CCINP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2019

SESSION 2019 C PSIMI06

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE

Jeudi2mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur dénoncé, il le

signalera sur Sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de quatre parties, toutes indépendantes.

1/23
Optimisation de la masse d'un drone de prise de vue

Les drones de prise de vue sont aujourd'hui utilisés pour de nombreuses 
applications professionnelles
ou ludiques : surveillance militaire ou civile, agriculture, inspection des 
bâtiments et des ponts, mais
aussi pour le cinéma, la télévision ou des loisirs tels que les courses de 
modèles réduits.

La plupart d'entre eux utilisent une nacelle motorisée à 2 ou 3 axes asservis 
qui a pour fonction de
stabiliser les images acquises par la caméra ou l'appareil-photo embarqué. Pour 
le reste, on retrouve
les composants de base d'un drone classique : structure légère en plastique ou 
en carbone, moteurs
synchrones à aimants permanents (brushless) avec leur électronique de commande 
et de puissance
ainsi qu'une batterie.

Figure 1 -- Drone de prise de vue avec nacelle motorisée 3 axes (modèle : DJI 
Phantomd4)

Les principaux inconvénients des drones à caméra restent leur poids 
(comparativement aux drones
classiques) et leur faible autonomie, de l'ordre de la dizaine de minutes. Une 
réduction de la masse
permettrait des vols plus dynamiques et une consommation inférieure. Les 
problématiques de réduc-
tion de masse et d'augmentation de l'autonomie sont donc liées.

L'essentiel de la masse est concentré dans les moteurs, la nacelle de la caméra 
et la batterie. Une
fois les moteurs convenablement dimensionnés, les pistes d'allègement 
concernent les deux derniers
éléments cités.

Le problème s'intéresse ainsi à des évolutions dont la finalité est la 
réduction de la masse du drone et
est construit en quatre parties indépendantes :

la partie I s'intéresse au rapport entre la masse du drone et sa consommation 
énergétique ;

la partie IT étudie une ingénieuse alternative à la lourde nacelle motorisée ;

la partie IIT porte sur les batteries Li-ion alimentant les drones et en 
particulier sur l'optimisa-
tion de leurs capacités massiques ;

enfin, la partie IV explore la possibilité de se passer de batterie en lui 
substituant un dispositif
d'alimentation sans fil.

Partie I - Quel rapport entre masse et autonomie ?

Objectif : déterminer la relation entre l'autonomie (en vol stationnaire) et la 
masse d'un drone.
L.1 - Modélisation de la force de sustentation

La force nécessaire à la sustentation est obtenue à l'aide de plusieurs hélices 
mises en rotation par
des moteurs synchrones à aimants permanents à rotor externe (moteurs brushless 
outrunner). Ces
moteurs, généralement au nombre de quatre, sont placés aux extrémités d'une 
structure en étoile (ou
structure étoilée) añn d'assurer la stabilité du drone. IIs sont alimentés par 
une batterie via un onduleur
commandé par un système électronique d'autopilotage.

2/23
Bilans pour un fluide en écoulement permanent

 J1N . v 1: . -->
On considère un fluide en écoulement permanent sous un débit massique D,,. On 
note V,, pr, ea
et e,1, la vitesse, la pression, l'énergie cinétique massique et l'énergie 
potentielle massique au ni-
° , -- A 7
veau de la section amont S, d'un tube de courant et V:, pr, ec et er, ces mêmes 
quantités sur la
section aval S, (figure 2).

__--...

u--
i % , LT
' ' sn
1 1 % ' % + Lu
N 4 ' s ' +
'{: 12
: u 1 3 ' 2 4
'
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$ + mm"
* ' AS
D am
+ + ss" 2
+ =.
mm"

Figure 2 -- Tube de courant

Un bilan d'énergie mécanique entre les sections S, et S, donne, pour un 
écoulement homogène et
incompressible de masse volumique p,

Ap
P

avec P, la puissance des actions mécaniques utiles exercées par les parties 
solides et P;,, celles des
actions internes au fluide. La notation Ax = x, -- x; désigne la différence 
aval-amont.

De même, un bilan de quantité de mouvement permet d'obtenir

Duo = V9) = Fou (2)

avec F,... résultante des actions extérieures appliquées au système coïncidant 
avec le tube de courant.

Relation Puissance-Force pour une seule hélice

Nous considérons le flux stationnaire d'air, de masse volumique p supposée 
constante, mis en mou-
vement par une des hélices du drone. Une représentation schématique du tube de 
courant traversant
l'hélice est proposée en figure 3, page 4. À l'entrée du tube de courant, l'air 
est immobile et la pres-
sion égale à la pression atmosphérique po.

On note v, la vitesse immédiatement en sortie de l'hélice et v, la vitesse de 
l'air suffisamment en aval
de l'hélice pour qu'il soit considéré à l'équilibre mécanique avec l'atmosphère 
ambiante (p,; = Po).

1 ve . » , > --  e
L'hélice, balayant une section d'aire S, exerce sur l'air une force F = F 7 
tout en lui cédant une
' 4 - > --> 2
puissance mécanique P, = Fv,. On note g = g7, avec g = 9,8 m/s", le champ de 
pesanteur
terrestre.

3/23
ns
e* ..

\.

Sn. ..
name
nn nn nn nn nm mn nm mme c ana me am ana n en eemmnmememmenseseettt tt ee

Co
-
e
DO
-

Y

Z

Figure 3 -- Écoulement de l'air à travers l'hélice

Q1. Modélisation de l'écoulement d'air
- Justifier le choix d'une vitesse nulle à l'entrée du tube de courant (loin de 
l'hélice).
- Formuler une hypothèse supplémentaire sur la nature de l'écoulement 
permettant de
négliger la puissance des actions internes P;,,.
- En proposant des ordres de grandeurs cohérents de vitesse et dénivelé, 
justifier qu'il est
possible de négliger, en première approche, la variation d'énergie potentielle.

