CCINP Physique 2 PSI 2010

' SESSION 2010 PSIP208

A

CONCOURS (OMMUNS POI.YIECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQÜE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
* * * * *

Le candidat atta chera la plus grande importance à la clarté, à la précision et 
a la concision de la
rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d 'e'noncé, ille
signalera sur sa c0pie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

L'épreuve comporte un problème de chimie et un problème de physique. Les 
candidats traiteront les
deux problèmes dans l'ordre de leur choix et les rédigeront de façon. séparée.

Le sujet comporte 16 pages
Durées approximatives : Chimie : 2 heures

Physique : 2 heures

PROBLEME DE CHIMIE

Toutes les données nécessaires àla résolution de ce problème apparaissent au 5 
III en fin d'énoncé.

LA PRODUCTION MASSIVE DE DIHYDROGÈNE

Le dihydrogène est considéré comme le carburant du futur, utilisable aussi bien 
dans les moteurs
thermiques que dans les piles à combustible. Sa production devra rapidement 
s'intensifier et les
experts mettent l'accent sur des procédés thermochimiques ou électrochimiques 
qui se résument à
un bilan simple : la décomposition de l'eau. Un des procédés thermochimiques, 
le « cycle iode--

soufre » est discuté, de façon simplifiée, dans ce problème.

' SESSION 2010 PSIP208

A

CONCOURS (OMMUNS POI.YIECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQÜE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
* * * * *

Le candidat atta chera la plus grande importance à la clarté, à la précision et 
a la concision de la
rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d 'e'noncé, ille
signalera sur sa c0pie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

L'épreuve comporte un problème de chimie et un problème de physique. Les 
candidats traiteront les
deux problèmes dans l'ordre de leur choix et les rédigeront de façon. séparée.

Le sujet comporte 16 pages
Durées approximatives : Chimie : 2 heures

Physique : 2 heures

PROBLEME DE CHIMIE

Toutes les données nécessaires àla résolution de ce problème apparaissent au 5 
III en fin d'énoncé.

LA PRODUCTION MASSIVE DE DIHYDROGÈNE

Le dihydrogène est considéré comme le carburant du futur, utilisable aussi bien 
dans les moteurs
thermiques que dans les piles à combustible. Sa production devra rapidement 
s'intensifier et les
experts mettent l'accent sur des procédés thermochimiques ou électrochimiques 
qui se résument à
un bilan simple : la décomposition de l'eau. Un des procédés thermochimiques, 
le « cycle iode--

soufre » est discuté, de façon simplifiée, dans ce problème.

I. La décomposition thermochimique de l'eau

1.1. On se propose, dans un premier temps, d'étudier la décomposition de la 
vapeur d'eau par la
chaleur, au voisinage de 1 800 K, pour obtenir le dihydrogène et le dioxygène. 
Cette réaction est--

elle ex.othermique ou endothermique ? Préciser, à l'aide de la loi de 
Vant'Hoff, pourquoi elle est
favorisée par une élévation de température.

1.2. Calculer la constante d'équilibre correspondante à 1 800 K.

1.3. On porte à 1 800 K un réacteur ne contenant que de la vapeur d'eau pure 
sous la pression de

100 bars. Quelle pression. partielle de dihydro gène obtient--on à l'équilibre 
? Quel est le rendement ?
Conclure sur l'intérêt économique de ce procédé.

II. Le cycle iode-soufre

II. 1 . Bilan

Afin d'obtenir un rendement satisfaisant sans se placer à des températures 
rédhibitoires pour les
installations industrielles, on envisage d'utiliser le cycle thermochimique 
ci--dessous qui se décline
selon les trois réactions suivantes :

12 + 802 + 2 1120 ---> 112804 + 2 HI (T = 400 K) Réaction (l)
HZSO4 ---> 802 + l/2 02 + 1120 (T = 1 100 K) Réaction (2)
2 HI ----> 12 + 112 (T = 700 K) Réaction (3)

Quel est le bilan de l'ensemble de ces opérations ?

