CCINP Physique 2 PSI 2014

SESSION 2014 PSIP208

.:==_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené a prendre.

Les calculatrices sont autorisées

PROBLEME DE PHYSIQUE CHIMIE

CUIVRE ET SUPRACONDUCTIVITE

Une annexe donnant le diagramme E-pH du cuivre, des données et un formulaire
global se trouve en fin d'énoncé en pages 13 et 14.

1/14

A)

1)
2)

3)

4)

5)

6)

7)

B)

PARTIE CHIMIE
Etude cristallographique du cuivre :
Le cuivre comme de nombreux métaux cristallise suivant la structure cubique à 
face centrée.
Représenter en perspective l'allure d'une maille élémentaire.

Définir en une phrase le terme de coordinence. Préciser sa valeur dans le cadre 
de la
structure étudiée.

Comment s'effectue le contact entre les atomes ? En déduire la relation entre 
le paramètre de
maille a et le rayon atomique R.

Combien y a-t-il d'atomes par maille ?

Définir la compacité C, donner son expression littérale puis l'évaluer 
numériquement. Est-ce
une structure compacte ?

Soient M la masse molaire du cuivre, R son rayon atomique, Na le nombre 
d'Avogadro et p

la masse volumique du cuivre, déterminer la relation entre M, R, Na et p.

Application numérique : évaluer M. En déduire la période de la classification 
des éléments à
laquelle appartient le cuivre.

Diagramme E-pH du cuivre :

Les espèces prises en compte sont : Cu(S), Cu2+, Cu20(S), Cu+ et Cu(OH)2(S). On 
ne tient donc

pas compte du degré d'oxydation +III.

8)

On supposera que la concentration totale en espèces dissoutes vaut 10'2 mol.L".

Classer les espèces par degré commun d'oxydation et déterminer pour chaque degré
d'oxydation les domaines de prédominance de chacune des espèces en fonction du 
pH.

Etude du couple Cu( II)/ Cu( I) :

L'allure du diagramme E-pH du couple Cu(II)/Cu(l) (figure 1) est le suivant :

Eë

pH

V

Figure 1 : diagramme E-pH du couple Cu(II)/Cu(l)

2/14

9) Reproduire sur votre copie l'allure de ce diagramme E-pH en y plaçant les 
espèces
numérotées de I à IV.

10) Quelle est la valeur du potentiel du segment horizontal (a) ?

11) Déterminer la pente puis l'équation complète du second segment (b).

On admettra que la pente du troisième segment (c) est de - 0,06 V/unité de pH.

Etude du couple Cu(I)/Cu(0) :

L'allure du diagramme E-pH du couple Cu(I)/Cu(0) (figure 2) est le suivant :

E/Î

(oc)
(B)

Figure 2 : diagramme E-pH du couple Cu(l)/Cu(0)

12) Déterminer les coordonnées du point A ainsi que la pente du second segment 
(B). En déduire
l'équation complète du segment (B).

Diagramme E-pH provisoire :

13) Superposer les deux diagrammes E-pH précédents. Commenter. Préciser le pH
d'intersection des segments (b) et (B).

Diagramme E-pH du cuivre :

14) Déterminer le potentiel standard E°(Cu2+/Cu(s)) du couple Cu(ll)/Cu(0).

15) Donner l'équation du potentiel correspondant à la frontière Cu(ll)/Cu(0) 
pour pH < 3. Est-il
nécessaire d'étudier ce couple pour pH > 3 ? Justifier.

16) Sur votre copie, reproduire le diagramme E-pH du cuivre fourni en annexe. 
Compléter la

frontière manquante et placer les différentes espèces du cuivre. La 
représentation doit être
claire et soignée car elle servira à nouveau par la suite.

3/14

17) On considère la réaction chimique : 2 Cu+ : Cu(S) + Cu2+. Comment 
nomme-t-on ce type de
réaction ? Evaluer sa constante d'équilibre Kdis°.

C) Diagramme E-pH de l'eau ou de ses ions :
L'eau (ou ses ions) peut agir comme oxydant ou comme réducteur.

Dans cette partie, on supposera les pressions égales à la pression standard, 
soit
P =PO2 =PO , avec P° : 1 bar ou 105 Pa.