Q2. En tenant compte de ces hypothèses, appliquer les relations (1) puis (2) au 
système afin d'ex-
P YP PP P y
primer P,, puis F en fonction du débit massique D, et de v.. En déduire que vy 
= v,/2.

1 --
Q3. Montrer que P, = ------F*", En déduire l'expression de la force Il exercée 
par l'air sur

1/2pS
l'hélice, en fonction de P,,, p, S et du vecteur unitaire TZ.

I.2 - Validation expérimentale

Afin de valider la relation obtenue en question Q3, des mesures expérimentales 
de la force de sus-

. > D, 9 ,  _? . . » » . » _»
tentation IT ont été réalisées. Le dispositif expérimental est décrit et 
schématisé en figure 4, page S :
le drone 1, dont un seul moteur est actif, est maintenu à un banc 0 par deux 
liaisons pivots situées
en À et À', l'axe de rotation (AA) passant par le centre de gravité G de 
l'aéronef miniature. On note

_; --_--_-->  ----
Z0o = AA'/|JAA'||.

La branche du drone comprenant le seul moteur en fonctionnement est reliée à 
une balance (faisant
office de capteur de force) par un cordon vertical 2 de masse négligeable. On 
note F. = F;ÿ) la force
exercée par ce fil sur le capteur. Le point d'attache du cordon sur le drone et 
celui d'application de Ii
sont supposés confondus en un même point M et II = Ily; est orthogonale au 
vecteur GM = Lx. Un

défaut d'horizontalité est pris en compte et quantifié par l'angle & = (x, xi).

Le circuit d'électronique de puissance est alimenté par une source de tension 
remplaçant la batterie

du drone ; l'interface utilisateur permet d'ajuster la vitesse de rotation de 
l'hélice et ainsi la puissance

mécanique cédée à l'air.

Q4. Effectuer le bilan des actions mécaniques extérieures exercées sur le drone 
et le cordon. En
déduire l'expression de la norme IT de la force de sustentation en fonction de 
F. et de a.

4/23

Figure 4 -- Dispositif expérimental. Seules l'action de l'air sur une hélice et 
la force exercée sur le
capteur sont représentées

Q5.

La force mesurée par le capteur est assimilée à la force de sustentation : 
Iesurée = Fe:

Exprimer, à l'ordre 2 en @, l'erreur relative faite. Rappel du développement 
limité de
2

x
cos x en 0 : cos x = 1] -- 5 + o(x°).

Sachant que le protocole expérimental assure que l'angle a ne dépasse pas 5", 
estimer numé-
riquement l'écart relatif maximal (en %) et discuter de la validité du 
protocole de mesure.

On relève IT (en N) en fonction de la puissance électrique absorbée P, (en W) 
et on trace In(P,) en
fonction de In(Il) afin d'identifier la loi de puissance (figure S).

Q6.

4.5

4.0 Fe

+

3.9

In(Pe)

3.0

2.5

2.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
In (M)

Figure 5 -- Évolution de In(P,) en fonction de In(IT)

En exploitant la figure 5, justifier que P, = KIT et estimer numériquement & et 
g.
Comparer la valeur obtenue pour q à celle déterminée à la question Q3. Au delà 
des incertitudes
de mesures, proposer une justification à l'écart.

5/23
1.3 - Masse et autonomie en vol stationnaire

On considère un drone, de masse totale m, alimenté par une batterie de force 
électromotrice U et de
capacité Q (en A:h) et disposant de quatre hélices et moteurs identiques. 
Chaque moteur absorbe une
puissance P, et chaque hélice reçoit une force de norme IT, ces deux quantités 
étant reliées par la
relation établie en question Q6.

On définit l'autonomie Af comme la durée d'une décharge complète de batterie 
lors d'un vol station-
naire ; On Supposera que seuls les moteurs consomment de la puissance.

Q7. Exprimer P,,4, la puissance totale consommée en vol stationnaire, en 
fonction de K, m, g et q.
En déduire l'autonomie Af. Faire l'application numérique pour un drone Bebop 2 
de masse
m = 500 g alimenté par une batterie LiPo 3$S de tension U = 11,1 V et de 
capacité
Q = 2,70 Ah. On donne g = 1,3 et k = 9,5 SI.

L'autonomie décroit donc fortement quand la masse augmente, soulignant 
l'intérêt d'alléger le drone.

Partie II - Peut-on se passer de la nacelle motorisée ?

Une solution technologique innovante, permettant de se passer de la lourde 
nacelle motorisée utilisée
par la plupart des drones et ainsi gagner en masse, est proposée sur le drone 
de loisir Bebop 2.

Celui-c1 utilise un objectif grand angle de type fish-eye numérique et un 
algorithme de traitement
d'images en temps réel. Ce traitement numérique n'étant cependant pas suffisant 
pour éliminer toutes
les vibrations subies par la caméra embarquée, le support en forme de tube, 
transportant la caméra,
la batterie et les composants de la chaîne d'information, est désolidarisé de 
la structure en étoile
E (figure 6). Pour cela, la liaison entre cette structure étoilée et le tube T 
est assurée par 4 plots
amortisseurs, réalisant ainsi une liaison dite flexible.

_--_--
gs _----

__--
_--...
-_

-
"7
e

_
_
_--_-- _
--_-- es LE
------ __--
Te mmmmmmmmmm--m--m--m--m------

Structure
en étoile E

Rotor = moteur
+ hélice

Figure 6 -- Présentation du drone Bebop 2

6/23
Objectif : vérifier que de simples plots amortisseurs suffisent à isoler le 
tube de caméra de la structure
étoilée, source de vibrations.

