CCINP Physique 2 PSI 2006

SESSION 2006 PSIP209

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECNNIOUES

EPREUV-E SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
*****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision
de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons

des initiatives qu'il a été amené à prendre.
*****

L'épreuve comporte un problème de chimie et un problème de physique. Les 
candidats traiteront les
deux problèmes dans l'ordre de leur choix et les rédigeront de facon séparée.

Durées approximatives : Chimie : 2 heures
Physique : 2 heures

*****

Le sujet comporte 14 pages

PROBLÈME DE CHIMIE

_CORROSION ET PROTECTION DES ARMATURES EN FER DU BETON ARME

Toutes les données nécessaires àla résolution de ce problème apparaissent en 
fin d'énoncé (@ IV).

1. Le béton

Le béton est constitué d'un mélange de ciment, de sable et de granulats 
(pierres et graviers). Dans la
suite, on considèrera le sable et les granulats comme inertes et on admettra, 
sans risque d'erreurs
majeures, que la chimie du béton est gouvernée par celle du ciment.

Les ciments contiennent divers constituants, dont des silicates de calcium. 
Ceux-ci peuvent être
obtenus par réaction entre deux solides, le dioxyde de silicium Sl02 (la 
silice) et le monoxyde de
calcium CaO (la chaux).

QI : Quel est le nombre d'oxydation du silicium dans la silice ? Expliquer 
comment ce nombre
d'oxydation est en bon accord avec la structure électronique de l'atome de 
silicium dans son état

fondamental.
Q2 : Mêmes questions pour le calcium dans la chaux.

Q3: Quels sont les numéros atomiques des deux éléments situés au--dessus et 
au--dessous du
silicium dans la même colonne de la classification périodique des éléments? On 
justifiera la

réponse.

La silice

La silice est un composé naturel que l'on rencontre sous de nombreuses formes 
polymorphiques
cristallisées, dont le quartz et la cristobalite, ainsi que sous forme amorphe.

Q4 : Qu'est--ce qui différencie deux variétés polymorphiques (également deux 
variétés allotropiques
pour les corps purs élémentaires) '? Qu'entend--on par forme amorphe ? '

La silice est légèrement soluble dans l'eau sous forme moléculaire, forme qu'on 
notera, pour
simplifier, (SlOz)aq. En fait, il s'agit plus vraisemblablement de l'acide 
tétraoxosilicique (IV)

QS : Quelle est la formule développée la plus probable de cet acide ?

Q6 : La solubilité à 298 K dans l'eau pure de Si02 quartz (SQ) est donnée au @ 
IV. Connaissant la
variation d'enthalpie libre à cette température associée à la transformation 
quartz ----> cristobalite,
calculer la solubilité SC de la cristobalite dans les mêmes conditions (un 
cycle de variation
d'enthalpie libre à trois constituants (solution, quartz, cristobalite) est le 
moyen simple de visualiser
la situation étudiée).

Q7 : Observer le résultat et énoncer la loi qui compare les solubilités dans 
l'eau de deux variétés
polymorphiques (ou allotropiques) en fonction de leur stabilité thermodynamique 
respective.

La chaux

La chaux est préparée à partir de calcaire, considéré ici comme du carbonate de 
calcium CaC03 pur,
par décomposition thermique de CaC03 libérant du dioxyde de carbone gazeux. 
Cette réaction se
pratique dans un «four à chaux >>. Elle peut être discutée à l'aide du 
diagramme de variation
d'enthalpie libre standard de formation présenté au @ IV Figure 1.

Q8 : Pourquoi la courbe de ce diagramme relative à (CO2)g a-t--elle une pente 
nulle alors que celles
relatives à (CaO)S et (C&COg)S ont une pente positive '?

Q9 : Préciser le phénomène qui produit la rupture de pente vers l 750 K sur les 
courbes relatives à
(CaO)S et (CaC03)s, en expliquant pourquoi la pente est supérieure aux 
températures les plus
éleVées.

Q10 : Déterminer la variance du système triphasé (CaCO3)S / (CaO)S / (COz)g. 
Extraire du
diagramme la température où les deux solides peuvent coexister àla pression de 
C02 égale à 1 bar.