II. 2. L 'iode

11.2.1. Observer la structure électronique de l'élément iode ; en déduire son 
numéro atomique.

11.2.2. Quelle est la formule de Lewis de la molécule diatomique 12 '?

11.23. Le diiode solide cristallise dans le système cristallin orthorhombique ; 
dans ce système, la
maille élémentaire est un cuboïde dont les trois dimensions sont différentes 
(parallélépipède
rectangle). La figure 1 (page 5) présente la projection des atomes d'iode sur 
une des faces
rectangulaires de ce cuboïde, avec leurs coordonnées associées. Combien cette 
maille contient--elle
d'atomes d'iode '?

11.2.4. Calculer la distance l-----l pour les atomes CA, CD, CE, CF. En déduire 
le nombre de plus
proches voisins d'un atome d'iode, confirmer la structure moléculaire du diiode 
solide et préciser la

nature des liaisons C--A, C--D, C--E, C--F.

[1.2.5 . Le diiode solide se transforme en diiode gazeux par élévation de la 
température. Comment
appelle--t--on cette transformation '? Calculer la pression de 12 @ au-dessus 
de 12 (S) à la température

ordinaire (298 K).

II. 3. Le dioxyde de soufre

11.3. 1. Ecrire la formule de Lewis de la molécule 802. En déduire sa structure 
géométrique.

11.32. Le dioxyde de soufre, gazeux à température et pression ordinaires, est 
très fortement soluble
dans l'eau à laquelle il confère un caractère acide marqué. Quel nom la 
nomenclature systématique
donne--telle à l'anion hydrogénosulfite, HSOg", base conjuguée de cet acide ?

II.3.3. Déterminer le pH à 298 K d'une solution dans laquelle on a dissous l 
mol.L """ ' de dioxyde de
soufre.

Il.3.4. Le diagramme potentiel--pH du système soufre-eau est représenté sur la 
figure 2 (page 6).
Quel type de réaction subit le soufre solide au--dessus de pH = 7,5 ? Ecrire le 
bilan de cette réaction.
Pourquoi ce diagramme ne fait--il pas apparaître les espèces 802 et HSOg'" '?

II. 4. La réaction de Bunsen

Le diiode et le dioxyde de soufre réagissent ensemble en présence d'eau selon 
la réaction (1), dite
« Réaction de Bunsen », qu'on étudie de façon simplifiée en considérant les 
constituants dans l'état
physique qu'ils ont à 400 K :

12 (EUR) + SO}, @) + 2 H7_O (g) ---> 2 HI (g) + HzSO4 (EUR) Réaction (4)

114.1. Préciser quel(s) est (sont) l' (les) élément(s) réduit(s), oxydé(s), ou 
qui ne change(nt) pas de
nombre d'oxydation pendant l'évolution selon la réaction (4).

11.42. Montrer, en calculant sa constante d'équilibre à 400 K, que cette 
réaction n'est pas
thermodynamiquement favorable dans les conditions retenues ici. Proposer une 
méthode permettant

d'augmenter son rendement.

II. 5. La décomposition de l'acide sulfurique (Réaction (5)}

Cette réaction permet de recycler le dioxyde de soufre et de récupérer le 
dioxygène ; elle s'écrit :

HQSO4 (g) ---> 802 (g) + l/2 03 (@ + HzO (g) RéflC-ti0fi (5)
11.5. 1. Ecrire la formule de Lewis de la molécule H2804 et en déduire sa 
géométrie.

On considère parfois, de façon simplifiée, que l'acide sulfurique se déshydrate 
rapidement puis que
son anhydride 803 se réduit en SO; selon :

803 (g) ---> 802 (3) + "2 02 @) Réaction (6)

La constante d'équilibre à 1 100 K de cette réaction est égale à 0,5. Un 
réacteur fermé contient
initialement, à cette température, du trioxyde de soufre pur sous la pression 
de 1 bar. La température

dans le réacteur est maintenue à 1 100 K.