IL.1 - Modes propres de la structure déformable en étoile E et exigences

Toutes les structures continues qui nous entourent (comme les ponts, les 
bâtiments, les véhicules,
etc.) sont susceptibles de subir, suite à des excitations extérieures 
périodiques, des phénomènes de
résonance qui apparaissent au voisinage des fréquences propres, fréquences des 
oscillations libres
de la structure. Les vibrations observées aux fréquences propres sont appelées 
modes propres de
déformation.

Le choix d'une structure en étoile permet de tenir éloigné du centre d'inertie 
l'ensemble des axes de
poussée afin d'assurer une meilleure stabilité en vol. Néanmoins, cette 
solution présente des modes
propres de déformation en basse fréquence.

Un modèle utilisant la méthode des éléments finis a permis d'estimer les modes 
propres de la structure
étoilée. La structure E avec hélices (figure 7) a été dessinée dans un modeleur 
3D puis discrétisée en
sous-domaines afin d'utiliser la méthode numérique en question. Les noeuds 
situés au niveau des
emplacements des quatre plots (non modélisés 1c1) sont maintenus fixes (figure 
8).

Tige 1 Tige 2

Chaque hélice
possède 3 pales

Structure maillée ge

Figure 8 --- Modèle éléments finis de la structure E

7/23
Le tableau 1 présente les 25 premiers modes propres de déformation simulés (il 
en existe une infinité).

N° du mode Fréquence Description du mode .
Visualisation
propre propre (Hz) propre
| entre 41.8 Flexion de la tige 1 et d une
Ï à 4 etALO des pales de son hélice
| autour de l'axe (O,, X)
| entre 62,1 Flexion de la tige 2 et d une
5 à8 et 628 des pales de son hélice
| autour de l'axe (O,, Z)
| entre 62.9 Flexion de la tige 3 et des
9à 12 pales de son hélice autour de
et 63 , --
l'axe (O,, z:)
entre 70 Flexion de la tige 4 et des

13 à 16 pales de son hélice autour de
et 70,5 , --
l'axe (O,, y.)

17 à 20 entre 84,6 Traction-compression des
et 88,0 pales de l'hélice 1

21 à 24 entre 90 Mouvement en ciseaux de 2
et 101 des 3 pales de l'hélice 2

Flexion symétrique des tiges
25 161 opposées | et 3, autour de
l'axe (O,, x)

Xe 2

Tableau 1 -- Modes propres de déformation de la structure en étoile

8/23
Ces modes propres de déformation de E prennent naissance à partir de 
sollicitations cycliques. Ces
dernières sont multiples : déséquilibrage statique et dynamique des rotors, 
couplage air-hélices, etc.

Un extrait du cahier des charges est donné dans Île tableau 2 :

Id Nom Texte
La fréquence de rotation des rotors ne doit pas excéder

Plage |
1.2 ee E® 6 000 tours/min. Le vol stationnaire doit correspondre à une
d'utilisation h .
fréquence de rotation des rotors de 4 500 tours/min.
Sources Les sollicitations cycliques agissant sur le drone ne doivent pas
1.3 L perturber la caméra embarquée dans la plage d'utilisation de
vibratoires

celui-ci.

Tableau 2 -- Tableau des exigences

Cet extrait du cahier des charges se traduit comme suit : la plage 
d'utilisation du drone impose une
plage de fréquence de rotation des rotors située entre 0 et 100 Hz. Ainsi, afin 
que la caméra (située
dans le tube T) ne ressente pas les sollicitations cycliques dans cette plage, 
1l est primordial de s'as-
surer que les fréquences propres du tube n'interfèrent pas avec celles de la 
structure en étoile. Si c'est
le cas, on parle de couplage.

La suite du sujet consistera à élaborer des modèles permettant d'estimer les 
fréquences propres du
tube et de vérifñer s1 celles-c1 se situent loin des fréquences des modes 
propres de la structure étorlée
présentés dans le tableau I.

IL.2 - Modélisation des plots amortisseurs

Le tube, monté sur les plots amortisseurs, va présenter 6 modes propres rigides 
dus à la liaison flexible
entre le tube T et la structure en étoile E. Cette liaison, réalisée par les 
quatre plots amortisseurs,
permet 6 degrés de liberté entre les 2 parties, les plots n'ayant pour fonction 
que d'apporter la raideur
et l'amortissement nécessaire. Ces 6 degrés de liberté sont décrits sur la 
figure 9.