18) Ecrire les deux demi--réactions d'oxydoréduction dans lesquelles 
interviennent les couples
de l'eau. En déduire les deux équations des deux droites E : f(pH), figurant 
dans le
diagramme E-pH de l'eau.

19) Superposer le diagramme E-pH de l'eau sur le diagramme E-pH du cuivre tracé 
à la
question 16).

20) Pourquoi le cuivre est-il qualifié de métal noble ? Justifier son 
utilisation dans la marine
antique (scaphandre, poulie. . .). Connaissez-vous d'autres métaux nobles ? En 
citer deux.

D) Lixiviation du cuivre et préparation d'une solution de cuivre 11 :
21) Définir en une phrase le terme de lixiviation acide.

22) On considère la réaction chimique : Cu(OH)2(S) + 2 H30+ : Cu2+(aq) + 4 H20.
Evaluer la constante d'équilibre KHX° de cette réaction.

23) A partir de quelle valeur de pH faut-il travailler pour obtenir une 
solution de concentration
minimale égale à 1 mol .L'1 de cuivre (11) dissous ?

On désire réaliser une solution d'acide sulfurique satisfaisant cette condition.

24) En remarquant que la 1re acidité est forte (réaction totale), que la 26 
acidité est faible et, en
ne considérant que la (ou les) réaction(s) prépondérante(s), établir une 
relation entre la
concentration C d'une solution d'acide sulfurique et la concentration en ions 
H30+.

25) Quelle est la valeur minimale de C pour que le pH soit inférieur à 4 ?

E) Détermination expérimentale de la composition d'une céramique 
supraconductrice :

Les céramiques supraconductrices de formule générale YBa2(Ïu30n présentent un 
état
supraconducteur pour des températures supérieures à celle de l'azote liquide 
sous la pression
atmosphérique et sont ainsi qualifiées de supraconducteurs à haute température 
critique. Elles
contiennent des anions oxydes, des cations Y3+ et Ba2+, ainsi que des ions Cu2+ 
et Cu3+ en
proportions variables.

La détermination expérimentale de leur composition peut s'effectuer en 
réalisant les deux
expériences suivantes.

4/14

Expérience 1 :
- une petite quantité de solide (de l'ordre de 10'4 mol) est dissoute, à chaud, 
dans 20 mL
d'une solution d'acide chlorhydrique à 1 mol.L'1 ;
- on ajoute ensuite un excès d'iodure de potassium. On observe alors la 
formation d'un
précipité d'iodure cuivreux Cul et l'apparition de diiode ;
- le dosage du diiode formé nécessite un volume V1éq de 26,7 mL de thiosulfate 
de sodium à
0,03 mol.L' .

Expérience 2 :
- la même quantité de solide est maintenant dissoute, à froid, dans 20 mL d'une 
solution
d'acide chlorhydrique à 1 mol.L'1 ;
- on ajoute ensuite un excès d'iodure de potassium. On observe alors la 
formation d'un
précipité d'iodure cuivreux Cul et l'apparition de diiode ;
- le dosage du diiode formé nécessite, cette fois, un volume V2éq de 35,6 mL de 
thiosulfate
de sodium à 0,03 mol.L".

26) En s'appuyant sur l'échelle des potentiels standards et l'absence d'ions 
iodure, quelle

! ° ! ° \ ' 3+ ' '
react10n d'oxydo-reduct10n s'attend-on a observer pour les 10ns Cu en solut10n 
aqueuse a
pH = 0 ?

27) Cette réaction n'est pas observée à froid. Proposer une explication.

28) a) Après dissolution à chaud de la céramique supraconductrice dans la 
solution d'acide
chlorhydrique, sous quel(s) forme(s) ionique(s) se trouve le cuivre dans 
l'expérience 1 ?
b) Après dissolution à froid de la céramique supraconductrice dans la solution 
d'acide
chlorhydrique, sous quel(s) forme(s) ionique(s) se trouve le cuivre dans 
l'expérience 2 ?

29) Ecrire la (ou les) réaction(s) chimique(s) qui aboutit(ssent) àla formation 
du précipité Cul.
30) Ecrire la réaction de dosage du diiode par le thiosulfate.