11.5.2. Calculer les pressions partielles des trois constituants à l'équilibre 
thermodynamique.

1153. Quelle est alors la pression dans le réacteur en supposant que tous les 
gaz sont parfaits ?

III. Données numériques et figures

Numéros atomiques :
H:1;0:8;S:16
Structure électronique :

[I] = [Kr] 5s2 4d'° 5p5
Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K""1 .mol"l

Température de fusion de 12 : Tf = 386,8 K

Enthalpie standard de réaction à 298 K (kJ.mol'l)

12 (Si) : 12 (EUR) [X,--HO : 62,421

Entropies standards a 298 K (J.mol"l)
12 ($) S° ... = 116,142

I2 @) S° (g) : 260,685

Enthalpie et enthalpie libre standards de formation à 1 800 K (kJ.mol") :

H20 (@ Af ° =----- 251,139 A ° =------ 147,330

Enthalpies libres standards de formation à 400 K (kJ.mol'l) :

802 @) AfG° = ---- 300,942
H30 @) AfGO = ------- 223,951
HI (@ At ° = ---- 6,428
112804 (EUR) AfG° == ----- 647,930
12 (EUR) AfG° = 0

Constante d'acidité :

SOZ(aQ)+2 H20 0) : HSO3" (aq) + H30+ (aq) Ka : 10"l'8

Paramètres de maille du diiode solide orthorhombique :
Selon- (OX) & == 727,00 pm
Selon (Oy) b = 979,34 pm

Selon (02) 0 = 479,00 pm

0,8... 0,507
un
06156 0,350?

.m--
__

03844 0,1493

0,3844 0, 6493
0,1 156 O, 1493
0,1 156 O, 6493

"2

Figure ].
Projection sur la face y0z des atomes contenus dans la maille orthorhombique du 
diiode et
coordonnées de chaque atome, exprimées en fraction du paramètre de maille 
correspondant.

2.0

HSO4" (aq>---->
1.5 --

Figure 2.

Diagramme potentiel--pH du système soufre-eau à 25°C tracé pour une 
concentration des
espèces dissoutes de 0,1 mol.L"l.

Fin du problème de chimie

PROBLEME DE PHYSI UE

AUTOUR D'UN VEHICULE ELECTRIQUE

Cette étude aborde différents thèmes liés à l'automobile. Les différentes 
parties sont indépendantes.
Un formulaire global se trouve en fin d'énoncé.

PARTIE I : étude de la motorisation

I] A) Principe de fonctionnement et modélisation.

Le principe de la conversion d'énergie électrique en énergie mécanique repose 
sur une interaction
champ magnétique - courant électrique.

L'espace sera repéré par les bases habituelles (êx,êy,êz) ou (ër,ë9,êz) suivant 
qu'on travaille en

coordonnées cartésiennes ou cylindriques. L'axe principal de la machine est 
colinéaire à ëz .

Dans la machine à courant continu que nous étudions ici, le stator aussi appelé 
inducteur est
alimenté par un courant continu, appelé courant d'excitation et noté : l'.... 
Il crée à l'intérieur de la

_,

machine un champ magnétique radial, porté par ër :B : Brër avec B, : Br(i EUR) 
= K (6)i qui est

exc ' exc

proportionnel au courant d'excitation i... et qui dépend de (9.

On a K(9)=k pour ÛE]%;î--[ et K(Û)=--k pour 95}--fl;%[U]--Ë;fl[ où k est une

constante positive.
Pour un courant d'excitation iexc positif donné, Br(i

exc '

EUR) est alors la fonction de 0 constante par
morceau, représentée figure 1:

Br(iexoe 9)
k. l., C
..T[ 9
2 5
'k- iexc
Figure 1

Le rotor, aussi appelé induit se compose de N spires rectangulaires montées en 
parallèle. Les spires
de rayon a et de longueur 11, ont pour axe principal z'z. Lorsque le rotor est 
parcouru par un courant

continu ], chaque spire est parcourue par le courant : IS : 1 N . Ces spires 
peuvent tourner autour de

l'axe de rotation z'z.
Un système bagues-balais permet d'inverser le courant dans les spires à chaque 
demi-tour de sorte

qu'on se trouve toujours dans la configuration décrite par les figures 2 et 3.