A
A Mouvement
e
de lacet

Mouvement
vertical

{ou de pompage) Mouvement
POMPeE longitudinal ke
el < » _ 7 G 7 27 LS TT AO ° Mouvement vu? de roulis PA Mouvement de galop (ou de tangage) Figure 9 -- Degrés de liberté du tube T par rapport à la structure en étoile E 9/23 Chaque plot est constitué, comme indiqué dans la figure 10, d'une partie en élastomère bombée, d'une vis anti-chute et d'un écrou en aluminium. La partie inférieure du plot est coincée dans la structure étoilée et juste mise en contact avec le tube T. La vis anti-chute est fletée à ses 2 extrémités. Elle est vissée initialement dans le tube T. Cette vis anti-chute, à l'aide de son écrou, permet de solidariser l'ensemble complet et d'apporter la précharge initiale après serrage de l'écrou. | Tube T Filetage + taraudage oo -- Fr Filetage + -- . MN  taraudage Structure étoilée E =" CD <-- Écrou Figure 10 -- Description d'un plot amortisseur et de son assemblage Q8. En considérant les surfaces de contact et la rigidité des vis anti-chutes, identifier les degrés de liberté prépondérants (figure 9) entre le tube T et la structure étoilée E. La réflexion sera bien entendu menée en tenant compte de l'ensemble des 4 plots. En jouant sur les caractéristiques (raideur, amortissement) des plots, le concepteur va pouvoir placer les fréquences des résonances dues aux modes propres rigides du tube T de façon à ce qu'elles ne correspondent pas aux fréquences propres de déformation de la structure E. L'extrait d'un document constructeur vous est proposé en figure 11. Les données physiques et géo- métriques d'un seul plot y sont détaillées. Le modèle de plot amortisseur choisi par le concepteur a comme référence : MV801-12CC. Référence Charge statique axiale (daN) MV801-1CC 0,15 - 0,20 MV801-2CC 0,20 - 0,25 à MV801-3CC 0,25 - 0,30 MV801-4CC 0,30 - 0,40 MV801-5CC 0,40 - 0,50 MV801-6CC 0,50 - 0,65 MV801-7CC 0.60 - 0,80 MV801-8CC 0,75 - 1,00 MV801-9CC 0.95 - 1,20 H (libre) MV801-10CC 1,20 - 1,65 MV801-11CC 1,50 - 2,00 MV801-12CC 1,80 - 2,50 MV801-13CC 2,40 - 3,20 MV803-1CC 1,20 - 1,65 MV803-2CC 1,50 - 2,00 MV803-3CC 1,80 - 2,50 MV803-4CC 2,40 - 3,20 MV803-5CC 3,00 - 4,00 MV803-6CC 3,70 - 5,00 MV803-7CC 4,80 - 6,50 MV803-8CC 6,00 - 8,00 MV803-9CC 7,50 - 10,00 à MV803-10CC 9,50 - 13,00 MV803-11CC 12.00 - 16,50 MV803-12CC 15,00 - 20.00 MV803-13CC 18,00 - 25,00 h (sous charge statique axiale oc G maximale) | Référence | Himm) (mm) | D | (mm) | h(mm) | MV801 | 42 | 26 | M4 | 2 25 v | MV803 | 55 | 40,2 | M5 | 8 34 FT Figure 11 -- Extrait d'un document constructeur d'un plot amortisseur (en daN ; 1 daN = 10 N) 10/23 Q9. Pour le seul plot amortisseur en question, déduire du document constructeur présenté la course que celui-ci atteindra sous charge statique axiale maximale. En déduire la valeur numérique (en N/m) de la constante de raideur £ d'un plot amortisseur. IL3 - Analyse d'un modèle de connaissance à 1 degré de liberté On s'intéresse ici au seul mode propre de pompage qui correspond au mouvement de translation rectiligne verticale du tube T par rapport à E (figure 9). Afin de déterminer la fréquence de résonance associée, nous pouvons associer l'ensemble {T + plots} ° A7 . e .. » . . . -->
à un modèle masse-ressort-amortisseur élémentaire sollicité par une excitation 
verticale f (f).

On donne la raideur et le coefficient de frottement visqueux d'un seul plot : k 
= 1,5 kKN/m et
c = 1,0 kg/s, les frottements visqueux étant supposés linéaires en vitesse.

Q10. Donner, sans justifications, les expressions et valeurs numériques de la 
raideur équivalente K
et du coefficient de frottement équivalent C de l'association de 4 plots 
amortisseurs.

La masse du tube est M = 0, 30 kg et la longueur à vide du plot est notée l,. 
En figure 12 est proposé
un paramétrage du problème. Trois configurations y sont représentées :
- ressort-amortisseur sans tube (ie. sans masse) au repos ;
- ensemble masse-ressort-amortisseur à l'équilibre ; on note z, la position du 
support du tube à
l'équilibre, qu'on choisira ensuite comme position de référence ;

--> CC
- ensemble en mouvement, entraîné par la force d'excitation f (f) = f(t)2 ; la 
position du support
par rapport à la position de référence est notée z(f).

Fo

z

Ge) zu

> À a

( L
LI DK C
' d | DK c Ke

)

\
JITTTTIT JTITTTTIT J'lll ll

Figure 12 --- Modèle à 1 degré de liberté ; de gauche à droite : au repos sans 
Île tube, au repos avec
tube, en mouvement

Q11. Exprimer z, en fonction de K, lo, M et g.

Q12. Montrer, en justifiant soigneusement, que Zz(f) vérifie l'équation 
différentielle :
ME) + CZ(E) + KZ?) = f(?). (3)

On note F(p) et Z(p) les transformées de Laplace des fonctions f(?) et z(f).

Z(p)

F(p)
sous forme canonique. Vous exprimerez la pulsation propre w, et le coeflicient 
d'amortisse-

ment & en fonction de M, C et K.

et la mettre

Q13. Déterminer, dans les conditions de Heaviside, la fonction de transfert 
T'(p) =

11/23
On montre que la pulsation de résonance w, est liée à w0 par la relation 
suivante : w, = w9 V1 -- 2EUR.

Q14. Quantifier l'influence de l'amortissement apporté par les plots 
amortisseurs sur la pulsation
de résonance. Quels sont donc les seuls paramètres physiques permettant au 
concepteur de
positionner la résonance du mode rigide de pompage ?

IL.4 - Analyse d'un modèle de connaissance à 3 degrés de liberté

Modélisation de la solution à 3 degrés de liberté

Le but est de construire 1c1 un modèle de connaissance qui permettra d'estimer 
3 des fréquences
propres de vibration rigide du tube T supportant la caméra. Comme 1l à été 
précédemment démontré
que l'amortissement apporté par les plots amortisseurs avait peu d'influence 
sur la position de ces
fréquences propres, ces derniers ne seront modélisés que par des ressorts.

Le repère K, (O,, x, y, 2), lié à la structure en étoile E (figure 13), est 
construit de telle façon que
le plan (O,, x, y) soit confondu avec le plan physique de contact des 4 plots 
amortisseurs et de la
structure étoilée. Les points À,, B,, C, et D, représentent les intersections 
de l'axe de chacun des plots
avec le plan de contact en question. Le centre O, représente le centre du 
rectangle de sommets À,, B.,
C, et D,. On définit pour la suite la voie a et l'empattement b, tels que : a = 
A,D, = B,C, = 40 mm
et b = A,B, = CD, = 220 mm.

