomères de l'isooctane comportant, comme lui, une chaîne carbonée principale à 5 carbones (isomères de chaîne et de position uniquement) ? L'un de ces isomères possède deux stéréoisomères optiquement actifs. Dessiner le stéréoisomère R en représentation de Gram. Q4 : Schématiser de façon très simplifiée le dispositif permettant de déterminer l'activité optique d'un tel composé chiral. QS : Ecrire l'équation--bilan décrivant la combustion complète de l'isooctane (formation de dioxyde de carbone et de vapeur d'eau). 1.2. Combustion incomplète : production de suies Au cours du fonctionnement du moteur, il peut apparaître des situations Où le mélange air-- carburant n'est pas optimal ; la combustion peut alors être incomplète et produire du carbone élémentaire sous forme de particules très fines (les suies) en lieu et place du dioxyde de carbone. Tournez la page S.V.P. -10- Q6: Quelle masse de suies produit, par litre d'octane liquide consommé, un véhicule dont le moteur fonctionne en brûlant 1% de l'octane en combustion incomplète ? 1.3. Production des NO,, Aux températures très élevées générées dans les cylindres du moteur par l'explosion du mélange air-essence, la réaction du diazote et du dioxygène produit le polluant monooxyde d'azote, de formule NO, selon : N2 + 02 _) 2NO [l] Q7: Quelle est la formule de Lewis de NO ? La molécule de NO est-elle diamagnétique ou paramagnétique ? Q8: En écrivant la constante d'équilibre de la réaction [1] et en appliquant l'approximation d'Ellingham, exprimer l'évolution avec la température de la pression partielle P... du monooxyde d'azote formé dans l'air à la pression atmosphérique (P(N2) = 0,8 bar, P(02) = 0,2 bar). A quelle température la fraction de NO atteint-elle O,l% (lO" bar) dans ces conditions ? ' Q9: En fait, la pression dans les cylindres est plus élevée que la pression atmosphérique. En utilisant, en première approximation, la loi de Le Chatelier, préciser si la fraction de NO à cette température, sous une pression supérieure à la pression atmosphérique, est plus forte, identique ou plus faible que 0,1 % ? Quel paramètre physique devrait-on prendre en compte pour parfaire la réponse à cette question '? Q10: Au refroidissement, le monooxyde d'azote s'oxyde spontanément en dioxyde N02. Ce dernier peut réagir avec l'eau pour former de l'acide nitrique HNO3. Cette réaction étant une dismutation de l'azote, proposer une équation-bilan satisfaisante pour la décrire. Il. TECHNOLOGIE ET MODE D'ACTION DU POT CATALYTIQUE Dans la ligne d'échappement automobile, le pot catalytique s'intercale entre la culasse d'où sortent les gaz d'échappement et le (ou les) silencieux. C'est un conteneur métallique à l'intérieur duquel est placé le convertisseur, système constitué d'un support céramique ou métallique sur lequel est déposé le matériau assurant la catalyse. II.]. Le support de catalyseur II. 1.1. Support céramique Le matériau utilisé pour réaliser les supports céramiques est la cordiérite, un alumino-silicate de magnésium, de formule Mg2Al4Si5Olg. Ce composé est préparé par mélange de trois constituants : -11_ . L'alumine, A1203, . Le kaolin, A128i207, . Le talc, Mg3Si4OH. Pour préparer l'alumine, on précipite d'abord l'hydroxyde d'aluminium Al(OH)3 en ajoutant de l'hydroxyde de sodium à une solution aqueuse de nitrate d'aluminium Al(NO3)3. Q11 : En considérant que, dans une solution aqueuse de nitrate d'aluminium, la réaction , , . 3+ , . , . , . preponderante du cation A1 avec l eau est la suivante (toutes les especes sont dissoutes, l amon nitrate est indifférent) : Al" + HgO _» Aion2+ + H+ Calculer le pH d'une solution contenant 5 mol.U1 de nitrate d'aluminium. Q12 : En observant le diagramme de solubilité de l'hydroxyde d'aluminium présenté à la Figure 2, préciser les valeurs de pH suivantes relatives à la précipitation de ce composé à partir de la solution de nitrate d'aluminium à 5 mol.L"1 : . pH de précipitation commençante, . pH de précipitation « totale », - pH de fin de dissolution alcaline (on précisera le nom de l'anion Al(OH){). Q13: A la précipitation «totale», quelle concentration d'aluminium (III) dissous échappe à la précipitation et est évacuée dans le filtrat ? Q14: Pour obtenir la cordiérite, les poudres d'alumine, de kaolin et de talc sont séchées puis mélangées intimement. Le mélange est ensuite calciné à température élevée. Dans quelles proportions molaires (qu'on exprimera en %) faut--il mélanger l'alumine, le kaolin et le tale pour obtenir la cordiérite ? II. 1.2. Support métallique Certains fabricants proposent un support métallique pour le catalyseur ; ce support est constitué d'un alliage fer-chrome--aluminium (FeCrAl) contenant (pourcentages massiques) 74,8 % Fe, 20 % Cr, 5,2 % Al. Sa structure cristalline est identique à celle du fer cubique centré, les atomes de chrome et d'aluminium occupant de façon aléatoire les mêmes sites cristallins que le fer. Q15 : Représenter en perspective la maille cubique centrée du fer pur. Quelle est la coordinence des atomes de fer de cette maille ? Pourquoi peut-on déduire de cette valeur que le système cristallin considéré ne possède pas la compacité maximum possible ? Q16: Déterminer la formule chimique Fe,,CryAl2 de l'alliage dont la composition massique est définie ci-dessus (on utilisera des coefficients stoechiométriques x, 3y et z inférieurs à l'unité). En déduire la masse volumique de cet alliage, qu'on exprimera en g.cm . Tournez la page S.V.P. _12_ L'alliage FeCrAl utilisé résiste à la corrosion, aussi bien en service (à chaud) qu'à température ordinaire (pendant les périodes d'arrêt du véhicule) en raison de la formation rapide d'une couche passive d'alumine. Le tracé de la courbe intensité--potentiel relative à ce matériau le montre sans ambiguïté. Q17 : Observer les trois courbes intensité-potentiel A, B et C de la Figure 3 et préciser quelle est celle relative au fer pur, celle relative à l'alliage FeCrAl et celle qui n'a pas de sens physique. 11.2. Le catalyseur [1.2.1 Nature du catalyseur Le catalyseur le plus utilisé en échappement automobile est le platine (Pt). Q18 : Ecrire la structure électronique complète du platine en respectant la règle de Klechkowsky. Compte--tenu du fonctionnement du catalyseur à température élevée (> 800°C) il 
est
important de connaître le comportement du platine vis--à--vis de l'oxydation 
par le dioxygène. Le
diagramme d'Ellingham de la Figure 4 est relatif aux oxydes de platine. Il 
permet d'apporter une
réponse thermodynamique aux questions suivantes (pour P(Oz) = 1 bar) :