Q11 : Les fours à chaux sont des réacteurs ouverts, fonctionnant à la pression 
atmosphérique.
Pourquoi leur température de travail est--elle de l 500 K ?

Le silicate de calcium

On considère le silicate de calcium CâSlO3, composé ionique qu'on considérera 
comporter, à l'état
. . . 2+ . . 2...
solide, l'ion calc1um (Il) Ca et l'ion S1O3 .

Q12 : Quel est le nom complet de l'anion SiO32" ? Quelle est sa formule de 
Lewis '? Quelle est sa
forme géométrique selon la théorie VSEPR ?

Caractère basique des eaux d 'infiltmtion dans les bétons

Le silicate de calcium mais aussi la chaux résiduelle tou'ours résente, 
confèrent à l'eau
? )

d'infiltrat1on dans les bétons un caractère basique marqué. On montre, aux 
tr01s quest10ns su1vantes,

que c'est la chaux qui produit l'alcalinisation la plus marquée.

Q13 : La chaux est considérée ici, de façon raisonnablement simplifiée, comme 
une monobase
forte, légérement soluble dans l'eau sous forme (CaOH+)aq. Ecrire le bilan de 
la dissolution. Quel
est le pH d'une suspension aqueuse de chaux '?

Q14 : L'anion silicate SiO32-- est une base faible ; éCrire le bilan de sa 
réaction avec l'eau et calculer
la constante d'équilibre Kb correspondante.

Q15 : Utiliser ce résultat pour déterminer le pH d'une suspension de silicate 
de calcium dans de
l'eau et vérifier que ce pH est inférieur à celui imposé par la chaux 
résiduelle. On pourra procéder
soit en effectuant le calcul à partir de la constante d'équilibre déterminée à 
la question précédente,
soit de façon plus rapide en observant qu'on est en présence d'une solution 
très diluée.

Evolution du pH au cours de la vie des bétons

Q16: Au cours du temps, le pH de l'eau d'infiltration a tendance à baisser sous 
l'effet de
l'acidification par le dioxyde de carbone de l'air qui s'y dissout et 
neutralise la chaux résiduelle.
Sachant que le dioxyde de carbone est un diacide faible, quels sont les deux 
composés successifs
formés par réaction d'un excès de CaO avec des quantités croissantes de C02 
(noms ou formules) ?

II. Les armatures en fer et leur corrosion

La résistance mécanique du béton armé est due à la présence des armatures en 
fer qui y sont
insérées avant la prise.

Q17 : Décrire l'arrangement cubique centré du fer en termes de :
0 Nombre d'atomes de fer par maille,
. CoOrdinence,
. Compacité.

Q18: Observer le diagramme potentiel-pH du système fer-eau proposé en Figure 2, 
tracé en
prenant en compte trois solides (Fe)s (FeOOH)S (Fe(OH)2)S et trois espèces 
ioniques dissoutes

(Fe2+)aq (Fe3+)aq (HFeO[)aq. Redonner à chacun des domaines 1 à 6 la formule de 
l'espèce qui y
existe ou y prédomine. '

Q19: Quel composé solide se forme sur du fer à pH = 12 au contact d'une eau 
saturée en
dioxygène dissous '?

Ce composé rend le fer passif à pH = 12. Les armatures du béton armé sont donc 
protégées contre la

corrosion. Cependant on observe que la corrosion se développe après un certain 
temps de vie quand
le pH de l'eau d'infiltration a baissé jusqu'à 9 environ. Le composé qui se 
forme sur la surface du
fer est alors différent : il s'agit de trihydroxyde de fer (F e(OH)3)S non pris 
en compte dans le tracé

de la Figure 2.

Q20 : Montrer en écrivant une transformation chimique simple qu'on peut 
considérer ce dernier
comme une forme hydratée du précédent.

Q21 : Ce composé, contrairement au précédent, ne rend pas le fer passif. Citer 
deux adjectifs
caractérisant un produit de corrosion solide apportant une passivité de qualité.