Figure 13 -- Repérage de la structure en étoile
k -- > -- ZX / /
Le repère Rr (Or, xr, yr, zr), attaché à la structure en tube T est représenté 
sur la figure 14.

Z, T £r £, T LT

Figure 14 -- Repérage du tube T au repos

12/23
Au repos, les plans (O,, x, 2) et (Or, X7., Yr) sont parallèles et distants de 
z1 = O,07 et les deux
\ A . -- --? . L .

repères partagent le même axe vertical z, = zr. Les points A7, Br, Cr et D7 
représentent les intersec-

tons de l'axe de chacun des plots avec le plan de contact de ces derniers et la 
partie inférieure du tube

T'et Or est le centre du rectangle de sommets Ar, Br, Cr et D-. En conséquence 
de l'étude menée

dans la sous-partie IL.2, on peut considérer que O reste situé sur l'axe (O,, 
2). G est le centre de

masse de la structure T que l'on supposera sur l'axe (0,07) au repos.

Afin de décrire le mouvement du tube, on utilise les paramétrages proposés sur 
la figure 15 :
- les degrés de rotation autour de l'axe y> (axe de tangage) et autour de l'axe 
x7. (axe de roulis)
sont décrits par les deux angles d'Euler v et 0 et par le repère R (Or, ü, V,W)
- Je degré de translation suivant l'axe z? (mouvement de pompage) est 
paramétré, comme dans la

sous-partie IL.3, par la longueur z(f), définie par rapport à la position de 
référence 2.

£, 7 £r
-- Le F W" ,
W Zr À G :
D N Vr
O(r) 1: _
(#) a + Le
d Yr 40 G © Xe
le = (00) to è è
(#)_A = Y
u / CD, A,5B,
Tangage Roulis Pompage

Figure 15 -- Paramétrages angulaires et linéaire

L'allongement relatif étant très faible, on se place dans l'hypothèse de petits 
déplacements : Z(t) EUR 20,
O(r) EUR 1 et o(r) EUR I.

Modélisation de l'action des plots amortisseurs sur le tube T

L'action du plot A sur le tube T peut être modélisée par un glisseur au point 
A. (figure 16, page 14).
La composante dynamique de sa résultante (1e. résultante privée de la 
composante statique compen-
sant le poids) s'exprime par :

------
2 A AT
R oiot AT =  K (IAA? - 20) TT.

IAA?

Sur les figures 16 et 17, page 14, sont schématisés les déplacements du point 
de contact A, en
sollicitation de tangage ou de roulis.

Langage roulis

Q15. Exprimer, sous l'hypothèse de petits angles, z, etz, en fonction de a, b, 
6 et @.

Q16. Montrer, en justifiant soigneusement, que la résultante peut s'exprimer, 
toujours dans le cadre

Lo _ _, a
de petits déplacements : R jot A-T = -- À ZaZe AVEC Z4 = z + 50 : 5.

On peut, de la même manière, déterminer les actions exercées par les autres 
plots.

13/23

À
 b/2.
À;
DS eee
tangage P O0,
LA ,
M )
_ Ây Z
ll 0
> --- \l
X =
. e
BC, A.
Figure 16 -- Sollicitation en tangage
--- W > A A ? ---
Zr À wW A a , Lu y T
A': B, | 7
, , TI T 2 À Z roulis
Cyr; D; _ À, 0 A --
TT ee Yr O, À V
_V
> | <0 Z Y e ? B, Â Figure 17 -- Sollicitation en roulis Opérateur d'inertie du tube T L'opérateur d'inertie du tube T est donné par un logiciel de modélisation des systèmes rigides. La figure 18, page 15, afñche le modèle et les valeurs numériques des éléments de la matrice d'inertie. Le repère local utilisé est le repère du tube R7. L'opérateur d'inertie est donné au centre d'inertie G et est noté : A --F -E IT) =|-F B -D | LE =D C}) >

(G,XT,YT,2T)

Q17. En exploitant la figure 18, page 15, proposer une forme approchée de la 
matrice ZG(T) ne
prenant en compte que les termes prépondérants.

14/23
Masse (remplacée par l'utilisateur) = 300.00 grammes
Volume = 1878397.66 millimètres cubes
Superficie = 101236.71 millimètres carrés

Centre de masse (remplacé par l'utilisateur): ( millimètres )
X = 0.00
Y = 0.00
Z = 40.00

Principaux axes et moments d'inertie: ( grammes * millimètres carrés )
Pris au centre de gravité.

Ix = (1.00, 0.00, 0.00) Px = 324915.14

ly = (0.00, 1.00, 0.00) Py = 2163614.87

Iz = (0.00, 0.00, 1.00) Pz = 2178907.72

&

= Moments d'inertie: ( grammes * millimètres carrés )

a

* Pris au centre de gravité et aligné avec le système de coordonnées de sortie.

"  Lxx = 324935.04 Lxy = -3.28 Lxz = -6073.10
"_ Lyx = -3.28 Lyy = 2163614.87 Lyz = 0.54 :
=: Lzx = -6073.10 Lzy = 0.54 Lzz = 2178887.83"

Moments d'inertie: ( grammes * millimètres carrés )
Pris au système de coordonnées de sortie.

Ex = 804935.04 Ixy = -3.28 Ixz = -6073.10
Iyx = -3.28 lyy = 2643614.87 [yz = 0.54
[zx = -6073.10 Izy = 0.54 [zz = 21/8887.83

Figure 18 -- Éléments d'inertie du tube T

Équations du mouvement et modes propres

Le principe fondamental de la dynamique est appliqué au tube T dans le 
référentiel galiléen K,,
en utilisant la matrice d'inertie approchée obtenue précédemment. Après 
linéarisation autour de la
position de référence (z, w, 0) = (0, 0, 0), on obtient les 3 équations de 
mouvements suivantes :

M + 4kz = 0 (4)
Bÿ + kb' = 0 (5)
AÛ + ka°0 = 0. (6)

Q18. Pour chacune de ces équations, donner le théorème utilisé pour l'obtenir, 
en précisant l'axe de
projection et, le cas échéant, le point d'application. Aucune justification 
n'est demandée.