31) On note respectivement x et y les nombres de moles initiales de Cu2+ et de 
Cu3+ contenues
dans la pastille supraconductrice solide qui a été dissoute.

, . . x
Determmer une relat10n entre x, y, V1éq et V2éq. Evaluer le rapport --.

32) Déterminer la valeur de n dans la formule brute de la céramique 
supraconductrice.

5/14

PARTIE PHYSIQUE

F) Création d'un champ magnétique intense à l'aide d'un solénoïde :

L'imagerie médicale a besoin de champ magnétique intense, permanent et 
uniforme. On se
propose ici de dimensionner une bobine dans laquelle règne un champ magnétique 
de 2 T.

Résistance électrique d'un conducteur ohmique :

On considère un conducteur ohmique (figure 3), de conductivité électrique 7, de 
section S,
de longueur h, parcouru par un courant électrique continu uniformément réparti 
de densité:

Je : Jeez '

Section S

Figure 3 : conducteur ohmique

33) Exprimer, en fonction de y et 36, le champ électrique Ë qui règne à 
l'intérieur de ce

conducteur.

34) Donner, en fonction de y, j@ et des caractéristiques géométriques de ce 
conducteur, les

expressions du courant électrique I traversant ce conducteur et de la 
différence de potentiel
U aux bornes de ce conducteur.

35) En déduire, en fonction de y et des caractéristiques géométriques de ce 
conducteur, la
résistance électrique Rg de ce conducteur.

Caractéristiques de la bobine à température ambiante :

On suppose ici que la bobine est maintenue à température ambiante T = 300 K.

La bobine (figure 4, page 7) est assimilée à un solénoïde d'axe Oz, de longueur 
L, de rayon
moyen Rmoy avec Rmoy << L. Les effets de bords sont négligés, le solénoïde est 
donc considéré
comme infini. Il est constitué de spires jointives d'un fil de cuivre de 
diamètre d et de conductivité
électrique yCu. Chaque spire est parcourue par un courant I. Il comporte p 
couches de bobinage
superposées.

6/14

L p couches de bobinage

.....................................ggg..pgggp.Ç
................................................
0030. coco. 0.004 0... oo... ooo». 0.0.0 +...
.....gpgg..q.g.q................... (gg....ggg::y
............................ M.... ..... . ....

.gg

........gg.g.g.q.....agp.gggggpgg.ggp.ggpg g..
................................g.pgp.gg.gpgggp.
.gggggpgggggpgggggpggggp.gggggpgggggp.gg.q.qggp.
.. .... H.. .. ........ ..... .... H.. .. ...... .. .....

Figure 4 : bobine

36) a) Sur une seule couche de bobinage, combien y a-t-il de spires jointives 
par unité de
longueur de solénoïde ?
b) Combien de spires par unité de longueur comporte ce solénoïde ?

37) a) Donner, en fonction de d, p, I et ttg, l'expression du champ magnétique 
créé à l'intérieur
du solénoïde.
b) Application numérique : B = 2,0 T, d = 3,0 mm, I = 35 A. Déterminer p.

38) a) En assimilant le rayon de chaque spire au rayon moyen, Rmoy, exprimer la 
longueur, L...,
de fil nécessaire à la réalisation de cette bobine en fonction de RmOy, d, p et 
L.
b) Application numérique : L = 1,8 m et Rmoy = 50 cm. Evaluer L....

39) a) Exprimer en fonction de Vol, de Lfi1 et de dla résistance électrique 
Rélec de la bobine.
b) Application numérique : évaluer la puissance P], dissipée par effet Joule 
dans la bobine.
Commenter.

Caractéristiques de la bobine refroidie à 77 K :

On suppose ici que la bobine est maintenue à la température de 77 K.

Pour diminuer la puissance dissipée, on peut envisager de refroidir le 
conducteur en cuivre
par l'intermédiaire d'un bain d'azote liquide à 77 K. On peut alors imposer 
dans un conducteur de
cuivre, de même diamètre d = 3 mm, un courant plus important 1' = 80 A. On 
réduit ainsi le nombre
de spires de la bobine et donc sa résistance électrique et son rayon moyen.

40) a) Quel est alors le nombre de couches de bobinage, p', à superposer pour 
obtenir un champ
magnétique de 2 T ?

b) En assimilant le rayon de chaque spire au nouveau rayon moyen, Rmoy = 40 cm, 
évaluer

la nouvelle puissance dissipée par effet Joule, P} , dans la bobine.