Q22 : Certains envisagent de soumettre, dans le futur, les armatures 
métalliques des constructions
en béton armé à une protection cathodique avec une surtension de 100 mV. 
Déduire du diagramme
de la Figure 2 à quel potentiel elles devront être portées dans une eau 
d'infiltration à pH = 12

contenant 1 >< 10_6 mol.L"1 de fer dissous. On donnera la réponse par rapport à l'électrode standard à hydrogène et par rapport à l'électrode au calomel saturée. Q23 : Une autre solution envisagée serait de porter les armatures à une forte polarisation électrique épisodique qui aurait pour but de faire augmenter le pH local par électrolyse pour le ramener à la valeur de 12 où le produit de corrosion est passivant. Cette polarisation devrait-elle être anodique ou cathodique '? Ecrire la demi-réaction électrochimique mise en jeu conduisant à cette alcalinisation. 1v. DONNÉES : Numéros atomiques : O:8;Sizl4;Ca:20 Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K"ämofi Constante de Nernst à 298 K : ln 10 >< RT/Îw0,06V Variation d'enthalpie libre de réaction : (Si02 quartz)s :: (Si02 cristobalite)s ArG°298 = + 3,7 kJ.mol"l Solubilité dans l'eau à 298 K du quartz : (SiO2 quartz)s : (Si02)aq SQ = 5,0 >< 10--5 mol.L_l Solubilité dans l'eau à 298 K de la chaux : SCaO = 1,0 >< 10"2 mol.L"1 Solubilité dans l'eau à 298 K du silicate de calcium : SCaSiO3 = 3 >< lO'4 mol.L"1 Constantes d'acidité : (coz)aql + 2 H20 : (Hco3')aq + H3O+ pK = 6,3- (Si02)aq + 2 H20 : (HSi0;)aq + H3o+ . pK1 = 9,6 (HSiC);)aq + H20 : (Si032")aq + H30+ pr_ = 12,7 Potentiels redox standard à 298 K : (02)g / H20 : ' _ e° = + 1,23 V/ESH (FeZ+)aq / (Fe)s ' e° = --- 0,44 V/ESH (Fe3+)aq / (Fe2+)aq _ e° = + 0,77 V/ESH Potentiel de l'électrode au calomel saturée à 298 K : e° = + 0,25 V/ESH _Ë__ \ 1 -- 1200 600 1000 1400 1800 T / K Figure. 1. Evolution, en fonction de la température, de l'enthalpie libre standard de formation de la chaux et du carbonate de calcium solides ainsi que du dioxyde de carbone gazeux. !° :: --L _\ O E (Volt / esh) Fig. 2. Diagramme potentiel--pH du système fer-eau à 25°C tracé pour une concentration des espèces dissoutes du fer (II) et du fer (III) de 1 x 10'6 mol.L". Fin du problème de chimie PROBLÈME DE PHYSIQUE A PROPOS DU HAUT-PARLEUR PARTIE I : modèle électrique équivalent On se propose ici de déterminer un modèle équivalent du haut--parleur électrodynamique en régime sinusoïdal. Un haut-parleur électrodynamique est un système à symétrie cylindrique et est constitué : -- d'un aimant annulaire, d'axe x'x, créant un champ magnétique B : Bêr radial et de norme constante dans la région utile de l'entrefer ; - d'un solénoïde indéformable de même axe x'x, comportant N spires et de rayon p, placé dans l'entrefer de l'aimant ; -- d'une membrane M perpendiéulaire à l'axe x'x, solidaire du solénoïde et pouvant effectuer de faibles déplacements axiaux autour de sa position d'équilibre x = 0, grâce à un système élastique que l'on modélisera par un ressort unique de raideur k. .A.'.A.A.À. Membrane M 11(t) >I'Ï'Z'I'Z' OZ'Ï'E'Z'

---- Sud

Pour cette étude, on ne tiendra compte, ni du poids du dispositif, ni de la 
réaction du support, car ils
se compensent.

On travaillera en coordonnées polaires d'axe x'x, c'est à dire avec les 
vecteurs : er , 69 , ex .

Le courant i(t) est compté positif lorsqu'il circule suivant 59.

La transmission acoustique de la membrane à l'air environnant se traduit par 
une force de
frottement fluide F = -- f .i5 , opposée à la vitesse iî de la membrane (f > 
0), dont la puissance
correspond à la puissance sonore émise.

La bobine est assimilable à une inductance pure L, en série avec une résistance 
R. Elle est alimentée
par un amplificateur qui délivre une tension u(t) à ses bornes.