Posons : Z = Zn EXp(Jwf), 0 = Ün Exp(wf) et 6 = En EXP(Jwf) avec Z», Om; Pm 
AMplitudes complexes.

Q19. Montrer que le système différentiel peut se mettre sous la forme 
matricielle
_ --_ Zm | 7
(K -- w°M) - X = 0, avec X le vecteur colonne X = Pm | et K et M des matrices 3 
x 3 que vous
On

exprimerez. K et M sont respectivement appelées matrice raideur et matrice 
masse.

15/23
Un tel système n'a de solution non nulle que si son déterminant est nul : det 
EG = M) D

(OPEN TN ENS ESTONIE INATTENDUE EEE Te EEE
oO ET CA RENTE CONDUITE AE _ avec i = {z,@, 6).
T

Q21. On donne les valeurs numériques des fréquences propres de pompage et de 
roulis :
f: = 22,5 Hz et fs = 13,7 Hz. Calculer la valeur numérique de la fréquence 
propre de tan-

ÉCECE PE
ILS - Analyse d'un modèle de simulation

Comme dans la sous-partie IL.2, un modèle utilisant la méthode des éléments 
finis a permis d'estimer
les modes propres du tube T. Afin de simuler les modes propres de vibrations 
rigides, le tube T est
relié à un bâti fictif par l'intermédiaire de quatre appuis élastiques (figure 
19).

Type Pa
Æ ET élastique

@ Ï Face<1> @supportcamera-1
Face<2>@sunnortcamera-1

Raideur A
Ë
OR UeTT
OR IE
D 6000 + N/m
Cisaillement (N/mm)
ne PTT EE PE Précontrainte en compression (N)

Figure 19 -- Définition des appuis élastiques

La valeur numérique de la raideur radiale des appuis a été choisie 100 fois 
supérieure à celle de la
raideur axiale afin de tenir compte du montage des plots amortisseurs abordés 
dans la sous-partie IL.2.
Les éléments d'inertie pris en compte sont ceux donnés en figure 18.

022
Les résultats sont synthétisés dans le tableau 3. Le repère R7 est utilisé pour 
la description des modes
propres.

N° du mode Fréquence Description du mode
propre propre (Hz) propre
I 8 Roulis : rotation alternative

d'axe (Or, xr)
Pompage : translation
2 21,7 rectiligne alternative

d'axe (Or, 27)
Tangage : rotation alternative

Visualisation

? 21,2 d'axe (Or, y7)
Translation rectiligne

4 250 alternative d'axe (Or, X7)
Lacet : rotation alternative

° 75 d'axe (Or, 2)

6 385 Translation rectiligne
alternative d'axe (O7, Yr)

7 17 014 Déformation en flexion

autour de l'axe (Or. yr)

Tableau 3 --- Modes propres du tube

On remarque que le premier mode propre de déformation du tube est situé à très 
haute fréquence, bien
au-delà de la plage d'utilisation du drone.

IL.6 - Synthèse de la partie II

Trois modèles ont ainsi été construits dans cette partie IT pour estimer les 
modes propres rigides
du tube du drone Bebop 2 : un premier modèle à 1 degré de liberté (sous-partie 
IL.3), un second
modèle à 3 degrés de liberté (sous-partie I.4) et un modèle utilisant la 
méthode des éléments finis
(sous-partie ILS).

Q22. En guise de synthèse des résultats obtenus, comparer les fréquences 
propres estimées par ces
3 modèles. Utiliser, si besoin, un tableau permettant de distinguer les 
différents modes propres
à comparer. Faire apparaître les erreurs relatives entre les différentes 
estimations d'une même
fréquence propre.

Q23. Y a-t-1l couplage entre un de ces modes propres rigides et un de ceux 
associés à la déformation
de la structure étoilée dans la plage d'utilisation du drone ? De ce point de 
vue, les exigences
du tableau 2 sont-elles vérifiées ?

17/23
Partie III - Comment alléger la batterie ?

La part de la masse de la batterie dans la masse d'un drone est conséquente : 
pour le Bebop 2, dont la
masse totale est de 500 5, la batterie pèse déjà 180 g!

Objectif : estimer la capacité massique maximale d'une batterie de drone et 
réfléchir à d'éventuelles
pistes d'allégements.

Figure 20 -- Batterie LiPo 3S, du type de celles utilisées sur le drone Bebop 2

Les batteries installées sur les drones sont constituées de plusieurs 
accumulateurs lithium-ion (Li-ion)
à électrolyte polymère (souvent abusivement nommés lithium-polymère et abrégés 
en LiPo). L''uti-
lhisation d'un électrolyte polymère non liquide permet de substituer au boîtier 
métallique rigide des
batteries Li-1on classiques un sachet plastique souple et léger (figure 20).

Le principe de l'accumulateur lithium-ion est décrit dans le document 
ci-dessous.

Document - Principe de fonctionnement d'un accumulateur lithium-ion

Le système électrochimique est constitué d'une électrode de graphite, jouant le 
rôle d'anode en
décharge, d'un électrolyte non aqueux et d'une électrode (la cathode lors de la 
décharge) élaborée

à partir d'un matériau appelé composé d'insertion AB), capable d'accueillir et 
de libérer des ions
lithium de façon réversible.

_ Fy\ | Ainsi, durant la décharge, les 1ons lithium passent en solu-
© LA ton à l'anode, migrent vers la cathode à travers l'électrolyte
MES De et s'insèrent dans le composé d'insertion selon les réactions
| PTS ce électrochimiques suivantes :
LS Électroiyte LiC6() = 6 C(s) +Li'+e
. : br") z Li + Li_,A,B, +ze -- LiA,B,6
| Rs lithium
Anode de carbone Cathode Li,A,B8, NB : les flèches sur la figure ci-contre 
indiquent le sens de
d'an-ootooier run eur déplacement des électrons durant la décharge.