Compte-tenu du coût de la réfrigération de la bobine à 77 K, il faut tenir 
compte de
l'efficacité de la machine thermique assurant le maintien de cette basse 
température.

7/14

41) On considère une machine frigorifique cyclique et réversible qui assure, 
par l'intermédiaire

d'un fluide caloporteur, les transferts thermiques entre deux sources de 
températures
constantes Tf et TC.

a) En effectuant un bilan énergétique et un bilan entropique sur un systéme 
bien défini,
exprimer l'efficacité, eréV, de cette machine en fonction de Tf et de TC.

b) Application numérique : Tf = 77 K et TC = 300 K. Evaluer eréV.

42) Evaluer la puissance P', minimale, nécessaire pour absorber la puissance PJ 
, dissipée dans la

bobine en cuivre refroidi. Commenter.

G) Puissance dissipée dans le supraconducteur lors des régimes transitoires :

Si les supraconducteurs sont dépourvus de pertes en régime continu, il n'en est 
pas de même
en régime variable. Pour les bobines alimentées en courant continu, ces pertes 
ont lieu lors des deux
régimes transitoires qui correspondent en début d'utilisation de la bobine à 
l'installation du courant
dans le conducteur, puis en fin d'utilisation de la bobine, lors de la 
redescente à zéro de ce courant.

On se propose ici de déterminer l'ordre de grandeur de la puissance dissipée 
par unité de
longueur de conducteur, lors de la première montée du courant, dans une 
situation dite de champ

propre, c'est-à-dire lorsqu'une portion de conducteur est soumise aux 
variations temporelles du
champ magnétique qu'il crée sur lui--même.

On assimile le supraconducteur (figure 5) à un fil rectiligne infini suivant 
l'axe Oz, de rayon
R. On adopte les coordonnées cylindriques.

!

!

|

i,.

a
pu

___--_ ___-"
.
.
.
.
.
.

"\

Figure 5 : supraconducteur

Compte-tenu des invariances du problème, la densité volumique de courant, notée 
je , dans

le supraconducteur ne dépend que de r et est portée par le vecteur @. On a : 36 
= je (r)ëz. Pour un
courant de transport I donné, la densité de courant n'est pas uniforme dans le 
supraconducteur, son
amplitude vaut ij0 ou 0, où jo est une constante. Ce courant se distribue de 
façon à protéger le

centre du supraconducteur de toute variation de champ magnétique.

43) Déterminer en fonction de jo et de R la valeur maximale IC, dite valeur 
critique du courant

de transport de ce conducteur.

8/14

Etude de la premiére montée du courant dans le supraconducteur :

On s'intéresse ici àla première montée du courant I(t) dans le supraconducteur.

On suppose que cette première montée s'effectue, pendant une durée T, suivant 
une
consigne en rampe de sorte que: l(t)=%°t, où IO est la valeur finale du courant 
dans le
supraconducteur.

Ce courant se distribue de façon à protéger le centre du supraconducteur de 
toute variation
de champ magnétique, de sorte qu'il se répartit, à un instant t de cette 
première étape, àla périphérie
du supraconducteur dans la zone : r1(t) < r < R(f1gure 6).

On a : je(r,t) = 0 pour r < r1(t) et je(r,t) = jo pour r > r1(t).

Figure 6 : répartition du courant dans le supraconducteur

44) On défin1t par u = 1--0 le taux d'ut1hsat10n du supraconducteur. Expr1mer u 
en fonct10n de JO,
C

R et 10.

45) a) Déterminer la relation qui existe entre I(t), jo, r1(t) et R.
b) En déduire l'expression de r1(t) en fonction de R, u, T et t.
c) Exprimer r1(T) en fonction de u et R.

46) a) A l'aide de propriétés de symétrie et d'invariance, préciser de 
quelle(s) variable(s) de
l'espace dépend le champ magnétique R dans le supraconducteur et par quel(s) 
vecteur(s)
de base il est porté.

b) Par application du théorème d'Ampère, dans l'approximation des régimes quasi-
stationnaires, sur un contour que l'on précisera, déterminer à l'instant t le 
champ magnétique

Ë(r, t) dans la zone : re [O,r1(t)].
c) De même, déterminer en fonction de Ho» jo et r1(t), le champ magnétique Ë(r, 
t) dans la

zone : re [r1(t),R].

d) Tracer l'allure de la fonction HË(r, t)" à un instant t, pour r & [O, R] .