]) Faire le bilan des actions mécaniques appliquées à l'ensemble (bobine + 
membrane). En déduire
l'équation différentielle vérifiée par x(t) qui traduit le comportement 
mécanique du dispositif
(bobine + membrane) de masse m.

2) Ecrire l'équation différentielle vérifiée par le courant i(t) qui traduit le 
comportement électrique
du système.

3) Dans le cas où, la tension u(t) est sinusoïdale de pulsation oe, toutes les 
grandeurs physiques sont

. . r o . , u t \
des fonctions harmomques du temps. On peut, donc, defimr une impedance complexe 
: _Z_ : --î--(-(--5)-ou
z t
_u_(t) et i(t) sont les fonctions complexes associées aux fonctions réelles 
u(t) et i(t).
Déterminer l'impédance complexe _Z en fonction de L, R, 00 et des éléments 
mécaniques du

dispositif.

4) Montrer qu'on peut adopter comme modèle électrique du haut--parleur le 
schéma équivalent
suivant. On exprimera chacun des éléments Lm,, Cm et Rm de l'impédance 
motionnelle en fonction

deB,m,f,N,petk.

PARTIE II : ondes sonores

A] Equations des ondes sonores :

On considère ici la propagation unidirectionnelle, suivant l'axe Ox, d'une onde 
plane
sonore dans l'air. Celui--ci, initialement au repos, est assimilable à un gaz 
parfait non
visqueux. Les transformations thermodynamiques sont supposées adiabatiques et
réversibles.

On note Po et po , la pression et la masse volumique de l'air au repos (po =l 
,25 kg.m"3 et P0 = 105 Pa).
On note x, le coefficient de compressibilité isentropique de l'air (x = 6,8 
l()'6 Pa'l).

(:
On donne : le rapport ;/ = --p-- = 1,4 des capacités thermiques à pression et à 
volume constants, la

C

V

constante des gaz parfaits R = 8,31 J K'lmol'1 et la masse molaire de l'air M = 
29 g mol'1 .

On définit comme système la masse dm d'air située entre les abscisses X et 
x+dx, d'un
cylindre fictif horizontal, d'axe OX et de section S.

. ls
-v .

X x+dx

Après une perturbation élémentaire, les caractéristiques de l'air sont décrites 
par les grandeurs
suivantes, fonctions de la position x et du temps t :

v(x,t) : la vitesse du fluide,
ê(x,t) : le déplacement du fluide,
P(x,t) = Po + p(X,t) la pression de l'air,

p(X,t) = po + u(x,t) la masse volumique de l'air.

A.1.a) Ecrire l'équation vectorielle d'Euler (El).

A.1.b) Ecrire l'équation locale de conservation de la masse ou équation de 
continuité (E2).

A.1.c) Rappeler l'expression de x en fonction de p et P ou de leurs dérivées 
partielles (E3).

A.2.a) Rappeler en quoi consiste l'approximation acoustique.

A.Z.b) Simplifier les équations E1, E2 et E3 dans le cadre de l'approximation 
acoustique et de la
propagation unidirectionnelle suivant l'axe des x. On notera E4, E5 et E6 les 
équations

correspondantes.

A.3.a) En déduire les équations de propagation de l'onde acoustique vérifiées 
par les grandeurs
V(X,t) et p(X,t).

A.3.b) Quelles sont l'expression et la valeur numérique de la célérité co des 
ondes acoustiques
dans l'air ?

A.3.c) La célérité co dépend-elle de la température T de l'air ? Si oui, 
établir la dépendance entre
co et T.

B] Cas de l'onde sonore plane progressive sinusoïdale :

B.l.a) L'onde sonore plane progressive sinusoïdale (O.S.P.P.S.) a-t--elle une 
structure transverse
ou longitudinale '? (Aucune démonstration n'est exigée).

B.l.b) Citer un exemple d'onde plane à structure longitudinale ainsi qu'un 
exemple d'onde plane
à structure transverse.

Pour modéliser l'O.S.P.P.S., on adopte les notations suivantes pour lesquelles 
les fonctions
complexesassociées aux grandeurs sinusoïdales sont soulignées :

j (cat--loc) jlcx jwt

Æ(x) = poe =£p_e" où & : pOe

jwt --*

Ë(X) = 200% = 206 ex

B.2.a) Etablir la relation de dispersion liant 03 et k.