B ...................... ..

-./vducteur aller

Traj ectoire d'un conducteur

.
.. o'
o .
'o ..

. n
o o
.. ..

'. ..

o o
'. ..
°°°°°°°
°°°°°°°
...........

Figure 2

Système

bagues-balais\

Figure 3

D'un point de vue électrique, chaque spire du rotor & une résistance i" et une 
inductance propre 5.

D'un point de vue mécanique, le rotor tourne autour de l'axe z'z à la vitesse 
angulaire Q = Q ê" , on

&

note J son moment d'inertie.
Modélisation :
1) Par induction électromagnétique, un circuit électrique peut être le siège 
d'une tension induite.

Rappeler dans quelle(s) condition(s) ce phénomène apparaît, on distinguera le 
cas de Neumann et le
cas de Lorentz.

2) Lorsque le rotor tourne, il apparaît le long des conducteurs aller (oc, B) 
et retour (y, 6) deux

tensions induites 60113 et 675, de sorte qu'une spire peut être modélisée par 
le schéma électrique de la
figure 4.

Figure 4

Déterminer les fem. (forces électromotrices) induites 60113 et 675 en fonction 
de Q , a, 11, k et iexc. En
déduire la fem. totale induite espioe aux homes d'une spire.

3) On modélise le rotor par le circuit R, L, E alimenté par une source de 
tension continue
Vreprésenté figure 5.

I
R L E
1

Figure 5
Donner les expressions de R, L et E en fonction de r, 6, a, h, Q , k, iexc et N.

4) Applications numériques :

On donne r = 12 @, EUR= 1,4 1--1, a = 25 cm, h = 1,1 m, N: 40 spires, i... = 
0,5 A et k = 3,2 s.1...
Le moteur fonctionne en régime permanent à 3000 tours par minute. Il est 
alimenté par une source
de tension V= 310 V.

Préciser les valeurs numériques de R, L et E.
Quelle est l'intensité du courant ] absorbé par le moteur '?

Etude mécanique :

Lorsque "le moteur est parcouru par un courant continu [, il est soumis à des 
forces
électromagnétiques de moment (ou couple) F : I'ëz .

S) Exprimer F en fonction de I, a, 17, k et iexc.
Application numérique : Calculer le couple F pour un courant I = 113 A.

Etude énergétique :

On considère un fonctionnement moteur pour lequel Q = 3000 tr/min, V= 310 V et 
l = 113 A.
On note :
- P...æ la puissance mécanique délivrée par le moteur,

-- P] les pertes Joule dissipées dans le moteur,
. Pa"... la puissance délivrée par l'alimentation.

6) Quelle relation existe--t-il entre ces trois puissances '? Calculer chacune 
d'elles.

7) Définir le rendement du moteur et le calculer.

Compromis couple / vitesse :

On suppose ici que le moteur est fortement sollicité de sorte que 
l'alimentation stabilisée en tension
délivre son. courant maximum dit courant de saturation. Vet ] sont alors fixés !

8) Comment varie la vitesse de rotation du moteur ainsi que le couple F si on 
diminue
progressivement le courant d'excitation iexc '? Expliquer pourquoi un véhicule 
tout électrique,
motorisé par une machine à courant continu peut s'affranchir d'une boite de 
vitesse. On pourra, par
exemple, expliquer comment agir sur le courant d'excitation pour simuler un « 
rétro gradage ».

I] B) Alimentation de la machine par un hacheur série :

Le véhicule, motorisé par la machine à courant continu (M.C.C.) modélisée 
précédemment, est
alimenté par une source de tension constante U = 400 V, par l'intermédiaire 
d'un hacheur série, de

rapport cyclique oc et de période de hachage T, représenté figure 6.