47) a) Rappeler l'équation de Maxwell-Faraday. Donner le nom du phénomène 
physique régi
par cette loi. Historiquement, à quel siècle a-t-elle été découverte ?

9/14

Pour les questions 47) b) et 47) c), on admettra que toute contribution du 
champ électrique,
qui ne dépend que de l'espace ou que du temps, sera assimilée àla fonction 
nulle.

b) Que vaut le champ électrique Ë = E(r, t)ëZ pour r < r1(t) ?

c) En remarquant que le champ électrique est continu en r1(t) et qu'il peut 
s'écrire sous la

forme : Ë = E(r, t)ëZ , montrer que E(r, t) = "('--I°ln(L) pour r & [rl (t), R] 
.
27tT r1(t)

48) Quelle est l'unité de Ë ? Proposer, en quelques lignes, un protocole 
permettant de visualiser
expérimentalement le champ électrique E(R,t) sur un écran d'oscilloscope ou 
d'ordinateur.

49) Donner l'expression de la densité volumique locale et instantanée de 
puissance dissipée dans
le supraconducteur, notée pV(r,t) :

a) dans la zone : re [O,r1(t)],

b) dans la zone : re [r1(t),R].

50) Par intégration sur l'espace, en déduire, en fonction de Ho , lg, T, 
L......, u et t, l'expression

de la puissance P......(t) dissipée dans une longueur L...... de 
supraconducteur à l'instant t lors
de la première montée du courant.

51) a) Par intégration sur le temps, déterminer l'énergie Q dissipée lors de la 
première montée
du courant dans un supraconducteur de longueur L...... en fonction de Ho , lg, 
L...... et u.

b) Est-il utile d'augmenter la durée T d'établissement de ce courant pour 
réduire l'énergie
dissipée dans le supraconducteur ?

52) La machine thermique qui assure le refroidissement du supraconducteur à 4,2 
K a une
efficacité de 1,5 .10'3 .
On donne 10 = 445 A, L...... = 14 000 m et u = 0,7. Evaluer l'énergie consommée 
Q...b par le
réfrigérateur devant absorber l'énergie Q dissipée lors de la première montée 
du courant.
Commenter.

H) Stabilité thermique des filaments supraconducteurs :
Equation de la diffusion thermique en régime permanent :

On considère un conducteur thermique cylindrique (figure 7, page 11) supposé 
infini, siège

de conduction thermique longitudinale suivant @. On ne considère ici que le 
régime permanent. La

température T(z) est supposée uniforme sur toute section droite S du 
conducteur. On note k sa
conductivité thermique.

10/14

__< _______________________________________________ {}S _____ + Z

Figure 7 : conducteur thermique

53) Rappeler la loi de Fourier et préciser l'unité du vecteur qui intervient.

54) En raisonnant sur une tranche de conducteur comprise entre les abscisses z 
et z+dz, sachant
que notre conducteur thermique est le siège d'une source de chaleur interne de 
densité
volumique de puissance GV, retrouver l'équation de la diffusion thermique en 
régime
permanent.

Application au supraconducteur :

On rappelle qu'un matériau supraconducteur est effectivement dans l'état 
supraconducteur si
sa température est inférieure à une température critique notée TC.

On considère ici que notre conducteur cylindrique de rayon R est traversé par 
un courant

électrique uniformément réparti de densité } = j0ëz .

De plus, les phénomènes de conduction thermique longitudinale étant bien plus 
efficaces
que les échanges conducto-convectifs de surface, on suppose qu'il n'y a pas 
d'échange thermique
en r = R, entre le conducteur et le bain d'hélium dans lequel il trempe (figure 
8).