Sources : J. Robert et J. Alzieu, Accumulateurs au lithium, Techniques de 
l'Ingénieur (2005).

Dans le cas des batteries usuelles, le composé d'insertion A,B, est le dioxyde 
de cobalt CoO:(s). Ce
composé seul étant très réactif, 1l est nécessaire d'y maintenir une part 
suffisante de lithium. Durant
la décharge, la composition du solide cathodique passe de Li, $CoO, à LiCoO;.

La force électromotrice apparaissant entre les deux électrodes est £ = 3,7 V. 
On donne la valeur de
la constante de Faraday F = 9, 6 : 10° C/mol et les masses molaires suivantes :

Li C Si | CoO;
M (g/mol) || 6,9 | 12,0 | 28,1 | 90,9

Q24. Donner l'équation-bilan de la réaction d'oxydoréduction intervenant lors 
de la décharge puis
celle intervenant en charge.

18/23
Q25. Les réactifs sont présents en proportions stoechiométriques. Justifier ce 
choix.
Exprimer alors la masse m,.... de réactifs présents dans un accumulateur en 
fonction de n,
nombre de moles d'électrons échangés durant la décharge et des masses molaires.

Q26. En déduire l'expression de qyux, Capacité massique maximale (ou capacité 
spécifique théo-
rique) d'un accumulateur, en fonction de # et des masses molaires. Donner sa 
valeur numé-
rique en A:-h/kg puis celle en W:h/kg de l'énergie massique associée.

La batterie 3$ du Bebop 2 (figure 20) possède une capacité totale de 2 700 
mA:h, une masse de 180 g
et impose une tension U = 11,1 V.

Q27. Par quelle association d'accumulateurs peut-on la modéliser ?
Estimer la capacité massique d'un accumulateur et la comparer à g,,,. Comment 
pourrait-on
se rapprocher de cette capacité maximale ?

Pour augmenter la capacité massique des batteries, la recherche porte également 
sur les matériaux
composant les électrodes. En particulier, des anodes de silicium (donnant pour 
une batterie chargée
un alliage d'insertion LiS1,22) ou de lithium pur sont envisagées pour 
remplacer le graphite.

Q28. À l'aide d'une application numérique, expliquer l'intérêt d'une anode en 
silicium ou en lithium
pur. On pourra adapter la réponse à la question Q26, la réaction de réduction à 
la cathode
n'étant pas modifiée.

Partie IV - Peut-on se passer de batterie ?

S1 la réduction de la masse des batteries reste une problématique majeure, une 
solution plus drastique
a été récemment envisagée : leur remplacement par un système d'alimentation à 
distance.

Cette idée se base sur les recherches récentes, en particulier les travaux 
menés par les groupes de
recherche du Massachusetts Institute of Technology et de la société Witricity, 
remettant au goût du
jour le vieux rêve de Nikola Tesla concernant la transmission d'énergie sans fl 
(Wireless Power
Transmission où WPT). Le couplage inductif entre des circuits émetteur et 
récepteur est actuellement
exploité pour la recharge de petits appareils portables et est envisagé 
notamment pour l'alimentation
des transports en commun ou la domotique (figure 21).

Figure 21 -- Quelques expériences de transmission d'énergie sans fil : a) 
Recharge de téléphones
portables ; b) Alimentation à distance d'une ampoule de 60 W (Source : 
compagnie Witricity) ;

c) Dispositif de transmission sans fil entre un drone et un circuit au sol 
(Source : Université de
Nebraska-Lincoln)

Objectif : étudier la pertinence d'un système de transmission de puissance sans 
fil pour alimenter un
drone volant à proximité d'une borne-source.

19/23
IV.1 - Modèle électrique équivalent d'une antenne

Un tel dispositif d'alimentation à distance serait constitué d'une bobine 
émettrice placée sur un sup-
port au sol, ainsi que d'une bobine réceptrice et d'un étage de conversion de 
puissance, tous deux
embarqués sur le drone.

On considère un enroulement de N spires de rayon a pouvant faire office 
d'émetteur ou de récepteur
(figure 22). L'épaisseur de l'enroulement est négligée (modèle de la bobine 
plate).

1 N spires L R
a R L'OR MN
-- ON | |
ci
(a) Modèle R (b) Modèle RL (c) Modèle RLC

Figure 22 --- Modélisations possibles pour l'enroulement

Q29. On propose, figure 22, trois modèles différents pour représenter 
l'enroulement sur différents
domaines de fréquences. Quels phénomènes physiques modélisent les éléments À, L 
et C?

Essai indiciel
On dispose d'une bobine de 100 spires de rayon 10 cm, constituées de cuivre. On 
mesure d'abord

à l'ohmmètre la résistance de l'enroulement : À = 6,2 Q. On effectue ensuite un 
essai indiciel. Un
schéma du montage ainsi que l'évolution temporelle de la tension w Sont 
proposés en figure 23.

PTT TT TT TT TS 4 F-
ca Q ,

e(n) RE 10 kQ| [lu ]

UR (V)
_

|
 GBF 2 ---- ' 0 cotes /

0.050 0.055 0.060 0.065 0.070 0.075 0.080 0.085 0.090
t (ms)

Figure 23 -- Circuit expérimental et réponse indicielle de la tension aux 
bornes de Îa résistance À:

Q30. Justifier que le modèle (b) de la figure 22 est cohérent avec la réponse 
observée. En déduire la
valeur de l'inductance L.

20/23
Essai harmonique

Afin d'afhiner le modèle aux hautes fréquences, on mesure expérimentalement le 
module [7] de l'im-
pédance de l'enroulement en fonction de la fréquence (figure 24).