. > «ou f
IK L

Figure 6

La M.C.C. est considérée, dans cette partie, comme parfaite, on néglige sa 
résistance R. Son modèle
se ramène ainsi à une inductance L en série avec la f.e.m. E. On supposera ici 
que le courant
* d'excitation iexc ne varie pas. Il est fixé à 0,5 A. La f.e.m. E est donc 
proportionnelle à la vitesse.

On a E = 276 V pour Q = 3000 tr/min.

La commande du transistor K est la suivante :
-- Sur l'intervalle [O, od], le transistor K est passant.
--- Sur l'intervalle [DJ, 7], le transistor K est bloqué.

Dans les mêmes conditions de frottement, on a relevé les deux chronogrammes de 
la figure 7. L'un
des deux est obtenu lorsque le véhicule roule sur le plat, l'autre lorsqu'il 
aborde une montée.

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Courant
(A)
[max = 61 A [max ___--_
[min := 50 A 11771... :
0 5 ms t 0 5 ms t
Chrono gramme l Chrono gramme 2
Figure 7

9) Quel chronogramme correspond au fonctionnement en montée du véhicule ? Parmi 
les courants
i;ç, ip et i, quel est celui relevé sur les chronogrammes '? Quelle est la 
fréquence de hachage ? Que

vaut approximativement le rapport cyclique on ?

1.0) Ecrire l'équation différentielle reliant i, U et E sur l'intervalle de 
temps [O, od]. En déduire
l'ondulation du courant Ai = [max ----- I...... en fonction de L, U, E, or et T.

ll.) Ecrire l'équation différentielle reliant 1' et E sur l'intervalle de temps 
[OLT, 7]. En déduire une
autre expression de l'ondulation du courant Ai = L,... ---- ,... en fonction de 
L, E, oc et T.

12) D'après les deux relations précédentes, déterminer la relation entre E, oc 
et U. Quelle est
approximativement la vitesse de rotation de la M.C.C. au cours des deux essais 
correspondant aux
chronogrammes précédents ? Quelle est la vitesse de rotation maximale du 
dispositif étudié ici ?

13) Exprimer Ai en fonction de L, oc, T et U. Retrouver à l'aide des 
chronogrammes précédents la
valeur de l'inductance L.

PARTIE II : étude des équipements de confort

II] A) Système de climatisation.

Pour un confort optimal, on se propose de maintenir l'air contenu dans le 
véhicule à 20°C.

On rappelle que la pression à l'intérieur du véhicule est maintenue par 
équilibre mécanique avec le
milieu extérieur à 1 bar ou 105 Pa.

Le volume d'air contenu dans le véhicule est V= 4 m3 . L'air sera assimilé à un 
gaz parfait. La
température extérieure est Hg = 35°C.

Dimensionnement du système de climatisation :

Si on coupe toute ventilation et toute climatisation, on constate que la 
température de l'air contenu
dans le véhicule passe de 20°C à 21,5°C en une minute.

14) Quelle est l'énergie thermique récupérée par l'air du véhicule en une 
minute ?
15) En déduire la puissance du climatiseur nécessaire pour maintenir la 
température de l'air à 20°C.

16) Dans la pratique, on installe un climatiseur de puissance bien plus 
importante : P = 500 W.
Commenter ce choix.

Etude du système de climatisation en circuit fermé (figure 8) :

En mode non recyclable, l'air du véhicule est aspiré par le compresseur à la 
température @; = 20°C
et àla pression. PA = 1 bar.
Il est alors comprimé adiabatiquement de façon réversible jusqu'à une pression 
PB et une

température «93.
Il échange thermiquement de l'énergie, de façon isobare avec l'air extérieur de 
température

92 = 35°C. La température de l'air comprimé diminue ainsi jusqu'à (95.

La turbine effectue alors une détente adiabatique et réversible jusqu'à la 
température Hp = 5°C et à
la pression PD === PA = 1 bar.

Le compresseur, la turbine et le moteur sont montés sur le même arbre mécanique.