Interface avec le bain d'hélium

_( _______________________________________________ <)S _____ + Z

Figure 8 : conducteur thermique et bain d'hélium

Au sein d'un supraconducteur, une perturbation peut faire transiter une zone
supraconductrice en une zone résistive, dite normale. Cette zone normale peut 
parfois se résorber
d'elle-même en se refroidissant par conduction thermique avec ses zones voisines
supraconductrices. On se propose de déterminer ici l'ordre de grandeur de la 
longueur maximale,
LmaX, capable de se résorber d'elle-même

11/14

Sur la figure 9, ci-dessous, on a représenté une zone normale (T > Tc), de 
longueur L, dont
on note pn sa résistivité électrique. Le reste du conducteur est à l'état 
supraconducteur et est donc
dépourvu de toute résistivité électrique. On suppose que le profil de 
température de part et d'autre
de cette zone normale est le suivant :

zone normale

_+/_//V zones supraconductrices
"' __/+
A
Tc /\
To
_3_L _£ & 3_L 2
2 2 2 2

Figure 9 : profil de température

55) a) Quel phénomène est à l'origine d'une dissipation de puissance dans la 
zone normale ?
b) Donner l'expression de la densité volumique de puissance GV, dissipée dans 
cette zone
normale en fonction de pH et de jo.

56) Justifier l'allure générale du profil de température pour z & {--3ÎL,3--L} .

2
57) Exprimer, en fonction de CV, L et S, la puissance dissipée R... dans la 
zone normale.

58) a) Donner, en fonction de T0, T0, k, L et ëZ , l'expression du vecteur 
densité de courant

. =. . 3L L
therm1que _]Q1 dans la zone supraconductnce ze _Î'__ .

2
b) Donner, en fonction de T0, T0, k, L et @, l'expression du vecteur densité de 
courant

. =. . L 3L
therm1que _]Q2 dans la zone supraconductnce ze î,-- .

2

59) En déduire la puissance thermique P... sortant de la zone normale en 
fonction de T0, T0, k, L
et S.

60) a) Exprimer, en fonction de CV, T0, T0 et k, la longueur maximale Lmax 
d'une zone normale
capable de se résorber d'elle--mème.
b) Application numérique: pn = 4.10"7 om, k = 0,3 W.m'l.K'l, T, = 6,5 K, TO = 
4,2 K et
jo = 109 A.m'2. Evaluer LmaX.

c) Pourquoi les conducteurs supraconducteurs sont--ils constitués d'un grand 
nombre de
filaments submicroniques ?
12/ 14

E(Volt) /\

1,00 V

0,02 V

ANNEXE

Diagramme E-pH du cuivre.

13/14

Données :

Constante d'Avogadro : Na = 6,02 1023 mol'l.
Rayon atomique du cuivre : R = 128 pm (1 pm = 10'12 m)
Densité du cuivre : d = 8,9.

Potentiels standards à 298 K :

E°(Cu3+/Cu2+) = 2,3 v.
E°(Cu2+/Cu+) = 0,16 v.
E°(CuWCu) = 0,52 v.
E°(12/r) = 0,62 V.

E°(s4oâsto£') = 0,09 V.

E°(H+/H2) = 0 V.
E°(o2/H2O) = 1,23 V.

Produits de solubilité :

pK51(CU2O(S)) = 30.
pK52(CU(OH)2(S)) = 20.

Cu2O(S) + H2O = 2Cu+ + 20H".
Cu(OH)2(S)= Cu2+ + 20H".

L'acide sulfurique (H2804) est un diacide dont la 1re acidité est forte et la 
2EUR acidité est
faible. On donne pK,(Hso4'/so42') = 1,9.

Produit ionique de l'eau : pKEUR = 14.

Constantes physiques :

H0

= 47t.10--7 H.m'l.

Conductivité électrique du cuivre :
y...(77 K) = 3,3108 S.m'1 ;y...(300 K) = 6.107 S.m'l.

Formulaire mathématique :

Fonction : f(x)

Primitive : F(X)

X 2 2
XlÏl-- X--lIl  _X_+Cste
X0 2 X0 4
ln (1 _ OEX) (l -- OtX) -- (l -- OtX) ln(l -- OtX) + csoe

06

Opérateurs vectoriels en coordonnées cylindriques :

"dU :_ + +--

t(ä) : (l a(az) _ Ô(Cl9))ë +

rô

aU+ 1a_U=

]"

r 89 82

div(ä) = 1 a ("I'")

r dr

a