Q19:

. Quel est l'oxyde de platine stable à température ordinaire ?
- Dans quel domaine de températures PtO est-il l'oxyde stable ?
0 Quelle est la température au-dessus de laquelle aucun oxyde de platine ne 
peut exister ?

Cette dernière température définit la température minimale du pot catalytique.

[1.2.2 Mode d'action du catalyseur

Q20: Qu'est--ce qu'un catalyseur? On répondra par «vrai » ou «faux» aux six 
affirmations
suivantes concernant le catalyseur :

il déplace l'équilibre vers les produits désirés

il augmente la vitesse de la réaction

il intervient dans le mécanisme

il participe au bilan global

il n'est pas consommé par la réaction

il doit se présenter sous la forme d'une phase distincte

@P'PWP!"

Q21 : En échappement automobile, la dépollution des NOX par le catalyseur 
consiste principalement
en une catalyse de la décomposition de NO en diazote et dioxygène. Jusqu'à 
quelle fraction
résiduelle de NO peut--on espérer descendre avec un catalyseur fonctionnant à 
600°C dans un
mélange d'échappement où P(N2) = 0,8 bar et P(02) = 0,01 bar '?

_13_

III. DONNEES (par ordre alphabétique) :

Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.lC'.mol"1

Constante d'acidité à 25°C (espèces dissoutes) :

A13+ + HZO _» mon2+ +H+ 1<,=10--5'0 Enthalpie standard de formation à 25°C : NO : AfH°298 = 90 290 J.mo1*1 Entropies standard à 25°C : NO : S°298(N0) = 210,76 J.K_l.mol"l M = 50298(N2) = 191,61 J.K*'.mo1"1 Oz : Sozog(02) : 205,15 .Ï.IÇ_1.IÏIOÏ_1 Masse volumique de l'octane liquide : p = 0,692 g.cm73 Masses molaires atomiques (g.mol"l) : H = 1,0 N = 14,0 0 = 16,0 Al = 27,0 Cr = 52,0 Fe = 55,85 Nombre d'Avogadro : N = 6,023 >< 1023 mol"1 Numéros atomiques N : 7 O : 8 Pt : 78 Paramètre de la maille cubique centrée de l'alliage FeCrAl considéré : a = 286,1 pm Produit de solubilité de Al(OH)3 à 25°C : pKS = 32,3 Tournez la page S.V.P. -14- IV. FIGURES CH3 CH3--- C--CHz--CH--CH3 CH3 CH3 Fig. 1 : Formule semi-développée de l'isooctane. log CAI (CAl en mol.L'1) Fig. 2 : Diagramme de solubilité de l'hydroxyde d'aluminium à 298 K. _15_ -1 5001000 --51000 1500 Courant (mA) Potentiel (mV/ref. non précisée) Fig. 3 : Courbes intensité-potentiel à 25°C (électrolyte Na2804 0,01 mol.L"'). 100 50 '6 E. g 0 ZDN-- < -50 Pto2 -100 200 400 600 800 1000 Température (K) Fig. 4 : Diagramme d'Ellingham des oxydes de platine (chaque courbe correspond à la formation d'une mole d'oxyde). Fin de l'énoncé