Air extérieur 62 = 35°C

Echangeur

Turbine Compresseur Moteur

Figure 8

17) Pour un système ouvert unidimensionnel en écoulement permanent pour lequel 
il n'y a
quasiment pas de variations d'énergies cinétique et potentielle macroscopiq,ues 
le bilan en
puissance s'écrit:

D mAh : Eh + 3
où lîh correspond à la puissance thermique récupérée par le système et la à la 
puissance mécanique

récupérée par le système autre que celle des forces de pression amont et aval.
A quoi correspondent les grandeurs Dm et Ah ? On en précisera bien les unités 
S.1..

18) Représenter l'allure du cycle des transformations subies par l'air dans un 
diagramme (P, V), où P
est la pression du gaz et v son volume massique.

19) Quelle est la valeur minimale de la température qu'on peut espérer 
atteindre en C ? Quelle
contrainte sur la géométrie de l'échangeur permet de s'approcher au mieux de 
cette température '?

20) En admettant qu'on ait le refroidissement maximum dans l'échangeur, quelle 
doit être la
pression minimale en sortie du compresseur pour rejeter de l'air à 5°C dans le 
véhicule.

21.) Quel débit massique du climatiseur permet d'assurer la puissance de 
climatisation
PCI,-... : - 120 W ?

22) Déterminer la puissance mécanique prélevée par le compresseur sur l'arbre 
du moteur, ainsi que
celle fournie à cet arbre par la turbine. En déduire l'efficacité globale de ce 
dispositif idéal.

23) Dans la pratique, on a plutôt une efficacité de l'ordre de 3 à 4. Expliquer 
cette différence.

H] B) Etude du système de positionnement par satellite (G.P.S.) :

Les premières couches de l'atmosphère terrestre sont constituées de gaz 
électriquement neutres et,
du point de vue électromagnétique, peuvent être assimilées au vide. Au 
contraire, la dernière couche
appelée ionosphère, est un plasma, c'est--à--dire un gaz partiellement ionisé, 
très dilué, localement
neutre et constitué d'électrons et d'ions atomiques monochargés. Le vide et le 
plasma ont pour

permittivité électrique 80 et pour splitéabilité magnétique ,uO .

On notera m la masse de l'électron et --e sa charge électrique, M la masse d'un 
ion et +6 sa charge
électrique. On remarquera que, quelle que soit la nature de l'ion, m est 
négligeable devant M.

Il y a n ions et n électrons par unité de volume dans l'ionosphère. Ces 
particules sont supposées non
relativistes, c'est--à--dire que leur vitesse est très inférieure àla célérité 
c de la lumière.

Les signaux électromagnétiques envoyés depuis la surface de la terre vers un 
satellite G.P.S. (situé à
très haute altitude) doivent traverser l'ionosphère. Il en est évidemment de 
même pour les signaux
émis par le satellite vers la surface de la terre.

On envoie depuis la surface de la terre vers le satellite G.P.S. une onde 
électromagnétique plane,
progressive, monochromatique, polarisée rectilignement, qui traverse d'abord 
les premières couches
de l'atmosphère, puis l'ionosphère, pour atteindre le satellite.

Pour cette étude, on ne tient pas compte de la géométrie sphérique de la terre. 
On considère le
problème comme localement plan. L'axe des 2 est l'axe vertical ascendant. On 
utilise les notations
complexes habituelles, les champs électrique et magnétique associés à cette 
onde ont pour

expression: _É== E0exp(i(a)t-- ](Z)) et B= & exp(i(æt-- kz)).

Etude du plasma :

24) Quelle est la relation entre les amplitudes iiË0ii du champ électrique,

Ë0" du champ magnétique

et la célérité (: dans le cas de la propagation dans les premières couches de 
l'atmosphère '?

25) En supposant que cette relation reste valable dans l'ionosphère, justifier 
que la force
magnétique est négligeable devant la force électrique qui s'exerce sur une 
particule chargée de
l'ionosphère.

26) Montrer que les électrons de l'ionosphère tendent à vibrer par rapport à 
une position moyenne
avec une vitesse complexe & qu'on exprimera en fonction de a), e, m et _E_ .