B.2.b) Etablir la relation entre p(x) et _v(x). La surpression acoustique 
p(x,t) et la vitesse V(X,t)
sont-elles en phase, en opposition de phase ou en quadrature de phase ?

La puissance P rayonnéc par l'O.S.P.P.S. à travers une section S 
perpendiculaire à l'axe OX est la
puissance moyenne de la force de surpression appliquée à la section S se 
déplaçant avec la vitesse

v(x,t). On a P = R S.
B.3.a) Nommer le vecteur ÏË : Rëx .

B.3.b) Exprimer R en fonction de po, co et po_

C] Source sonore sinusoïdale :

La membrane du haut-parleur, source d'une onde sonore plane progressive 
sinusoïdale, est
assimilable à un disque de rayon a, de centre C qui vibre de façon sinusoïdale. 
Elle est
décomposable en une infinité de sources secondaires élémentaires assimilables à 
des couronnes de

surface dS = 27trdr.

On note :

O : l'origine des coordonnées,

C : le centre de la membrane,

u(t) : la position de la membrane du haut-parleur, perpendiculaire à l'axe Ox ; 
on pose

y.(t) : qujwt :
y(t) = 62%... : la vitesse de vibration de la membrane,
[

p(C) : la surpression acoustique supposée uniforme dans le plan Cyz de la face 
avant de
la membrane.

D'après le principe d'Huyghens Fresnel, l'expression de la surpression 
acoustique élémentaire
d_p(M) créée par la couronne élémentaire située entre les rayons r et r + dr, 
au point M(x,0,0) est de

la forme : g'_p_(M ) = K . £(C).é'"' %.27zrdr, où l est la distance de la 
couronne au point M, et k le

module du vecteur d'onde.

Le déplacement de la membrane est faible devant la distance d'observation, de 
sorte que u(t) << x, on a alors@(M) : @(x) : K.£(C) .e"jk'. ; .,27zrdr avec lz Vr2 + x2 '. C.1) Interpréter les termes e'jk', l/ l et 27crdr. . r----2 2 . 2 'K C C.,2) Montrer que p(x) est de la forme : £(x) = g_(e""' " +" ---e"'") où @ : _Ê_I_Ë_(_) _ Soit X = 27t/k la longueur d'onde de l'O.S.P.P.S. ; compte tenu des dimensions du problème, on a x>>a et -- >>î . On admettra de plus que K = --]--IÎ-- .
a x _ 27z

C.3.a) Exprimer le module de la surpression : lp(x)l enfonction de |K |, | £(C 
)I, a et x.

C.3.b) En remarquant que l'onde est plane et uniforme, dans le plan Cyz de la 
face avant de la
membrane, écrire une relation entre p_(C) et le déplacement u(t) de la membrane.

C.3.c) Exprimer IË(X)| en fonction de po, u0, a, 00 et x.

R
On définit l'intensité sonore exprimée en dB par I = lOlog10 -------

avec R0 = 10'12 Wm'2,
RO

R est défini àla question B.3.a) de la partie Il.

C.4.a) Quel est le débattement uO de la membrane d'un haut-parleur, de rayon a 
= 4 cm, qui émet
une intensité sonore 1 = 95 dB à une distance x = l m ? Faire l'application 
numérique pour
une onde sonore aiguë de fréquence f = 2 kHz et pour une onde sonore grave de 
fréquence

f= 100 Hz.

C.4.b) Pourquoi les membranes des haut--parleurs graves sont-- elles de grand 
diamètre comparées
à celles des haut- parleurs aigus ?

PARTIE III : aspects directionnels

Aucune connaissance particulière sur l'acoustique physique, les systèmes à 
ondes multiples ou les

réseaux n'est requise pour aborder cette partie.
On admettra que les raisonnements utilisés pour les interférences et la 
diffraction des ondes

lumineuses s'appliquent à celles des ondes sonores. On prendra comme célérité 
du son
c() = 340 ms".