105 --

[ Mesure
Modèle (c) |
| \
103 A

U A .
101 DPé

[ZI (Q)

p
9

100

10! 10? 10° 10* 10° 105
f (Hz)

Figure 24 --- Module de l'impédance de l'enroulement en fonction de la 
fréquence (mesure et modèle
(c)) ; les échelles sont logarithmiques

Q31. En exploitant la figure 24, estimer la fréquence au-delà de laquelle le 
modèle (a) de la figure 22
n'est plus valide. Même question pour le modèle (b).

Q32. Exprimer l'impédance Z associée au modèle (c) de la figure 22 en fonction 
de L, R, C et w.

Q33. Justifier que la résistance d'enroulement peut être négligée pour une 
fréquence de l'ordre de
Jo, fréquence de la résonance observée en figure 24. En faisant cette 
hypothèse, déterminer
l'expression de f, en fonction de L et C. En déduire la valeur de C.

Le module de Z est tracé figure 24 à partir de cette expression théorique et 
des valeurs de Z, R et C
obtenues expérimentalement, montrant la pertinence du modèle (c) à toute 
fréquence.

IV.2 - Modélisation du couplage entre émetteur et récepteur

Nous cherchons à estimer l'inductance mutuelle M apparaissant entre les 
enroulements récepteur et
émetteur.

Nous supposerons que ces enroulements restent tous deux parfaitement 
horizontaux. Le centre des
spires de l'émetteur est noté O, et la position du centre O; du récepteur est 
donnée par les coordonnées
(ro, 00) associées au repère polaire de centre O, (figure 25, page 22).

On note a;, N;,S,, le rayon, le nombre de spires et la section de l'enroulement 
émetteur parcouru par
l'intensité i.. Les grandeurs relatives au récepteur seront notées avec un 
indice 2.

Q34. Sachant que ro -- 1 -- 10 m et que la fréquence de fonctionnement f -- 10° 
kHz, justifier la
validité de l' Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires.

> . . » + A 2, --> 2
Nous modéliserons ainsi l'émetteur comme un dipôle de moment magnétique M, 7 
créant un champ
magnétique :

re UoM
B\(r, 0) --
1U,6) Axr*

(2 cos Ou, + sin 0 U}). (7)

21/23

Figure 25 -- Émetteur et récepteur

Q35. Exprimer la norme du moment magnétique M, en fonction de N., S; et r1.
Rappeler l'expression définissant la mutuelle inductance M entre les circuits 1 
et 2 puis, en

>? u
supposant le champ B; uniforme sur toute la surface du récepteur, exprimer M en 
fonction de
ro, 00, Ho; Ni, N5, Si et S2.

On donne en figure 26 l'évolution de M en fonction de la distance rs, obtenue 
par cette approche
analytique mais aussi par un calcul d'intégration numérique et une série 
d'expériences.

1071

---- Analytique
© Numérique

1072 | ©  Expérimental :

1073 @

À
E 1074 À...
2
10°
_ ee
: 2

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Fo (m)

Figure 26 -- Inductance mutuelle en fonction de la distance pour 4 = 0, ai = a; 
= 10 cmet
N, -- N; -- ]00

Q36. Justifier le désaccord aux faibles distances. Peut-on utiliser le modèle 
analytique pour l'appli-
cation étudiée ?

IV.3 - Transmission de puissance par couplage inductif résonnant

Comme on a pu le constater dans l'expérience précédente, le couplage entre 
émetteur et récepteur
est très faible dès que la distance entre eux augmente (M décroit 
proportionnellement à 1/r°), ce qui
constitue le principal obstacle à la transmission d'une puissance significative.

22/23
Pour pallier ce faible couplage, l'idée est de rendre résonants les circuits 
émetteur et récepteur : on
parle de couplage inductif résonant. Le Système de transmission sans fil est 
ainsi constitué de l'émet-
teur et du récepteur, dont les fréquences propres sont accordées à la même 
valeur (éventuellement en
ajoutant une capacité à un des circuits), couplés inductivement aux circuits de 
source et de charge
(figure 27a). Les couplages source/émetteur et récepteur/charge permettent une 
adaptation d'impé-
dance maximisant la puissance transmise.

(a) Tx Coil Rx Coil (b)

Directional
Coupler

Signal
Generator &
RF Amplifier

Figure 27 -- a) Principe de la transmission de puissance sans fil par couplage 
résonant (Source :
Université de Washington) ; b) Modèle électrique équivalent

La figure 27b propose un modèle électrique équivalent du système, s'appuyant 
sur les études menées
dans les deux sous-parties précédentes. e(f) modélise la source vue de la 
bobine émettrice et R. la
charge vue de la bobine réceptrice.

Q37. Donner deux relations liant ll . D et e.

On admet que ces deux relations permettent d'obtenir l'expression (à) :

Mjw e

] ]
M20? + Ri +] Lo - ---- kR) +R. +] Lo -- ----
C1& Co

1) --

(8)

Q38. Que devient cette expression lorsque w = wo = 1/ VLC; = 1/ VLC; ? En 
déduire l'expres-
sion de la puissance moyenne P transmise à la charge À: en fonction de la 
tension efficace
E,rs, wo, M et des valeurs de résistances.

RiR> + M°w

Cette puissance est maximale pour une résistance de charge R. = Ry -- et elle 
vaut

2, 2 pr2
1 Mao,

AR RiR> + Mu?

1

alors Pyux =

Q39. Pour E,;s -- 10°? V, wo -- 10° rad/s et R1 -- R; -- 1 Q, déterminer 
l'ordre de srandeur de la
puissance maximale transférée sur des distances de 1 m (M - 10 H),3m(M - 10 Het
10 m(M - 10° H). Conclure sur la pertinence de ce système pour alimenter un 
drone.

FIN

23/23