27) De même, exprimer la vitesse complexe ip de vibration des ions en fonction 
de a), e, M et _E_--_ .

'?

Que peut on dire de Hifi)" par rapport à

{;
EUR

28) Justifier qu'il existe dans le plasma une densité de courant :; . A l'aide 
d'une approximation,
exprimer Î en fonction de n, a), e, m et _E: . Montrer qu'on peut définir une 
conductivité électrique

complexe ;! qu'on exprimera en fonction de n, e, a) et m.

29) Y a--t--il dissipation d'énergie au cours de la propagation de l'onde dans 
le plasma '? Pourquoi ?
Etude des ondes électromagnétiques :

30) Ecrire les quatre équations de Maxwell dans le plasma.

31) En déduire l'équation aux dérivées partielles satisfaite par le champ _Ê_ 
dans le plasma.

32) En remarquant que A_Ë_ =----k2_É _. établir la relation de dispersion de 
l'onde dans le plasma.

2 7
a) ------(0 "' _ _ _
On l'écr1ra sous la forme : k2 : ------------.,----3-- et on préc1sera 
l'expressron de (()p en fonction de n, 6,
Ca'- ,
80 et m.
! a)}? r r . .
33) La frequence fp == 2 est appelee frequence de coupure du plasma. Justifier 
son nom. Y a--t--1l
* ][

des précautions particulières à prendre sur le choix de l'onde 
électromagnétique utilisée selon qu'on
souhaite communiquer avec un satellite situé au dessus de l'ionosphère (cas du 
GPS.) ou qu'on
souhaite propager une émission radio en ondes courtes à très grande distance au 
dessus de la terre '?

34) On suppose f > ]Ç,, exprimer en fonction de 0, f et [... la vitesse de 
groupe vg d'un paquet d'ondes
très étroit centré sur la fréquence f.

Correction ionosphérique pour le système GPS. :
Un satellite S, supposé ponctuel, se trouve au dessus de l'ionosphère, 
d'épaisseur H, à la verticale

d'un point P de la terre. On note D la distance SP (figure 9). On rappelle que 
la partie de
l'atmosphère qui n'est pas l'ionosphère est assimilée à du vide.

ionosphère

Figure 9

35) Le satellite émet simultanément à t = 0 deux paquets d'ondes très étroits, 
centrés autour des
deux fréquences f; et fg, avec J'] > fg >> 1}. Ils arrivent respectivement en P 
aux dates t; et {Z.

Exprimer en fonction de H, (3, f... f; et fg le décalage temporel At = t. ---- 
1'! des temps de réception des
deux signaux à leur arrivée en P.
Simplifier cette expression en remarquant qu'au voisinage de 0 on a : (l --- 
X)" z l-- [or.

36) Etablir l'expression du temps { mis par une onde de fréquence [ >> 1} pour 
parvenir du satellite
jusqu'au point P en fonction de D, H, c, fet I}.

37) En déduire à l'aide des résultats précédents que D = ct --- d, où l'on 
exprimera d en fonction de
0, At, £ f; et fg.

38) Le terme d est appelé correction ionosphérique, il est obtenu par mesure de 
At en temps réel. Il
est de l'ordre du cm. Commenter cette valeur dans le cas d'une localisation 
automobile.

Formulaire :

Capacité themique massique de l'air à pression. constante : c,, = 1,00 k].kg'l 
.K"'.
Masse molaire de l'air : M... = 29 g.mol".

Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.KÎ'.mol"'.

Rapport des capacités thermiques à pression et volume constants pour l'air : y 
: Cp/Cv = 1,4.
Permittivité électrique du vide : 80 = 8,85><1042 F.m°'. Perméabilité magnétique du vide : ,u0 = 47t><10"7 S.I. Célérité de la lumière dans le vide : c = 3><108 ms". Masse de l'électron : m = 9,1 ><10"27 kg. Charge électrique élémentaire e = l,6>< 10"19 C. On rappelle que rôt(rôt(â)) : gfad(div(ä)) ------ Aâ . Fin du problème de physique Fin de l'énoncé