A] Directivîté du haut-parleur :

On étudie ici le son reçu à grande distance de la membrane circulaire d'un 
haut--parleur. Chaque
élément de surface centrée en un point P de la membrane se comporte comme une 
source
secondaire qui émet une vibration élémentaire d_s_(P). Ces différentes sources 
secondaires sont
cohérentes entre elles. La vibration _s_(M) reçue en un point M est alors la 
somme des vibrations

élémentaires. On a g(M ) : dg(P . L'intensité acousti ue l(0) diffractée dans 
la direction 0 est
q

membrane

proportionnelle au module carré de la vibration résultante.

membrane direction
0
x
A.1) On appelle amax le rayon maximum de la membrane pour lequel il n'y a 
aucune extinction

du son dans le demi espace x>0, pour une onde sonore sinusoïdale de fréquence f.
Exprimer amax en fonction de f et co.

A.2) Application numérique : donner les valeurs numériques de amax pour des 
ondes sonores
graves et aiguës de fréquences respectives 100 Hz et 2 kHz.

A.3) Pourquoi les membranes des haut--parleurs aigus sont-elles de faible 
diamètre comparées à
celles des haut-parleurs graves ?

B] Directivîté d'une colonne de haut-parleurs :

Une colonne de 10 haut--parleurs, de hauteur 1 est disposée verticalement pour 
sonoriser un
spectacle en plein air. Les 10 haut-parleurs sont assimilés à des sources 
sonores :

- ponctuelles S], 82, S3, ..., S... ;

- identiques ;

- équidistantes : SiS... = b.

B.].a)

B.l.b)

B.l.c)

B.2.a)

B.2.b)

B.3.a)
B.3.b)

13.4)

B.5.a)

Un auditeur éloigné dans la direction formant l'angle 0, petit ou grand, avec 
l'horizontale
perçoit le son émis par les 10 haut-parleurs.

l=9.b

Les 10 haut--parleurs émettent en phase un son d'amplitude so, de fréquence f, 
se
propageant dans l'air àla célérité co.

Calculer le retard de phase (l)2/1 du rayon sonore (2) sur le rayon (1), pris 
comme référence
des phases en fonction de b, 0 et co.

On appelle _s_1(M) = soeioet l'onde issue du haut--parleur n°1 et reçue par 
l'auditeur.
Donner l'expression des ondes _s_2(M) et sk(M) issues des haut-parleurs n°2 et 
n°k et reçues

par l'auditeur en fonction de l'onde s 1(M) et du retard de phase (l)2/1.

En déduire l'expression de l'onde totale issue de la colonne de 10 
haut--parleurs et reçue par
l'auditeur.

Montrer que la fonction [(H) donnant l'intensité du son perçu par l'auditeur 
très éloigné

[ sin2[10flfbsm9]
dans la direction 0, est de la forme [(H) = ---Q-- * CO_ , où 10 est l'intensité
100 2(7zflpsm9]
s1n --------------------
Co

perçue dans la direction 0 = 0.

Dessiner l'allure du graphe représentant 1 en fonction de sin(0).

Quelles sont les directions & pour lesquelles I = 0 ?

Calculer les trois premières valeurs de & exprimées en degrés avec b = 0,3 m, f 
= 1 kHz.

Lorsque la colonne de haut--parleurs diffuse de la musique, un auditeur placé 
dans une
direction 0 donnée, n'observe jamais l'extinction totale du son, mais plutôt une
déformation du son. Expliquer.

Calculer la fréquence critique fC correspondant à la plus petite fréquence pour 
laquelle le
premier angle d'extinction est de 90°.

B.5.b) Peut-on percevoir les sons graves pour toutes valeurs de 9 '?

Peut--on percevoir les sons aigus pour toutes valeurs de 9 '?

Formulaire :

On donne en coordonnées cylindriques :

gräd(U) =--ô--qër +--1-Ê--qê9 +Ëj--êZ
Ôr r 99 92

ô(r.ar) +16 + M)
Ôr r 99 92
Ô(az) _ Ô(%)) (Ô(ar) _ Ô(%>J--» {l Ô(r-aa) __1_ Ô(ar)]

69 +
62 92 82 ôr

div(ä) : --1--
r

er +

r5t(ä) = (--1-
I'

ôZU lôU 162U ô2U
= » +"--+î 2 + 2
Ôr" r ôr r 99 92

AU

Fin du problème de physique

Fin de l'énoncé